导数题型-利用导数证明不等式--学生版教师版精品资料

1、导数习题题型分类精选利用导数证明不等式（学生版）不等式的证明问题是中学数学教学的一个难点,传统证明不等式的方法技巧性强,多数学生不易想到 ,并且各类不等式的证明没有通性通法. 随着新教材中引入导数, 这为我们处理不等式的证明问题又提供了一条新的途径,并且在近年高考题中使用导数证明不等式也时有出现 ,但现行教材对这一问题没有展开研究,使得学生对这一简便方法并不了解.利用导数证明不等式思路清晰,方法简捷 ,操作性强 ,易被学生掌握。下面介绍利用单调性、极值、最值证明不等式的基本思路，并通过构造辅助函数，证明一些简单的不等式。通过作辅助函数并对辅助函数求导来证明不等的的方法对相当广泛的一类不等式是适

2、用的。用此方法证明f(x) g(x)(a x b) 的一般步骤是：1. 作辅助函数（x） =f(x)-g(x),原不等式f(x) g(x)(a x b) 归结为：（x）0(a xb), 这等价于 (x) 在 a,b 上的最小值大于等于0.2. 对（ x）求导，确定F(x) 在所考虑的区间上的符号，从而确定(x) 的增减性、极值、最值等性质（主要是单调性），如象例F(x) 的符号直接确定不了，这时一般需计算（ x） , 直到符号能够确定为止注意：作辅助函数(x) 不同，确定F(x) 符号难易程度可能不同，所以作辅助函数不拘一格，可对原题作适当变更不同辅助函数构造一般来源对原不等式的不同同解变形一

3、般来说 : 辅助函数构造方法主要有下面两种:要x2(1) 由欲证形式构造“形似”函数。例如：xln(1 x) 构造出2g x xx2ln(1 x)2(2) 对含两个变量的不等式，由欲证形式做恒等变形，变成初等函数四则运算的形式，再将其中一个变量改为 x，移项使等式一端为 0，则另一端即为所求作的辅助函数 F（ x）例如： ( ab ) a ba a bb2两边可取对数，变为求证：a ln ab ln b( ab) ln a b2令 f ( x)a ln a x ln x (a x) ln a x ( x a)2一构造形似函数型1对证明形如f(x) g(x)(a x b) 的不等式构造形如（x）

4、 =f(x)-g(x)的函数型并通过一阶求导达到证明目的的不等式。例 1求证下列不等式x2ln(1 x) xx2(0 ,) （相减）（ 1） x2(1x2x)2xx (0 , ) （相除两边同除以x 得 xsin x2（ 2） sin x）2（ 3） x sin xtan xxx(0 ,)2（ 4）已知： x(0) ，求证1ln x1 1 ；（换元：设 tx1 ）x 1xx1x（ 5）已知函数f ( x)ln( x1)x ，x 1，证明： 11) xln( xx1巩固练习：11.证明 x1时，不等式2x3x2. x0 ，证明： ex1x3. x0 时，求证： xx2ln(1 x)2综合应用4.

5、 例：（理做）设a 0， f (x)=x 1ln 2 x 2a ln x（ x>0） .（）令F（ x） xf （ x），讨论F（x）在（ 0. ）内的单调性并求极值；2（）求证：当x>1 时，恒有 x>ln x 2a ln x 1.例 2. （本小题满分14 分）已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函数f(x)的最大值；(ii)设 0<a<b, 证明0<g(a)+g(b)-2g(ab)<(b-a)ln2.2解：、（ 2009全国卷理）( 本小题满分12分)设函数f xx2aIn 1 x 有两个极值点x1、 x2，且 x1

6、 x2（ I）求 a 的取值范围，并讨论f x的单调性；12In 2II）证明：fx24例 3：（ 1）已知： x(0) ，求证1ln x11 ；x1xx（ 2）已知： nN且 n2 ，求证： 111ln n111。23n2n1解：(2012 山东理科 22 题本小题满分 13 分)ln xkf (x) 在已知函数 f ( x)(k 为常数，e=2.71828是自然对数的底数 )，曲线 yex点 (1, f (1) 处的切线与 x 轴平行 .()求 k 的值；()求 f (x) 的单调区间；( )设 g (x)xf (x) ，其中 f ( x) 为 f ( x) 的导函数 .证明：对任意x0, g ( x)1e 2 .来源 :解：2012 天津理科（21）（本小题满分 14 分）已知函数( )x() fxxe xR( ) 求函数 f(x)的单调区间和极值；()已知函数y=g