幂指对函数复习专题讲座

1、幂指对函数复习专题讲座一幂函数1. 定义形如 yx 的函数叫幂函数，其中为常数，在中学阶段只研究为有理数的情形 .2. 幂函数 y x n (n Q ,nq , p, q互质）的性质如表 1-1.pq3. 根据幂函数在第一象限内图像的特点分析幂函数y x p 的性质 .yqq1p1pq1 0p1q0p（1）图O1点.x像必过 (1,1)（2）qn的增大，函数图像向 y 轴方向延伸 .1时，过 (0,0)点，且随 xp10m.在第一象限是增函数 .（3）q1时，图像是直线 y=x。在第一象限内是增函数. （在整个定义域内都是增函p数. ）（4）1q0 时 , 随 x 的增大，函数图像向 x 轴方

2、向延伸 . 在第一象限是增函数 .p（5） q0 时，随 x 的增大，函数图像与 x 轴、y 轴无限接近，但永不相交。在第一象p限是减函数 .二指数函数和对数函数1. 幂的有关概念：(1) 规定：ana aa(n*); a01(a0) ;Nn个 a p1p ( pmn a m ( a 0,m 、 n N*Q） ; a n且 n 1)a(2) 指数运算性质： a r a sa r s ( a0, r 、 sQ） ; a ra r s ( a 0, r , sQ) ；asar sa r s ar、sQ）; a b rar brabr）()(0,()(0,0,Q ;asa s0, b0, sQ) .

3、 （注）上述性质对 r 、R均适用 .bb s (as2对数的概念：(1)定义：如果a(a0,且a1)的 b次幂等于，就是 a bN，那么数 b 称以 a 为N底 N的对数，记作 log a Nb, 其中 a 称对数的底， N称真数 .以 10 为底的对数称常用对数， log10N 记作 lg N ，以无理数 e(e2.71828) 为底的对数称自然对数， log e N 记作 ln N(2) 基本性质：真数 N为正数（负数和零无对数）;log a 10 ;. log a a 1 ; 对数恒等式： alog a NN .(3) 运算性质：如果 a0, a 0, M0, N0, 则 log a

4、( MN )log aMlog a N ; log aMlog a Mlog a N ;N log a M nn log aM ; log a a nn ; log a nN1 log a Nn换底公式： log aNlog m N (a0, a0, m0, m1, N 0),log m a log a b log ba 1， log a m N nn log a Nm3. 指数函数（ 1）指数函数的定义x一般地，函数 y=a （a0 且 a 1）叫做指数函数 .yy= a x( a>1） y= a xy( 0 a 1)11OxOx底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称 .（ 3

5、）指数函数的性质定义域： R. 值域：（0，） .过点（ 0，1），即 x=0 时， y=1.当 a1 时，在 R 上是增函数；当 0a1 时，在 R 上是减函数 .4. 对数函数（ 1）对数函数的定义函数 y=log ax（ a0，a1）叫做对数函数 .（ 2）对数函数的图象yyy= l o g a xa >1)(11OxOxy = l o g a x ( 0 < a< 1)底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称 .（3）对数函数的性质 :定义域：（ 0， +） .值域： R.过点（ 1， 0），即当 x=1 时， y=0.当 a 1 时，在（ 0， +）上是增函数

6、；当0a1 时，在（ 0，+）上是减函数.5. 指数函数y=ax(a 0，且 a1) 与对数函数y=log ax(a 0，且 a 1) 的图象和性质如表1-2 ( 注 ) 指数函数 y=ax 与对数函数 y=log ax 互为反函数6. 抽象函数抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子（等式（方程）或不等式等）的一类函数。中学阶段遇到的抽象函数大多是如下几种以常见初等函数为模型的抽象函数：（1）一次函数型抽象函数xyf (x)f ( y)f ( x)axbf ( xy)f ( x)f ( y)b; f ()22（2）指数函数型抽象函数f ( x) a xf ( x

7、y) f ( x) f ( y); f ( x y)f ( x)f ( y)（3）对数函数型抽象函数;.f ( x)log a xf (xy)f ( x)f ( y); f ( x )f (x)f ( y)y（4）幂函数型抽象函数f ( x) xnf (xy) f ( x) f ( y); f ( x )f ( x)yf ( y).（D） 2,1,-2，-1.22【例 2】 在下列图形中找出所给函数的大致图象（1）31；（ ）2；（ ）1/2；y x2；（）y x3；（）y x22y345 y = xx（6） y = x1/3；（ 7） y = x4/3 ； （8） y = x1/2； （9）

8、 y = x5/3 .yyy（5）三角函数型抽象函数f ( x)tan xf (xy)f (x)f ( y)1 f ( x) f ( y)f ( x)cosxf ( xy)f (xy) 2 f ( x) f ( y)三典型例题【例 1】 图中曲线是幂函数 yx n 在第一象限的图象，已知n 取± 2、± 1四个值，则相应于曲线 C1， C2 ，C3，C4 的 n 依次为（ ）2yC1C2C30x0x0x（）（）（）yyy0x0x0x（ ）（ ）（ ）yyy1C40x0x0xo1x（）（）（）（A）-2，-1，1， 2.【例 3】解答下述问题：22（1）计算：（B） 2,1

9、, -1,-2.2224)0.5（C） -1 ,-2, 2,1 .( 33) 3 (5(0.008)89222113(0.02) 2(0.32) 2 0.0625 0.25;.2122 1 解析原式=(8) 3(49)2(1000 ) 3504(625) 42798101000047251421172)223522(99109（ 2）计算lg 5lg 8000(lg 23 ) 2.1 lg 0.0361 lg 0.1lg 60022 解析 分子 = lg 5(33lg 2)3(lg 2) 23 lg 53lg 2(lg 5lg 2)3 ；分母 = (lg 62)lg361lg 62lg64 ；

10、100010100原式=3.4412a 38a 3b23b )a 3a 2（ 3）化简：22(a 35.4b33a3aa3a2 ab1111121 解析原式=a 3( a 3 )3(2b 3 ) 3 a 32b3(aa 3 ) 21111a111(a 3 )2a 3( 2b 3 )(2b 3 ) 2(a 2a 3 ) 5111512aa 6a3 (a 32b 3 )a 3a a 3a2.111a 32b 3a 6（ 4）已知： log18 9a,18 b5, 求 log 30 36 值. 解析18b5,log 18 5b,log 30 36log 18 18log 1821(log 18 18

11、log18 9)2(2a) .log 18 5log 18 6b(log 18 18log 18 3)22ba【例 4】已知函数 ylog a (x2mx 1)(a0, a 1) .(1) 若定义域为 R，求 m的取值范围； (2) 若值域为 R，求 m的取值范围 .解：（ 1）由题意知， x2mx10 对任意实数 x 恒成立所以m240解得： 2m2（1） 设 v x2mx1 ，则 ylog a v函数 y 的值域是 (,) ，m 24 0 ，解得： m2或m 2【例 5】 函数 ya| x| (a1) 的图象是（）a x (x0)解：方法 1；由题设知： y0)，又 a1，由指数函数的图象

12、知答案为B( 1 )x (xa方法 2：因ya|x|是偶函数，又a1，所以 a|x|1，排除、。当x 0时，x，A Cya由指数函数的图象知答案为B.2 a） b，2 f （ a）（a ）【例 】若 f （x）x2x b，且 f （loglog6=+=21 .（ ）求 f （log2x）的最小值及对应的x 值；12x） f （ ）且2f（x） f （）（ ）x 取何值时， f （loglog.2f （x）x2122a1解：（1）x b， f （log2a）=loglog2 a b=+ .由已知有 log 22 a log2a+b=b，（ log 2 a1） log2a=0.a ，log2aa1

13、=1.=2.a2a b，b a2 a又log2 f（ a） ， f （a）=4.=2+ =4=4+ =2.故 f （x）=x2x+2，从而 f （log 2x） =log 2 2x log 2x+2=（log 2x 1 ） 2+ 7 .24当 log 2x= 1 即 x= 2时， f （log2x）有最小值 7 .24（ ）由题意 log 22 xlog 2 x2 2x2或 0x 1x1.20log 2(x 2x 2)21x2;.幂指对函数练习题一选择题：1.若 100 a5,10 b2 ，则 2ab = （）A、0B、1C、 2D、32.若 xy0，那么等式4x 2 y32xy y 成立的条

14、件是（）A、 x0, y 0B 、 x 0, y 0C 、 x 0, y0D 、 x 0, y 03.已知 ab>0，下面四个等式中，正确命题的个数为（）lg （ab）=lg a+lg blg a =lg alg b 1a2alg（ ）1blg()lgab=2bblog ab 10A0B1 C2 D 34.已知x=2，则log4（x3x ）等于（）+16A 3B 5C0D12425.已知m时x（m）+lg1 ，则x 的值为()>010 =lg10m若A2 B1 C 0 D 16.logab·log3a，则 b 等于()=5Aa3a5C 53B3D57.若 f (10x )

15、x ，则 f (5)（）A、 105B、 510C、 lg10D、 lg 58.已知 a0, a 1，下列说法中，正确的是（）若 MN 则 log a Mlog a N ；若 log a Mlog a N 则 MN ；若 log a M 2log a N 2 则 MN； 若MN 则logaM 2log a N 2 。A、B、C、D、9.已知 alog 3 2 ，那么 log3 82log 3 6 用 a 表示是（）.A、 5a 2B、 a 2C、 3a (1 a)2D 、 3a a2 110.若 102 x25 ，则 10x 等于（）A、 1B、 1C、 1D、 111.5550625给出的函

16、数中，是幂函数的是（）A yx3 B y x 3 C y 2x3 D y x 3112.下列函数一定是指数函数的是（）A. y 2x 1B.yx3C.y 3 xD. y 3 2x13.若函数 y( a23a3)ax 是指数函数，则有（）A、 a 1或a 2 B 、 a 1C、 a 2D 、 a 0且a 114.已知 log 1 blog 1 alog 1 c ，则 ( )222A 2 b>2a>2cB2a>2b>2c C2c>2b>2aD2c>2a>2b11.515.设 y1 40.9 , y2 80.48 , y3，则（）2A、 y3y1y2B

17、 、 y2y1y3 C 、 y1y3y2 D 、 y1y2 y3316.函数 y(12 x)4 的定义域为（）A、 x RB、x11D12C 、 x、 x2217.函数 y=log 1 (2x 1) 的定义域为（）2A（ 1 ， +）B1，+ )C （ 1，1D（， 1）2218.函数 y(1 )1 x 的单调递增区间是（）2A 、 (,)B、 (0,)C、 (1,)D、 (0,1)19.下列等式中成立的是（）A、 5 x5x0.5 x B、 5x0.5x5 x C、 5x5 x0.5xD 、 0.5x5 x5x;.20.若函数 f ( x)log a x(0a1) 在区间a,2a上的最大值是

18、最小值的 3 倍，则 a 的值为（）A、2B、2C、 1D、 1424221.下列图像正确的是（）22.若函数 ya xm 1( a 0, a 1) 的图象在第一、三、四象限内，则（）A、 a 1B、 a 1 且 m0 C、0a 1且m 0D 、 0 a 123.函数 y=lg（ 2 ）的图象关于（）11xxy 轴对称 原点对称直线 y x 对称轴对称BACD=24.已知110，则a、b 的关系是（）log a3log b 3 a b b aA1ba ab1 D1B 1C 0a0y f （x）与 y g25.已知f（ x）ax，g（x） logbx，且lgb ，a ，b ，则=+lg=011=

19、（x）的图象（）A. 关于直线 x+y=0 对称B. 关于直线 xy=0 对称C. 关于 y 轴对称D. 关于原点对称26. 当 x(1,+ ) 时 , 函数 y=xa 的图像恒在直线 y=x 的下方 , 则 a 的取值范围是(A)a 1(B)0 a 1(C)a 0(D)a 0.29. 下列命题中正确的是（）A当0 时函数 yx的图象是一条直线B幂函数的图象都经过（ 0， 0）和（ 1，1）点C若幂函数 y x是奇函数，则 y x是定义域上的增函数D幂函数的图象不可能出现在第四象限130. 如图 19所示，幂函数 yx 在第一象限的图象，比较 0,1 ,2 ,3 ,4 ,1的大小（）4A 13

20、04212B 0123413C 240311D 32041131.下列函数中既是偶函数又是 (,0)上是增函数的是（）A431y x3 y x2Cy x2Dy x4B32.函数 f ( x)= a2+log a( x+1) 在 0,1上的最大值和最小值之和为a，则 a 的值为A 1B 1C2D 442x27. 下图中曲线是对数函数 y=log ax 的图象，已知 a取个值，则相应于C1，C2， C3，C4 的 a 值依次为 ()A 3,4,3, 1B3,4,1,3C 35103 105D 4, 3,1,3310544 313,四4 ,3, 3, 1351033. 已知 a>0，a0，函数

21、 y=a 与 y=log a(-x) 的图象只能是()28. 函数 yx3 的图象是（）34. 若函数 f ( x)1,则该函数在 (- ,+ ) 上是( )2x1;.(A)单调递减无最小值(B)单调递减有最小值(C)单调递增无最大值(D)单调递增有最大值35. 函数 f(x) 的图像沿 x 轴向左平移一个单位 , 再沿 y 轴翻折 180o, 得到 y=lgx 的图像 , 则 f(x) 的解析式为 ( )(A)f(x)=lg(1+x)(B)f(x)=lg(x+1)(C)f(x)=lg(1x)(D)f(x)=lg(1 x)36. 下图中三条对数函数图像, 若 a1, 则 x1 、x2、x3 的

22、大小关系是(A)xx x3(B)x xx1(C)x xx2(D)x2x x3123231137. 函数 f(x)=axb1(a 0,a 1)图像只在第一、三、四象限. 则()(A)a 1,b R(B)0 a1,b 0(C)0 a1,b R (D)a1,b 038. 函数 y=2x 的图像向左平移一个单位得图像 C1, 再将 C1 向上平移一个单位得到图像 C2,作出 C2 关于直线 y=x 的对称图像 C3, 则 C3 的解析式是()(A)y=log 2 (x+1)+1(B)y=log2(x+1) 1(C)y=log2(x 1)+1(D)y=log2(x 1) 139. 某商品价格前两年每年递

23、增 20% ，后两年每年递减 20% ，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是（）A、减少 7.84%B 、增加 7.84%C、减少 9.5%D、不增不减40. 定义在区间（ , ) 的奇函数 f(x) 为增函数 , 偶函数 g(x) 在区间 0, ) 的图像与 f(x) 的图像重合 , 设 ab0, 给出下列各式：f(b) f( a) g(a) g( b);f(b) f( a) g(a) g( b);f(a) f( b) g(b) g( a);f(a) f( b) g(b) g( a).其中正确的是()(A) 与(B) 与(C) 与(D) 与.二、填空题：1.化简 log 2 (123)

24、log2 (123).2.log6log 4 (log 3 81) 的值为.3.某企业生产总值的月平均增长率为p ，则年平均增长为.4.若 log x211 ，则 x.5.设 2a5b10,则 11_.ab6.函数 yax 11(a0且aa对 a1) 的图象必经过定点 _; 函数 y=log (4x-7) 0 且 a1 的所有实数 , 必过定点 _.7.f ( x)1的定义域为;函数 y= log 0.5 ( x1) 的定义域24xlog 2 ( x3)是.18. 函数 y= 1 的值域是 _.2 x9. 若1a2.log 2a 1a0 ，则 a 的取值范围是10. 若函数 f ( x)log

25、 a ( x3ax ) (a 0, a1) 在区间 (1 ,0) 内单调递增，则 a 的取值范围2是.11.方程 lg x2lg( x2)0 的解集是 .方程 2logx+3logx2=7 的解集是 _.212.函数 y=（ 1 ） x22 x 2 的递增区间是 _;函数 y=log 2(x 2-4x+3) 的递增区间是2_.f （x）（ x ）的反函数，则f 1（x）的值域为13.f 1 x）为函数=lg_.（+114.设函数 f ( x) ln1x ，则函数 g( x)f ( x)f ( 1) 的定义域为 _.1x2x15.函数 y=lg(5x+7)的反函数是 _，反函数的值域是 _.;.

26、16. 函数 y=x·的最大值是 _.17.已知 f（x）=log 3（x1）2，则 f（x）的值域为 ,单调增区间为,13单调减区间为.18.已知函数 f （x）=(1) x , x 4,则 f （2 ）的值为22+log 3f ( x1), x4,19.若直线yay=|ax1|（a0且 a ）的图象有两个公共点，则a 的取值=2 与函数1范围是 _.20. 若函数 f （x）=log a x（ 0 a 1在区间 a， 2a上的最大值是最小值的 3 倍，则a 等于.21.设 f1（x）是 f （x）=log2（ x）的反函数，若1f1 () 1f1( )8，则 f+1aba b）的

27、值为.（ +（x ）x 集合为。22.满足等式lgx ）+lg=lg2 的12_23.若关于 x 的方程 5xa3 有负根，则实数 a 的取值范围是 _.a324. f （ x） =loga21(2x1) 在（ 1 ，0）上恒有 f （ x） >0，则 a 的取值范围 _225.当 x0时，函数 y(a28) x 的值恒大于 1，则实数 a 的取值范围是 _.26.若 a3a4 (a0, a1) ，则 a 的取值范围是 _.27. 若 log a(a 2+1) log a2a0, 则 a 的取值范围是 _.28. 函数 f （ x）=|lg x| ，则 f （ 1 ）， f （ 1 ）， f （2）的大小关系是 _4329. 使 x2 x3 成立的 x 的取值范围是 _.30. 函数 y=x2+的最小值是 _; 最大值是 _.三、解答题1. 化简或求值：223lg500812a 11 a31 a；lg2lg 64 50 lg 2 lg5（1）（2）5.1100e1log 2 32.625+lg+ln+ 2的值求 log 2 53. 已知 x 2x 22 2, x 1，求 x 2x 2 的值4.已知 a xaxu ，其中 a >0,xR，试用 u 将下列各式分别表