导数及其应用测试题(有详细答案)

1、导数及其应用一、选择题1. f ( x0 )0 是函数 fx 在点 x0 处取极值的 :A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件、设曲线y x21在点 (x , f ( x) 处的切线的斜率为g( x)，则函数 yg( x)cos x 的部分图象可以2为yyyyOxOxOxOxA.B.f (x) 和 yC.D.设 f ( x) 是函数 f ( x) 的导函数，将 yf( x) 的图象画在同一个直角坐标系中，不3可能正确的是（）4.若曲线 y x2 ax b 在点 (0， b)处的切线方程是x y 1 0，则 ()A a 1， b 1B a 1， b1C a 1， b 1

2、D a 1， b 15函数 f(x) x3 ax2 3x 9，已知 f (x)在 x 3 时取得极值，则a 等于 ()A 2B 3C 4D 5x 26.设函数 fx的导函数为fx ，且fx2 xf 1 ，则 f0等于()A、 0B、 4C、 2D、 27.直线 yx 是曲线 yaln x 的一条切线，则实数a 的值为 ()A 1B eC ln 2D 18. 若函数 f (x)x312x在区间 (k1, k1) 上不是单调函数，则实数k 的取值范围（）A k3或 1 k1或k 3B 3 k1或1 k 3C 2k 2D不存在这样的实数k9.函数 fx的定义域为a, b，导函数fx 在 a, b 内

3、的图像如图所示，则函数 fx在 a, b内有极小值点 ()A1 个B2 个C3个D4 个10.已知二次函数f ( x)ax2bx c 的导数为 f'( x) ，f'(0)0 ，对于任意实数x 都有 f ( x)0 ，则f (1) 的最小值为 ()f '(0)A 35C 2D3B22sin x11.函数 y的导数为 _xx3ax 2a 2 在 x=1 处有极值为 10，则 f(2) 等于 _.12、已知函数f (x)bx13函数 yx 2cos x 在区间 0,2 上的最大值是14f (x)xaxR在上有两个极值点，则实数a 的取值范围是已知函数3f (x) 是定义在 R

4、 上的奇函数，f (1) 0 ，xf ( x)f (x)，则不等式15. 已知函数x 20（x0）x 2 f ( x) 0 的解集是三、解答题（本大题共6 小题，共80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. 设函数 f ( x) 2x33ax23bx8c 在 x1 及 x 2时取得极值（ 1）求 a、b 的值；（ 2）若对于任意的x 0，3 ，都有 f ( x)c2 成立，求 c 的取值范围17. 已知函数f (x)2x33x23.（ 1）求曲线yf (x) 在点 x2 处的切线方程；（ 2）若关于x 的方程 fxm0 有三个不同的实根，求实数m 的取值范围 .二、填空题（本大题

5、共4 个小题，每小题5 分，共 20 分）18. 设函数 f ( x) x 36x 5, x R .20. 已知 f ( x)ax 3(a 1) x 24x1 a R（ 1）求 f ( x) 的单调区间和极值；3（ 2）若关于 x 的方程 f ( x) a 有 3 个不同实根，求实数a 的取值范围 .（ 1）当 a1时，求函数的单调区间。（ 3）已知当 x (1,)时 , f ( x) k( x1) 恒成立，求实数k 的取值范围 .（ 2）当 aR 时，讨论函数的单调增区间。？（）是否存在负实数a ，使 x1,0，函数有最小值3321. 已知函数 fxxa2， gxx ln x ，其中 a0

6、x19. （本题满分12 分）已知函数 f (x)x ln x .（ 1）若 x1是函数 hx fxg x 的极值点，求实数a 的值；（）求 f ( x) 的最小值；（）若对所有x 1f ( x) ax 1，求实数 a 的取值范围 .（ 2）若对任意的x1, x21， e（ e 为自然对数的底数）都有f x1g x2成立，求实数 a 的都有取值范围导数及其应用参考答案18. 解:（ 1） f (x)3( x22),令 f ( x)0,得 x12, x221 分一、选择题：10 当 x2或 x2时 , f ( x)0;当2x2时, f ( x)0 ，2 分题号123456789答案DADADBD

7、BAC f ( x) 的单调递增区间是( ,2)和(2,) ，单调递减区间是(2, 2) 3分二、填空题：当 x2, f ( x)有极大值 54 2 ；当 x2, f (x)有极小值 542 .4 分（ 2）由（ 1）可知 yf ( x) 图象的大致形状及走向（图略）x cos xsin x14. a | a0 ；15. ( 1,0)(1,)11. y '；12. 1813.3 ；当 54 2 a 542时, 直线 y a与 yf ( x) 的图象有3 个不同交点， 6分2x6三、解答题16. 解：（ 1） f( x) 6x26ax 3b ，因为函数 f ( x) 在 x 1 及 x2

8、 取得极值，则有f (1) 0 ， f (2) 0 66a3b，0即24 12a 3b 0解得 a3 ， b4 即当 54 2a5 4 2 时方程 f (x)有三解 . 7分（ 3） f (x)k (x1)即(x 1)( x2x 5)k ( x 1) x 1,kx 2x 5在 (1,) 上恒成立 .9分令 g ( x)x2x5 ，由二次函数的性质，g(x)在 (1,) 上是增函数， g ( x)g (1)3, 所求 k 的取值范围是k3 12分（ 2）由（）可知， f (x)2 x39x2 12 x 8c ，f ( x)6x218x 126( x1)( x2) 当 x(01)， 时， f( x

9、)0；当 x(12)， 时， f( x)0；当 x(2，3) 时， f( x)0 所以，当x1时， f ( x) 取得极大值f (1)58c ，又 f (0) 8c ， f (3)98c 则当 x0，3时， f (x) 的最大值为f (3)98c 因为对于任意的x0，3，有 f (x)c2 恒成立，所以98cc2 ，解得c1 或c 9 ，因此c 的取值范围为(， 1)(9，) .17.解（ 1） f( x)6x26 x, f (2)12, f (2)7,2 分曲线 yf ( x) 在 x2 处的切线方程为y 712( x2) ，即 12x y170 ；4 分（ 2）记 g( x) 2x33x2

10、m 3, g (x) 6x26x 6x(x 1)令 g ( x)0, x0或 1.6分则 x, g ( x), g ( x) 的变化情况如下表x(,0)0(0,1)1(1,)g ( x)00g(x)极大极小当 x0, g( x) 有极大值 m3; x1, g( x) 有极小值 m2. 10分由 g (x) 的简图知，当且仅当g (0)0g(1),0m30m2 时，即2, 3m0函数 g (x) 有三个不同零点，过点A 可作三条不同切线 .所以若过点 A 可作曲线 yf ( x) 的三条不同切线，m 的范围是 ( 3, 2) . 14分19. 解析： f ( x) 的定义域为 ( 0，+ ) ，

11、 1 分f (x) 的导数 f( x)1 l nx.3 分令 f ( x)1；令 f ( x)10 ，解得 x0 ，解得 0 x.ee从而 f ( x) 在11， +单调递增 . 5 分0，单调递减，在ee所以，当11x时，f ( x )取得最小值.6e分e（）解法一：令g( x)f (x) (ax1) ，则g ( x)f ( x)a1 aln x ，8 分 若 a1 ，当 x1 时， g ( x) 1a ln x 1 a 0 ，故 g( x) 在 (1， + ) 上为增函数，所以， x1时， g( x)g(1)1a0 ，即 f ( x)ax1 . 10 分 若 a1，方程 g ( x)0 的

12、根为x0ea 1，此时，若x(1， x0 ) ，则 g ( x)0 ，故 g( x) 在该区间为减函数 .所以 x(1， x0 ) 时， g( x)g (1)1a0 ，即 f ( x)ax 1 ，与题设 f ( x)ax1相矛盾 . 13分综上，满足条件的a 的取值范围是(，1. 14分解法二：依题意，得f ( x)ax1在 1，) 上恒成立，即不等式 aln x11，)恒成立 .8 分对于 xln x 1x111 11令 g ( x)，则 g ( x).10分xxx2xx当 x 1 时，因为 g (x)1110 ，xx故 g( x) 是 (1， ) 上的增函数，所以g (x) 的最小值是 g

13、 (1)1， 13分所以 a 的取值范围是 (，1 .14 分20. （ 1） x, 2 , 或 x2, f(x)递减 ;x2,2 ,f (x)递增 ; （ 2）1、当 a 0,x,2 ,f(x)递增 ;2、当 a0, x2 ,2, f(x)递增 ;3、当 0a1, x,2 , 或 x2 , f(x)aa递增 ;当 a1,x, f (x)递增 ;当 a1, x, 2, 或 x2, f(x)递增 ;（ 3）因 a0, 由a分两类（依据：单调性，极小值点是否在区间-1,0 上是分类 “契机 ”：1、当 21,a2,x1,02,f(x)递增， f (x)f( 1)3，解得a32,a,2min4a2、

14、当 21,a2,由单调性知：f(x)minf(2) 3，化简得：3a 23a 10 ，解得a3a3212,不合要求；综上，a为所求。a6421.（ 1）解法 1： h x2xa2ln x ，其定义域为0，xa2 hx21x2xa2 x1是函数 hx 的极值点， h10，即 30 a0 ， a3 经检验当 a3 时， x1 是函数 hx的极值点， a3 解法 2： hx2xa2ln x ，其定义域为0，x hx2a212xxa21当 x 1， e时， gx110 x函数 gxxln x 在 1，e 上是增函数 gxmaxgee1 f x1a2xaxa，且 x1, e ， a 0 x2x2xa x a当 0a 1 且 x 1， e时， fx0 ，x2函数fxxa21e上是增函数，在 ，xfxminf11a2 .由1a2e1，得 a e，又0a1 ， a 不合题意当 1a e时，若 1x a ，则 fxx axa0 ，x2若 a x e ，则 f xxaxa0 x2函数 fxxa2上是减函数，在a，e 上是增函数在 1,axfxminfa2a .由 2a e1，得 a e1 ，2令 hx0，即 2x20 ，整理，得 2 x2xa20 8a2x10 ， hx0118a2（舍去）， x2118a2的两个实根x144，当 x 变化时， h x， hx 的变化情况如下表：x0,x