常见分布的期望和方差

1、分布类型0-1 分布 B （1， p）二项分布B （ n，p）泊松分布P( )常见分布的期望和方差概率密度函数pi P XiCnipi qn i(q 1p),( i 1,2,., n)ipiP Xie(i0,1,2,3.)i!期望方差ppqnpnpq均匀分布U（ a, b ）正态分布N（,2）指数分布E（）f (x)1或 f (x)ba1( x) 2f ( x)2e2(2e x , xf ( x)0, x01 等r 2x,0)0a b(b a)221221122 分布，2 ( n)t 分布， t (n)X1, X 2 ,. X n相互独立，且都服从 标准正态分布 N(0,1)2X12X 22.

2、X n2X : N (0,1)Y : x2 (n)tXY nn2n0n( n2)n2精选文库概率与数理统计重点摘要1、正态分布的计算： F (x)P( Xx)X) 。(2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求Y f ( X ) 的概率密度： fY ( y)fX ( x) h( y) h '( y) 。（参见 P66 72）xyf (u,v)dudv 具有以下基本性质：3、分布函数 F ( x, y)、是变量 x， y 的非降函数；、 0 F (x, y) 1，对于任意固定的x， y 有： F (, y)F ( x, ) 0 ；、 F ( x, y) 关于 x 右连续

3、，关于y 右连续；、对于任意的 ( x1 , y1 ), (x2 , y2 ),x1x2 , y1y2 ，有下述不等式成立：F (x2 , y2 ) F (x1, y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1) 01arctan x)(arctan y ) 的概率密度为：264、一个重要的分布函数：F ( x, y)(f ( x, y)F ( x, y)2 (x29)23x y4)( y 25、二维随机变量的边缘分布：f X ( x)f (x, y)dy边缘概率密度：fY ( y)f (x, y) dxFX ( x)F ( x,)xf (u, y)dydu边缘分布函数：y二维正

4、态分布的边缘分布为一维正态分布。FY ( y)F (, y)f ( x, v) dxdv6、随机变量的独立性：若F ( x, y)FX ( x)FY ( y) 则称随机变量 X ， Y 相互独立。简称X与Y独立。-2精选文库7、两个独立随机变量之和的概率密度：fZ ( z)f X ( x) f Y ( z x)dxfY ( y) f X ( zy)dy 其中 Z X Y8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即Z aX bY : N (a 1 b2 , a22b2212 。9、期望的性质：（3）、 E( XY) E(X)E(Y) ；（ 4）、若 X ，Y 相互独立，则E(XY ) E

5、(X ) E(Y) 。10、方差：D(X )E(X 2) (E(X )2 。若 X，Y不相关，则D(X Y) D(X)D(Y) ，否则 D( X Y)D (X ) D (Y ) 2Cov ( X ,Y) ，D ( XY) D(X)D(Y)2Cov( X ,Y)11、协方差： Cov ( X , Y)E( XE( X )(YE(Y ) ，若 X ， Y 独立，则 Cov ( X ,Y )0，此时称： X 与 Y 不相关。12、相关系数：XYCov ( X ,Y)Cov ( X , Y)XY 1 ，当且仅当 X 与 Y 存在线性关系时(X) (Y)，D(X) D(Y)13、 k 阶原点矩： vkE

6、( X k ) ， k阶中心矩： k E( XE( X ) k 。XY1，且XY1,当 b>0;1,当b<0。14、切比雪夫不等式： P X E( X )D(X)E(X)1D(X)lim Pmp1 。2,或P X2。贝努利大数定律：nn 015、独立同分布序列的切比雪夫大数定律：因P1 n11n1 。Xi2 ，所以 lim PXin i1nn0n i116、独立同分布序列的中心极限定理：n, n 2 ) 。(1) 、当 n 充分大时，独立同分布的随机变量之和ZnX i 的分布近似于正态分布 N ( ni 1(2) 、对于 X1 , X 2 ,. X n 的平均值 X1 nX i1

7、nE (X i )n1nD (X i )nn i 1，有 E(X)n，D(X)n2，即独立同分布的随机n i 1n2i 1n-3精选文库变量的 均值当 n 充分大时，近似服从正态分布N () 。n(3) 、由上可知： lim P a Znb(b)( a)P a Z nb(b)(a) 。n17、棣莫弗拉普拉斯中心极限定理：设m 是 n 次独立重复试验中事件A 发生的次数， p 是事件 A 发生的概率，则对任意 x ,lim Pmnpx(x) ， 其中 q1p 。nnpq(1)、当 n 充分大时， m 近似服从正态分布，N (np npq) 。(2)m近似服从正态分布，N( , pq ) 。、当 n 充分大时，pnn18、参数的矩估计和似然估计：(参见 P200)19、正态总体参数的区间估计：所估参数条件估计函数已知xnu未知txns未知2(n 1) s2( x y ) ( 12 )n1n222tswn1 n21212( n1 1)s12(n2 1)s22未知2其中 swn1n21置信区间 xu, xunn xt (n1) s , xt (n1) s nn(n 1)s2,(n1)s22 (n 1)2(n 1)111( xy