常微分方程试题及答案

1、第十二章常微分方程(A)一、是非题1任意微分方程都有通解。(X)2微分方程的通解中包含了它所有的解。(X)3函数 y3sin x4 cos x 是微分方程 yy0的解。 (O )函数2x是微分方程y2 yy0的解。( X)4yxe5微分方程 xyln x 0 的通解是 y1ln x2C (C 为任意常数 )。( O )26 ysin y 是一阶线性微分方程。 (X)3y3xy不是一阶线性微分方程。 (O )7 yx8 y2y5y0 的特征方程为 r 22r50。( O)9 dy1xy2xy 2 是可分离变量的微分方程。 ( O)dx二、填空题1在横线上填上方程的名称y3ln xdxxdy0是可

2、分离变量微分方程。xy2x dxyx2 y dy0 是可分离变量微分方程。x dyylny 是齐次方程。dxxxyyx2 sin x 是一阶线性微分方程。yy2y0是二阶常系数齐次线性微分方程。2 ysin xyxcos x 的通解中应含3个独立常数。3 ye 2 x 的通解是 1e 2xC1 x C 2 。414 ysin 2xcos x 的通解是cos xC1 x C2 。sin 2x45 xy2x 2 y 2x3 yx41是3阶微分方程。6微分方程 yyy60 是2阶微分方程。17 y1 所满足的微分方程是 yy 20 。x8 y2y 的通解为 yCx 2 。x9 dxdy0 的通解为

3、x 2y2C 。yx10 dy2 y5y C x1 2 。x1 2 ，其对应的齐次方程的通解为dxx1x211方程 xy1x 2y0 的通解为 yCxe 2。123 阶微分方程 yx3 的通解为 y1x 6C1 xC 2 xC 3 。120三、选择题1微分方程 xyyx y3y 4 y0的阶数是 ( D )。A3B4C5D22 微分方程 yx 2 yx51 的通解中应含的独立常数的个数为(A) 。A3B5C4D23下列函数中，哪个是微分方程dy2xdx0的解( B )。A y 2xB y x 2C y2x D yx24微分方程 y3y 3 的一个特解是 ( B)。A y x31 B y x 2

4、 3C yx C 2D y C 1 x 35 函数 y cos x 是下列哪个微分方程的解 ( C ) 。A yy0B y 2y0C y ny0D y y cos x6 y C1exC 2 e x 是方程 yy0的(A)，其中 C1 ， C 2 为任意常数。A通解 B 特解 C 是方程所有的解D 上述都不对7 yy 满足 y |x 02 的特解是 (B ) 。A y ex1 B y 2exxD y 3 exC y 2 e28微分方程 yysin x 的一个特解具有形式 ( C )。A y*a sin xB y *acos x2C y*x a sin xbcos xDy*a cos xb sin

5、 x9下列微分方程中， (A)是二阶常系数齐次线性微分方程。A y 2 y 0B y xy3 y20C 5y 4x 0D y 2y 1 010微分方程 yy0 满足初始条件 y 01的特解为 ( A)。A exB ex1 C ex1 D 2 ex11在下列函数中，能够是微分方程yy0 的解的函数是 ( C )。A y1B yxC y sin xD yex12过点1,3且切 线斜 率为 2x 的曲 线方 程 yy x 应 满足的关 系是(C) 。A y2x B y2x C y2x ，y 1 3D y2x ， y 1 313下列微分方程中，可分离变量的是 (B)。A dyyeB dyk xaby(

6、 k , a , b 是常数 )dxxdxC dysin yxD yxyy 2 exdx14方程 y2y0 的通解是 (C )。A ysin xB y4e2 xC yCe2 xD yex15微分方程 dxdy0满足 y |x 34 的特解是 (A)。yxA222522D227xyB 3x 4y C CxyCxy16微分方程 dy1y0的通解是 y(B)。dxxA CB Cx C 1CD x Cxx17微分方程 yy0的解为( B)。A exB e xC exe xD ex18下列函数中，为微分方程xdxydy0的通解是 (B)。3A x y C B x 2y 2CC Cx y 0 D Cx 2

7、y 019微分方程 2 ydydx0的通解为 (A )。A y2x CB yx CC y x C D yx C20微分方程 cos ydysin xdx 的通解是 ( D )。A sin xcos yCB cos ysin xCC cos xsin yCD cos xsin yC21 ye x 的通解为 y(C)。A e xB e xC e xC1 x C2D e xC1 x C222按照微分方程通解定义，ysin x 的通解是 ( A )。A sin xC1 xC2B sin xC1C 2C sin xC1 xC 2D sin xC1C2四、解答题1验证函数 yCe 3 xe 2 x ( C

8、 为任意常数 ) 是方程 dye 2x3y 的通解，dx并求出满足初始条件 y |x00 的特解。2求微分方程x y 21 dxy 1x 2 dy 0 的通解和特解。y |x012解： 1 y2C ， 2x2y 211 x3求微分方程 dyytan y 的通解。解： sin ydxxxCx 。xyxy4求微分方程yx 的特解。y |x 12解： y 22x 2 ln x2 。5求微分方程yycos xe sin x 的通解。4解： y e sin x xC6求微分方程 dyysin x 的通解。1dxx解： ysin xx cos xCx77求微分方程x1 y2 y x 1 20的特解。y |

9、x 0 123解： yx 1 231 x 1 238求微分方程 y2y x满足初始条件 x0 ， y1， y3 的特解。x21解： yx 33x19求微分方程 y2 yy 满足初始条件 x0 ， y1， y2 的特解。解： arctan yx4或 ytanx410 验 证 二 元 方 程 x 2xy y 2C 所确定的函数为微分方程x 2 y y2xy 的解。11求微分方程 exyexdxex yeydy0 的通解。解： ex1 ey1C12求 dyytan xsecx ， y |x 00 的特解。dx解： yxcos x13验证 y1cosx ， y2sinx 都是 y2 y 0 的解，并写

10、出该方程的通解。214求微分方程 y2yx的通解。x解： yCx 2x 2 ln x515求微分方程 y1yex0 满足初始条件 y 10 的特解。x解： yexexx16求微分方程 dyx2yx1 3 的通解。dx12解： yx1 2x1C217求微分方程xdxydy0 满足条件 y 01的特解。1y1x解： 2 y3x33 y 2x2518求微分方程yy 2 y 0 的通解。解： y C1exC2 e 2 x19求微分方程 y2 y5 y0的通解。解： ye xC1 cos 2xC 2 sin 2x20求微分方程 y4 y 4 y 0 的通解。解： yC1C 2 x e 2 x21试求 y

11、x 的经过点 M 0,1 且在此点与直线 yx1相切的积分曲线。1 x 31 x2解： y162(B)一、是非题1可分离变量微分方程不都是全微分方程。(X)2若 y1 x ， y2x都是 yP x yQ x 的特解，且 y1 x 与 y2 x 线性无关，则通解可表为 y xy1x C y1x y2x 。 (O)3函数 ye 1xe 2x 是微分方程 y12 y1 2 y 0 的解。 ( O )4曲线在点 x, y处的切线斜率等于该点横坐标的平方，则曲线所满足的微分方程是 y x 2C ( C 是任意常数 )。(X)65 微分方程 ye2 xy ，满足初始条件y |x 00 的特解为 ey1e2

12、 x1。2(X )二、填空题1 y1cos x 与 y2 sin x 是方程 yy0 的两个解，则该方程的通解为yC1 cos xC 2 sin x 。2微分方程 y2 y3y0 的通解为 yC1e xC 2 e3 x 。3微分方程 y2 yy0 的通解为 yC1C 2 x ex 。4微分方程 ye2 x 的通解是 y1 e2 xC1 x2C 2 xC 3 。85微分方程 yy' 的通解是 yC1exC 2 。6微分方程 dy2xy 的通解是 yCex 2。dx三、选择题1微分方程 y4 y4 y 0的两个线性无关解是 (C)。Ae2x 与 2 e2xB e 2 x 与 x e 2 x

13、C e2 x 与 x e2xD e 2 x 与 4 e 2x2 下列方程中，不是全微分方程的为 ( C )。A 3x26xy 2 dx6x 2 y4y 2 dy0B ey dx x ey2 y dy 0C y x 2 y dxx 2dy0Dx 2y dxxdy03下列函数中，哪个函数是微分方程stg 的解 (C)。A sgt B sgt 2C s1 gt 2D s1 gt 2224下列函数中，是微分方程y7 y12 y 0的解 (C)。A y x3B y x 2C y e3 xD y e2 x5方程1x2yxy0的通解是( D)。A2yC1 3D 1x22yC1xBCyxCxyCxe1x226

14、微分方程 yln xdxxln ydy 满足 y |x1 1的特解是 (A)。7A ln 2 xln 2 yB ln 2 x ln 2 y 1C ln 2 xln 2 y0D ln 2 x ln 2 y 17微分方程1x 2dy1 y2 dx0 的通解是 (A )。A arctan xarctan yCB tan xtan yCC ln x ln yCD cot xcot yC8微分方程 ysinx的通解是 ( C)。A ysinxB ysinxC ysinxC1 xC 2D ysinxC1 x C 29方程 xyy3 的通解是 (A)。A yC3B y3CC yC3 D yCxxx3x四、解

15、答题1求微分方程 y9 y24 x6 cos3x2 sin 3x的通解。解： yC1x cos3xC 22x2x sin x3x2求微分方程 y7 y6 ysin x的通解。解： yC1e6xC 2 ex17 cos x5sin x743求微分方程3x22xyy2 dxx 22xy dy0 的通解。解： y 2xyx2Cx(C)一、是非题1只要给出 n 阶线性微分方程的 n 个特解，就能写出其通解。 X2已知二阶线性齐次方程yP x yQ xy 0的一个非零解 y ，即可求出它的通解。 (O )二、填空题1微分方程 y4 y5 y0的通解是 ye2 xC1 cos xC 2 sin x。82已

16、知 y1， yx ， yx2 某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为 ye2xC1 cos x C 2 sin x 。3微分方程 y2 y2 yex 的通解为 yexC1 cos xC2 sin x 1。三、选择题1微分方程 yy1的通解为 ()。xx x 21ACB 1 arctan xCC 1 arctan xC D arctan xCarctanxxxx2微分方程 yy1的通解是 ()。A y C exB y C ex1 C y C ex1 D y C 1 exxyy3。30的解是( )y |x 1A y 3 11B y 3 1 x C y 11D y 1 xxx4微分方程

17、dyytan y 的通解为 ()。dxxxA sin yCxB sin y1C sin xCxD sin x1xxCxyyCx5已知微分方程 y57p x yx1 2 的一个特解为 y*2 x 1 2 ，则此微分3方程的通解是 ()。A C27BC21 2x 1x 12xx 12113C C x 1227D x 122x 1x 1 211372726微分方程 yyex1 的一个特解应具有形式( 式中 a ，b 为常数 )()。A aexbB axexbC aexbxD axexbx四、解答题1设 yex 是微分方程xyp x yx 的一个解，求此微分方程满足条件y |x ln 20 的特解。9

18、解：代入 yex 到方程 xyp x yx 中，得 p x xe xx原方程为 xyxe xx yxy ex 1 C ee x ， yex1 y 11 x ln 2 ， y 0 Ce 2 。ex 1y ex 1 e2 。2已知 y1xexe2x ， y2xexe x ， y3xexe2xe x 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。解： yy3e x ， y3y2e2 x2e x 均是齐次方程的解且线性无关。1C1e xC 2 e2 x2e x是齐次方程的通解。当 C12 ，C 2 1 时，齐次方程的特解为 e2 xe x 、 e2 x 都是齐次方程的解且线性无关。 C1 e xC 2e2x 是齐次方程的通解。由此特征方程之根为 -1 ，2，故特征方程 r 2r 2 0 。相应的齐次方程为 y y 2 y 0故所求的二阶非齐方程为y y2 y f xy1