平面向量知识点总结、经典例题及解析、高考题50道及答案

1、精品文档第五章平面向量【考纲说明】1、理解平面向量的概念和几何表示，理解两个向量相等及共线的含义，掌握向量的加、减、数乘运算及其几何意义，会用坐标表示。2、了解平面向量的基本定理，掌握平面向量的坐标运算。3、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题。【知识梳理】一、向量的基本概念与线性运算1向量的概念：（ 1）向量：既有大小又有方向的量，记作uuuruuurAB ；向量的大小即向量的模（长度），记作| AB|向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小（ 2）零向量：长度为0的向量，记为 0 ，其方向是任意的，0 与任意向量

2、平行（ 3）单位向量：模为1个单位长度的向量常用 e 表示（ 4）平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量，记作a b 平行向量也称为共线向量（ 5）相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为ab大小相等，方向相同x1x2(x1 , y1 ) ( x2 , y2 )y2y1（ 6）相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量记作a , 零向量的相反向量仍是零向量若 a、 b 是互为相反向量，则a = b , b = a , a + b = 02 向量的线性运算：（ 1）向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法向量加法满足交换律与结合律；向

3、量加法有“三角形法则 ”与 “平行四边形法则 ”（ 2）向量的减法 ：求向量 a 加上 b 的相反向量的运算叫做a 与 b 的差向量的减法有三角形法则，a b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量（ a 、 b 有共同起点）（ 3）向量的数乘运算：求实数与向量 a 的积的运算，记作a aa ；当0时， 的方向与a的方向相同；当0时， 的方向与a的方向相反；当0时，a0 ，方向aa。1欢迎下载精品文档是任意的 数乘向量满足交换律、结合律与分配律3. 两个向量共线定理：向量 b 与非零向量 a 共线有且只有一个实数，使得 b = a向量 b 与非零向量 a 共线有两个均不是零的实数、 ，

4、使得 ab 0二、平面向量的基本定理与坐标表示1 平面向量的基本定理：如果 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1, 2使：a1e12 e2 ，其中不共线的向量e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2. 平面向量的坐标表示：（ 1）在直角坐标系中，分别取与rrx 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i, j 作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量rrrrr是一一对应的，因此把(x,y)ra 可表示成axiyj ，由于 a 与数对 (x,y)叫做向量 a 的坐标，rrrrr(0,1) 记作 a =(x,y)，其中

5、 x 叫作 a 在 x轴上的坐标， y 叫做在 y 轴上的坐标 显然 0 =（ 0,0 ）， i(1,0) ， juuurrruuuruuur，则 A 点的坐标为 (x,y)（ 2）设 OAxiy j . 则向量 OA 的坐标 (x,y)就是终点 A 的坐标，即若 OA =(x,y)，反之亦成立（ O是坐标原点） 3 平面向量的坐标运算：rx1, y1rx2 , y2rrx1x2 , y1y2 （ 1）若 a, b，则 a buuur（ 2）若 A x1 , y1 , B x2 , y2，则 ABx x , y2y ，211uuurx2 )2( y1 y2 )2 AB(x1rr（ 3）若 a

6、=(x,y) ，则a =( x, y) rx1, y1rx2 , y2rrx1 y2x2 y10 （ 4）若 a, b，则 a / brx1, y1rx2 , y2rry1 y2 （ 5）若 a, b，则 a b x1 x2三、平面向量的数量积1 两个向量的数量积：已知两个非零向量rrr rrrrrra 与 b ，它们的夹角为， a ·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积叫做a 与 b 的数量rrrrrr0积（或内积），即 a ·b = a · b cos，规定 0a。2欢迎下载精品文档rrrrr2=a b向量的投影：b cosr R，称为向量

7、b 在 a 方向上的投影投影的绝对值称为射影| a |3向量的模与平方的关系：rrr2r 2aaa| a |4 乘法公式成立：rrrrr2r 2rabababarr 2r2rrr2raba2abba2 r 2b ；2r rr22a bb5 平面向量数量积的运算律：rrrr 交换律成立： a bb a 对实数的结合律成立：rrrrrrR aba babrrrrrrrrrr； 分配律成立： abcacbccab特别注意： 结合律不成立：rrrrrrabca bcrrrrrr 消去律不成立 a ba c不能得到 bc r rrrrr a b =0 不能得到 a = 0或 b = 06 两个向量的数量

8、积的坐标运算：已知两个向量rra·(x2 , y2 )，则 rr =x1 x2y1 y2a( x1 , y1 ),bb7 向量的夹角：已知两个非零向量rruuurruuurr（ 00a 与 b ，作 OA =a ,OB = b , 则 AOB=夹角rrrrx1 x2y1 y2cosa b,rrcos =a b=a bx1 2y1 2x2 2y2 2当且仅当两个非零向量rr0rr0a 与 b 同方向时， =0 ，当且仅当a 与 b 反方向时 =180 ，同时谈夹角这一问题8 垂直：如果rr的夹角为900rr垂直，记作rra 与 b则称 a 与 ba b1800）叫做向量rra 与 b

9、的r0 与其它任何非零向量之间不a b· Ox x2y y20a b11【经典例题】【例 1】（2010 全国 ， 8） ABC中，点 D 在边 AB上， CD平分 ACB，若 CBa ，。3欢迎下载精品文档CAb， a 1, b2，则 CD =（）（ A） 1 a2 b（ B） 2 a1 b（ C） 3 a4 b（ D） 4 a3 b33335555【答案】 Buuuuruuuur,uuur2uuuruuur2【解析】由角平分线的性质得AD2 DB即 有AD3(CBCA)(a b) 从 而uuuruuuruuur2 (a b)2 a1 b 故选 B3bCDCAAD333【例 2】（

10、 2009 北京， 2）已知向量 a、b 不共线， ck ab( kR), d ab, 如果 c / d，那么（）A k 1 且 c 与 d 同向B k 1 且 c 与 d 反向C k1 且 c 与 d 同向D k 1 且 c 与 d 反向【答案】 D【解析】取 a1,0 ， b0,1 ，若 k1 ，则 cab1,1， d a b1,1，显然， a 与 b 不平行，排除 A、 B若 k1 ，则 cab1,1 ，dab1,1 ，即 c / d 且 c 与 d 反向，排除 C，故选 D【例 3】（2009 湖南卷文） 如图， D，E， F 分别是ABC的边 AB， BC， CA的中点，则 ()uu

11、uruuuruuurrA ADBECF0AuuuruuuruuurrB BDCFDF0FuuuruuuruuurrDC ADCECF0uuuruuuruuurrDBDBEFC0【答案】 ABCEuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurr【解析】 Q ADDB ,ADBEDB BEDEFC ,得 ADBECF0uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurr或 ADBECFADDFCFAFCF0 【例 4】（2009 宁夏海南卷文） 已知 a3,2 ,b1,0，向量a b 与 a2b 垂直，则实数的值为()A.1B.1C.1D.1

12、7766【答案】 A。4欢迎下载精品文档【解析】向量a b （ 31，2）， a2b （ 1,2 ），因为两个向量垂直，故有（31， 2 ）×（1,2 ） 0，即 3 14 0，解得：1 ，故选 A7【例 5】（2009 全国卷 文）设非零向量 a 、 b 、 c 满足 | a | | b | | c |, abc ，则a,b（）A 150°B.120°C.60°D.30°【答案】 B【解析】由向量加法的平行四边形法则，知a 、 b 可构成菱形的两条相邻边，且a 、 b 为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择 B【例 6】（ 2009 安徽卷

13、文） 在平行四边形ABCD中，E 和 F 分别是边 CD和 BC的中点，或=+，其中，R ，则+= _ 【答案】 4 31 r1 ruuurruuurruuurruuurruuurrr【解析】设 BCb 、 BAa 则 AFba ,AEba ,ACba2422代入条件得uu33【例 7】（ 2009 辽宁卷文） 在平面直角坐标系xoy 中，四边形 ABCD的边 ABDC,AD BC,已知点 A( 2，0) ，B（ 6，8），C(8,6),则 D 点的坐标为 _【答案】 (0, 2) uuuruuuruuuruuur【解析】平行四边形ABCD中, OBODOAOCuuuruuuruuuruuur

14、 (8,6) (6,8) (0, 2) ODOAOCOB ( 2,0)即 D点坐标为 (0, 2) 【例 8】（ 2012江苏） 如图 , 在矩形 ABCD 中 ,AB2 ，BC2，点 E为uuuruuuruuur uuurBC 的中点， 点 F 在边 CD 上 , 若 AB g AF2 , 则 AE g BF 的值是 _【答案】2 uuuruuuruuur uuurFABuuur【解析】由 AB g AF2 , 得 AB g AF gcos2 , 由矩形的性质 , 得 AF gcos FAB =DF AB2， 2 DF2，DF 1CF2 1 uuur uuur， AEB,FBC记 AE 和B

15、F 之间的夹角为，则又 BC2 ，点 E 为 BC的中点， BE1uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurBF= AEBF cos= AEBFcos= AEBFcos cossin sinAEggggggg。5欢迎下载精品文档uuuruuuruuuruuurABgCF1 22212 .= AE cosg BF gcosAE sing BF sin =BEgBC本题也可建立以AB , AD 为坐标轴的直角坐标系, 求出各点坐标后求解uuuruuuruuuruuur3BC2 ，求角 A， B， C的大小【例 9】 (2009 湖南卷理 ) 在ABC ，已知 2ABAC3 A

16、BAC【答案】 A, B, C2663【解析】解：设BCa, AC b, ABcuuuruuur3uuuruuur3bc ，所以 cos A3由 2AB ACABAC 得 2bc cos A2又A (0,),因此 A6uuuruuur3BC 2得 bc3a2 ，于是 sin Csin B3 sin2 A3由 3ABAC4所以 sin Csin( 5C )3， sin C(1 cosC3 sin C )3，因此642242sin CcosC23 sin 2 C3,sin 2C3 cos 2C0，既 sin(2C)0543由 A=知 0 C， 2C，从而，所以366332C0,或2C3,，既 C,

17、 或 C2, 故363A, B2 , C, 或 A, B, C2 636663【课堂练习】一、选择题1. （ 2012 辽宁理） 已知两个非零向量,b满足 |+|=|ab|,则下面结论正确的是（）aa bA abB a bC 0,1,3D a+b=a b2. (2009 年广东卷文 ) 已知平面向量=，=2，则向量a（ x,1） ba b()（ x, x ）A. 平行于 x 轴B.平行于第一、三象限的角平分线C. 平行于 y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线3. （ 2012天津文） 在ABC中 ,A90,AB1 ,AC=2, 设点 P,Q 满足uuuruuur uuur(1uuuruuur

18、uuur2APAB, AQ) AC,R.若BQCP, 则()。6欢迎下载精品文档（）A 1B 2C 4D 23334. （ 2009 浙江卷理） 设向量 a ， b 满足： | a |3， | b |4， a b0 以 a ， b ， ab 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为 1的圆的公共点个数最多为()A 3B.4C 5D 65. （ 2012重庆理） 设 x, yR, 向量 ax,1 , b1, y ,c2, 4, 且 arrc, b / c , 则 ab（）A 5B 10C2 5D 106. （ 2009浙江卷文） 已知向量 a(1,2)， b(2,3)若向量 c 满足 (ca) /

19、 / b ， c(ab) ，则 c（）A (7,7)B(7,7)C (7,7)D( 7, 7)933939937（ 2012浙江理） 设a, b 是两个非零向量 .（）A若 | a+b|=| a|-|b|,则 a bB若 a b, 则 | a+b|=|a|-|b|C若 |+|=| |-|,则存在实数 ,使得 =a bababD若存在实数 ,使得a=, 则 |+ |=|a|-|b|ba b8. （ 2009 全国卷 理） 设a、b、c是单位向量，且a· 0，则ac ? bc的最b小值为()A. 2B.22C.1D.129. （ 2012天津理） 已知 ABC 为等边三角形, AB=2

20、, 设点P,QuuuruuuruuuruuurR , 若满足 AP=AB ,AQ =(1)AC ,uuuruuur3,则 =BQ CP=（）2A 1B 122C1 10D32222210. （ 2009全国卷 理） 已知向量 a2,1 , a b10,| ab |52 ，则 | b |()A.5B.10C.5D.2511. （ 2012ABC 中,uuurruuurrrrrruuur大纲理）AB 边上的高为 CD , 若 CBa,CAb, a b0,| a |1,|b |2,则AD（）A1 r1 rB2 r2 rC3 r3 rD4 r4 r3ab3a3b5aba5b355uuuruuuruuu

21、ruuuruuuruuur12. （ 2008湖南） 设 D、E、F 分别是 ABC的三边 BC、 CA、AB上的点，且 DC2BD ,CE2EA, AF2FB, 则。7欢迎下载精品文档uuuruuuruuuruuurADBECF 与BC()A. 反向平行B. 同向平行C. 互相垂直D. 既不平行也不垂直13. （ 2008 广东） 在平行四边形ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O， E 是线段 OD 的中点， AE的延长线与 CD 交uuuruuuruuur于点F若 ACa ， BD b ，则 AF（）A 1 a1 bB 2 a1 bC 1 a1 bD 1 a2 b4233243314

22、. （ 2007 湖北） 设 a(4，3) ， a 在 b 上的投影为 52 ， b 在 x 轴上的投影为 2，且 | b | 14 ，则 b 为2（）A (2，14)B 2，2C2D (2，8)72，715.（ 2012 安徽理） 在平面直角坐标系中,uuuruuurO(0,0), P(6,8) , 将向量 OP 按逆时针旋转3 后, 得向量 OQ 则点 Q 的坐标4是（）A (72,2)B (7 2,2)C( 46, 2)D (46, 2)二、填空题uuur uuur16. （ 2012 浙江文） 在 ABC中 ,M 是 BC的中点 ,AM=3,BC=10, 则 AB AC =_.17.

23、（ 2009uuuruuur安徽卷理） 给定两个长度为1 的平面向量 OA 和 OB ，它们的夹角为 120o .uuuv如图所示，点C在以 O为圆心的圆弧 AB 上变动 .uuuruuuruuurR , 则 x y若 OCxOAyOB, 其中 x, y的最大值是 _.18.（ 2012 上海文）在知形 ABCD中 , 边 AB、AD的长分别为2、1. 若 M、N分别是边 BC、CD上的点 , 且满足 | BM |CN |,|BC |CD |则 AM AN 的取值范围是 _ .19. （ 2012课标文） 已知向量 a , b 夹角为 450 , 且 | a |=1,| 2a b |=10,则

24、|b |=_.AP 3uuuv uuuv20. （ 2012湖南文） 如图 4, 在平行四边形 ABCD中 ,AP BD,垂足为P,且AP ACg = _.。8欢迎下载精品文档ADPBCrr(1,1), 则21.（ 2012湖北文） 已知向量 a(1,0), brr_;( ) 与 2ab 同向的单位向量的坐标表示为rrr( ) 向量 b3a 与向量 a 夹角的余弦值为 _.（ 2012uuuruuur22.北京文） 已知正方形 ABCD的边长为 1, 点 E 是 AB边上的动点 , 则 DE CB 的值为 _.（ 2012rrrrrr23.安徽文） 设向量 a(1,2m), b( m 1,1)

25、,c(2, m) , 若 (ac) b , 则ra _ .24.（2012江苏） 如图 , 在矩形 ABCD 中 ,AB2 ，BC2，点E为BC的中点,点F在边uuur uuuruuur uuurCD 上 , 若 AB g AF2 , 则 AE g BF 的值是 _.rrrrr r25.（ 2012安徽理） 若平面向量 a,b 满足 : 2ab 3 ; 则 agb 的最小值是 _三、解答题26.(2009 年广东卷文 ) （已知向量a(sin, 2) 与 b(1, cos) 互相垂直，其中(0,)2（ 1）求 sin 和 cos 的值（ 2）若 5 cos() 35 cos ， 0, 求 co

26、s 的值2ur(a, b) ，27. （ 2009上海卷文） 已知ABC的角 A、 B、 C所对的边分别是a、b、 c，设向量 mrur(b2, a 2) .n (sin B,sin A) ， purr（ 1）若 m /n ，求证：ABC为等腰三角形；urur（ 2）若 m p ，边长 c = 2 ，角 C =，求 ABC的面积 .328. 已知 A 、 B 、 C 分别为 ABC 的三边 a 、 b 、 c 所对的角，向量 m(sin A,sin B) ， n(cosB, cos A) ，且m nsin 2C .（ ）求角 C 的大小；。9欢迎下载精品文档（ ）若 sin A ， sinC ， sin