平面向量题型归纳

1、平面向量题型归纳一向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】uuur r1向量的概念 ：既有大小又有方向的量， 记作： AB 或 a 。注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意 不能说向量就是有向线段 ，为什么？（向量可以平移） 。uuurr例：已知 A （1,2）， B（ 4,2），则把向量 AB 按向量 a （ 1,3）平移后得到的向量是uuurr2.向量的模 ：向量的大小（或长度） ，记作： | AB | 或 | a |。3 零向量 ：长度为0 的向量叫零向量，记作：0 ，注意 零向量的方向是任意的；rruuuruuur4 单位向量 ：单位向量 ：长度为 1 的向量。若 e

2、是单位向量，则 | e | 1 。( 与 AB 共线的单位向量是uuurAB ) ；|AB|5 相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；6 平行向量（也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量a 、 b 叫做平行向量，记作：a b ，规定零向量和任何向量平行 。提醒 ： 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；r平行向量无传递性 ！（因为有0 )；三点 A、B、C 共线uuuruuur、共线；ABAC如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的

3、是（）uuuruuuruuuruuuruuurDCA. ABCDB. ABADBDuuuruuuruuuruuuruuurAB0C. ADABACD. ADBC7相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是rrrrrr rrrrr r r r若 ab ，则 ab 。（ 2）若 ab,bc ，则 ac 。（ 6）若 a/ b,b / c ，则uuuruuura 、 ABBA 。例：下列命题：（ 1）r ruuuruuura / c 。（3）若 ABDC ，则 ABCD 是uuuruuur平行四边形。（ 4）若 ABCD 是平行四边形，则ABDC 。其中正确的是_题型 1、基本

4、概念1：给出下列命题：rrr r方向不相同的两个向量一定不平行；若 |a | | b |，则a = b ； 向量可以比较大小；r rr rr rr r r rr rr r0r0 ；若 a = b ， b = c ，则 a = c ；若 a / b ， b / c ，则 a / c ； 0 a； 0 a其中正确的序号是。2、基本概念判断正误： （ 1）共线向量就是在同一条直线上的向量。（ 2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。（ 3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。（ 4）四边形 ABCD 是平行四边形的条件是uuuruuurABCD 。uuuruuur（ 5）若 ABCD ，则

5、A 、 B 、C、 D 四点构成平行四边形。（ 6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。rrrrrr（ 7）若 a 与 b 共线，b与 c 共线，则 a 与c 共线。rrrrrrn 。（ 8）若 mamb ，则 ab 。（9）若 mana ，则 mrrrr（ 10）若 a 与b 不共线，则 a 与 b 都不是零向量。r rrrrrrr r rr r（ 11）若 a b| a | | b |，则 a / /b 。（ 12）若 | ab | | a b | ，则 a b 。二、向量加减运算8.三角形法则：uuuruuuruuur uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurA

6、BBCAC；ABBCCDDEAE；ABACCB （指向被减数）9.平行四边形法则 ：rrrrrr以 a, b为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b ， ab 。题型 2.向量的加减运算1、化简uuur ( ABuuurMB )uuur( BOuuurBC )uuuurOM。uuuruuuruuur2、已知 | OA|5,| OB |3,则 | AB |的最大值和最小值分别为、。uuuruuuruuuruuur3、在平行四边形ABCD 中，若 ABADABAD ，则必有()uuurruuurruuurrC.ABCD是矩形D.ABCDA. AD0B. AB或AD0是正方形0题型 3.向量的数乘

7、运算rrrrrrrrrr1、计算：（ 1） 3(ab)2(ab)（ 2） 2(2 a5b3c )3( 2a3b2c)题型 4.作图法求向量的和r rr1 rr3 r1、已知向量 a, b ，如下图，请做出向量3ab 和 2a2b 。2题型 5.根据图形由已知向量求未知向量uuur uuuruuur1、已知在ABC中，D是BC的中点，请用向量AB AC表示AD。，2、在平行四边形uuurruuurruuur uuurABCD 中，已知 ACa, BDb ，求 AB和 AD 。题型 6.向量的坐标运算rr( 3,8) ，则r1r。1、已知 a (1,4), b3ab2rrr练习：若物体受三个力F1

8、(1,2), F2( 2,3) , F3( 1,4) ,则合力的坐标为。uuur(3,5) ， P(3,7)，则点 Q 的坐标是2、已知 PQ。、 已知r，rrrrrrr3a(3,4)b(5,2)，求 ab ， ab ， 3a 2b 。.2、已知 A(1,2), B(3,2)r(x2, x3yuuur,向量 a2) 与 AB 相等，求 x, y 的值。5、已知 O 是坐标原点，A(2, 1), B( 4,8)uuuruuurruuur，且 AB3BC0 ，求 OC 的坐标。三平面向量的基本定理：如果 e12a，有且和 e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量只有一对实数1 、

9、2，使 a=1 e1 2 e2。基底 ：任意不共线的两个向量称为一组基底。题型 7.判断两个向量能否作为一组基底ur uur1、已知 e1 , e2是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：uruur uruururuuruurururuuruururuur uururA. e1e2和e1e2B. 3e12e2和 4e26e1C. e13e2和e23e1D. e2和e2e1练习：下列各组向量中，可以作为基底的是（）(A) e1( 0,0), e2(1, 2)(B)e1( 1, 2), e2(5,7)(C) e1(3,5 ), e2( 6,10 )(D)e1( 2 , 3 ), e

10、2(1,3)24rr）2、 .已知 a(3,4) ，能与 a 构成基底的是（3443344A.(,)B.( , )C.(,)D.( 1, )55555533、知向量e1、 e2 不共线，实数(3x-4y)e1 (2x-3y)e2 =6e1 +3e2 ,则 x y 的值等于4、设 e1 , e2 是两个不共线的向量，AB2e1ke2 ,CBe13e2 , CD2e1e2 ，若 A 、B 、D 三点共线，求k 的值 .5、平面直角坐标系中，uuuruuuruuurO 为坐标原点，已知两点 A(3,1), B(-1,3), 若点 C(x, y)满足 OC =OA +OB ，其中 ,R且+=1，则 x

11、, y 所满足的关系式为（）A 3x+2y-11=0B ( x-1)2+(y-2) 2=5C 2x-y=0D x+2 y-5=0四平面向量的数量积：uuurr uuurrAOB1 两个向量的夹角 ：对于非零向量 a ， b ，作 OAa, OBb ，0称为向量 a ， b 的夹角，当 0 时， a ， b 同向，当 时， a ， b 反向，当时， a ， b2垂直。与向量 a 的积是一个向量，记作a ，它的长度和方向规定如下：1rr实数与向量的积 ：实数aa , 2>0 时， a 的方向与 a 的方向相同， 当<0 时，a 的方向与 a 的方向相反， 当rr当 0 时， a0，注意

12、 ：a 0。uuur uuuruuurr uuurruuurr r例1、已知 AD ,BE 分别是ABC的边 BC , AC 上的中线 且 ADa, BEb可用向量a, b表示为_,则 BC例 2、已知ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 CD2DB，CDr ABs AC，则 rs的值是a ， b ，它们的夹角为rr叫做 a 与 b 的数量2 平面向量的数量积：如果两个非零向量，我们把数量 | a |b | cosrr0，注意数量积（或内积或点积） ，记作： a ? b ，即 a ? b a b cos。规定：零向量与任一向量的数量积是积是一个实数，不再是一个向量。3向量的运算律 ：rrrr

13、rrrrrr1交换律： abba ，aa ， a ?bb ?a ；rrrrrr rrrrrrr rrrrr2结合律： abcabc, abcabc，a ? ba ?ba ? b ；rrrrrrrrrrr rr r3分配律：aaa,abab， ab ? ca ? cb? c 。题型 8：有关向量数量积的判断1：判断下列各命题正确与否：（ 1） (ab)ca(brrrrrrrrc) ；（ 2）若 a bac ，则 bc 当且仅当 a0时成立；（ 3） (ab) cacbrrrrrrr rrc ；（ 4） (ab) ca (bc) 对任意 a, b, c 向量都成立；rr rr rrrrr2r 2（

14、 5）若 a0, a ba c ，则 bc ；（ 6）对任意向量 a ，有 aa 。(7)m（ ab） =m a +m b其中正确的序号是。2、下列命题中： a (bc )a ba c ； a (bc)( a b )c ； ( a b )2 | a |22 | a | | b | | b |2 ； 若 a b0 ，则 a0 或 br rr rrrr 2r 20 ； 若 a bc b, 则 ac ； aa ；r rrr r 2r 2 r 2rr 2r 2r rr 2a bb。其中正确的是 _ r 2r ； (a b)ab ； ( ab)a2abbaarrr题型 9、求单位向量a【与 a 平行的单

15、位向量：er】| a |r(12,5)平行的单位向量是r( 1,1平行的单位向量是1.与 a。 2.与 m)2rrrrrr题型 10、数量积与夹角公式：cosra bra b| a |b | cos ；| a | b |rrx2y 2r 2rrrrr向量的模： 若 a(x, y) ，则 | a |， a| a |2 ， | ab |(a b )21、 ABC 中， |AB |3，|AC |4，|BC |5，则 AB BC_r 1 r2、已知 a (1, ),b2rr3、已知 | a |3,|b |1rr(0,), ca24rr，且 a 与 br urrr r ur，则 k 等于 _kb,dab

16、 ， c 与 d 的夹角为4的夹角为 60or rr rr，求（ 1） a b ，（ 2） a (ab) ，r1rrrrrr。（ 3） ( a2b ) b ，（4） (2ab ) (a3b)rrrrrrr rr4、已知 a,b 是两个非零向量，且abab ，则 a与 ab 的夹角为 _r(r( 2 3,2)rr5、已知 a3,1), b，求 a 与 b 的夹角。6、已知 A(1,0) ， B(0,1) ， C (2,5) ，求 cosBAC 。7、已知非零向量a,b 满足 ab，b （b2a），则 a与b 的夹角为ABC 中 ABC50ouuur uuur8：已知, BC BA,则 BA 与

17、AC 的夹角为rrr r rrrra9：已知向量 a 与向量 b 的夹角为120°，若向量 c = a + b ，且 a c ，则 r的值为brrrrrr r10： 已知 | a |1| b | 2， | a b | 2，则 b 与 2 a - b 的夹角余弦值为rrr rrrr r11：已知向量 a =2 ， b =2， a 和 b 的夹角为 135，当向量 a +b 与a + b 的夹角为锐角时，求的取值范围。题型 11、求向量的模的问题rrx2yr 2rrrrr2如向量的模： 若 a(x, y) ，则 | a |2， a| a |2， | ab |(ab )1、已知零向量 a

18、（2，1）,a.b 10, a b5 2，则 b2、已知向量a, b 满足 a1, b2, ab2，则 ab3、已知向量a(1,3) ， b(2 , 0 )，则ab4、已知向量a(1,sin), b(1, cos ), 则 ab 的最大值为5、设点 M 是线段 BC 的中点，点A 在直线 BC 外，(A) 8(B)4(C) 2(D) 16、 设向量 a ， b 满足 ab1及 4a3b3 ，求 3a5b 的值练习：已知向量a,b 满足 a2,b5,a.b3，求a b 和 ab7、 设向量 a ， b 满足 a1, b2, a(a2b),则 2ab的值为r1， | b | 4 ，则 | a b

19、|的最大值是8、已知向量 a 、 b 满足 a最小值是。题型 12、结合三角函数求向量坐标1. 已知 O 是坐标原点，点uuur150ouuurA 在第二象限， |OA | 2 ， xOA，求 OA 的坐标。uuuruuur2.已知 O 是原点，点 A 在第一象限， |OA | 4 3 ，xOA 60o ，求 OA 的坐标。rrrr五、平行与垂直知识点： a / /babx1 y2x2 y1 ；题型 13：向量共线问题1、已知平面向量a （2，3x），平面向量 b （2， 18），若 a b ，则实数 x2、设向量 a （2，1），b （2，3）若向量ab 与向量 c( 4， 7) 共线，则3

20、、已知向量a （1，1），b （2， x）若 ab与 4b2a 平行，则实数x 的值是（）A-2B 0C 1D 2uuuruuuruuur(10,k ) ，则 k _时， A,B,C 共线练习：设 PA(k ,12), PB(4,5), PC5、已知 a,b 不共线， ckab, dab ，如果 c d ，那么 k=, c 与 d 的方向关系是rrrrrrrrrr练习：已知a(1,1),b(4, x) ， ua2b ， v2ab ，且 u / v ，则 x_6、已知向量a （1，2），b （2， m）,且 a b ，则 2a3b题型 14、 向量的垂直问题1、已知向量a （x，1）,b(3,6

21、)且 ab ，则实数 x 的值为2、已知向量a （1， n），b （1， n），若 2ab与b垂直，则 a练习：已知a =（ 1， 2）， b =（ -3，2）若 k a +2 b 与 2 a -4 b 垂直，求实数k 的值3、已知单位向量m和n的夹角为，求证：（ 2nm）m34、 a （3，1）,b(1,3)，c(k,2), 若（ ac）b，则 k练习：a （1，2）,b ( 2,3)，若向量 c满足于（ ca）c（a b），则 c_b ，5、以原点 O 和 A(4,2) 为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，B90 ，则点 B 的坐标是 _r，它是一个 实数 ，但不一定大于 0。题型 15、

22、 b 在 a 上的投影 为 | b | cos1、已知 | a |3 ， | b | 5 ，且 a b12 ，则向量 a 在向量 b 上的投影为 _rrrr2、已知 a8 ， e 是单位向量，当它们之间的夹角为时， a 在 e 方向上的投影为。3练习：已知，的夹角2a 5, b 4， a与b，则向量 b 在向量 a 上的投影为3题型 16、三点共线问题1.已知 A(0,2) ， B(2, 2) ， C (3, 4) ，求证： A, B, C 三点共线。uuur2rruuurrr uuurrr2.设 AB(a5b), BC2a8b, CD3(ab) ，求证： A、B、 D 三点共线。2uuurr

23、r uuurrr uuurrr练习：已知ABa2b, BC5a6b, CD7a2b ，则一定共线的三点是。3.已知 A(1, 3) ， B(8,1) ，若点 C(2a 1,a2) 在直线 AB 上，求 a 的值。4.已知四个点的坐标 O(0,0) ， A(3,4)， B(1,2) ， C (1,1)，是否存在常数uuuruuuruuurt ，使 OAtOBOC 成立？5： e1 , e2 是平面内不共线两向量，已知ABe1k e2 , CB2e1e2 , CD3e1e2 ，若A, B, D 三点共线，则k =6： 设 O 是直线 l 外一定点， A 、 B、 C 在直线 l 上，且 OB3OA

24、x OC ,则 x =rrrrrr7：设 a， b 是两个不共线向量，若 a 与 b 起点相同， t R， t=时， a ， t b ，1rr3( a b )三向量的终点在一条直线上。8：如图，在 ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、 AC 于不同的两点n 的值为 _ M 、N ，若 AB mAM ， AC nAN ，则 m9:在 OAB 的边 OA ，OB 上分别取点M，N，使与 BM 交于点|OM | |OA| 13，|ON | |OB | 14，设线段 ANP，记 OA a， OB b，用 a， b表示向量 OP.1 1 练习：如图， 在 OAB 中，O

25、C4OA，OD2OB，AD 与 BC 交于点M ，设 OA a，OB b.(1)用 a、b 表示 OM；(2) 已知在线段 1AC 上取一点 E，在线段 BD 上取一点 F ，使 EF 过 M 点，设 OE pOA ， OF qOB，求证：7p3 1.7q六、线段的定比分点：1定比分点的概念 ：设点 P 是直线 P 1 P 2 上异于 P1 、P 2的任意一点， 若存在一个实数uuuuruuuur则叫做点 P 分有向线段 PP12 所成的比， P 点叫做有向线段PP12 的以定比为的定比分点；uuuruuur，使PPPP ，122的符号与分点 P 的位置之间的关系 ：当 P 点在线段P1P2上

26、时>0；当 P 点在线段P1 P2 的延长线上时<1；当 P 点在线段 P 2 P 1 的延长线上时10 ；uuur3uuur例 1、若点 P 分 AB 所成的比为，则 A 分 BP 所成的比为 _4x1x2uuuurx13线段的定比分点公式 ：设111、222，分有向线段PP12所成的比为，则，P (x , y ) P (x, y ) P( x, y)y1y2y1x1x2x1 时，就得到线段P1 P 2 的中点公式2特别地，当y1y2。y2题型 17、定比分点2、若 M （ -3， -2）， N（ 6， -1），且MP1 MN，则点 P 的坐标为 _33、已知 A( a,0),

27、B(3,2a) ，直线 yuuuuruuur1 ax 与线段 AB 交于 M ，且 AM2MB ，则 a 等于2r七、平移公式：如果点 P(x, y) 按向量 a h,k 平移至 P( x , y ) ，则 x x h ；曲线 f ( x, y) 0 按向量 y y krah, k 平移得曲线f ( xh, yk)0 .注意 ：（1）函数按向量平移与平常“左加右减 ”有何联系？ （ 2）向量平移具有坐标不变性，题型 18、平移r3) 平移到 (1, 2) ，则按向量r1、按向量 a 把 (2,a 把点 ( 7,2) 平移到点 _2、函数 ysin 2x 的图象按向量a 平移后，所得函数的解析式

28、是y，则 a _cos 2x 1八、向量中一些常用的结论：（ 1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；rrrrrrr rrrrrr（ 2） | a |b | ab | | a | b | ，特别地，当a、b 同向或有 0|ab |a |b |rrrrr rrrrrrrrrrr r| a | | b | | a b | ； 当 a、b 反 向 或 有 0| a b | | a | | b | a | | b | | ab| ； 当 a、b 不 共 线rrrrrr).| a | b | ab | | a | b |(这些和实数比较类似（ 3）在ABC 中，若 A x1, y1 ,

29、 Bx2 , y2,C x3, y3，则其重心的坐标为Gx1x2x3 , y1y2 y3。33如1、若 ABC 的三边的中点分别为（2， 1）、（ -3， 4）、（ -1， -1），则 ABC 的重心的坐标为 _ uuur1uuuruuuruuur为ABC的重心，特别地uuuruuuruuurr为ABC 的重心；PG3 (PAPBPC )GPAPBPC0PuuuruuuruuuruuuruuuruuurP 为ABC 的垂心；PA PBPB PCPC PAuuuruuur向量ABAC0) 所在直线过ABC 的内心 (是BAC 的角平分线所在直线)；( uuuruuur )(|AB| |AC|uu

30、uruuuruuuruuuruuuruuurrPABC 的内心；| AB|PC|BC |PA|CA | PB0（ 3）若 P 分有向线段uuuur，点 M 为平面内的任一点，则uuuruuuuruuuur，特别地 P 为 PPPP所成的比为MP1MP2的MP1 21 21uuuruuuuruuuur中点MP1MP2；MP2uuuruuuruuuruuuruuuruuur1 .如（ 4）向量 PA、PB、PC 中三终点 A、 B、 C 共线存在实数、 使得PAPBPC 且2 、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3,1) , B( 1,3) ,若点 C 满足 OC1OA 2OB,其中1

31、,2R且1 21,则点 C 的轨迹是 _题型 19、判断多边形的形状uuurruuurruuur uuur1.若 AB3e， CD5e，且 | AD | | BC |,则四边形的形状是。2.已知 A(1,0) ， B(4,3) ， C (2, 4) ， D (0,2) ，证明四边形ABCD 是梯形。3.已知 A(2,1) ， B(6,3) ， C (0,5) ，求证：ABC 是直角三角形。4、在 ABC 中，若 BABA AB CB0 ，则 ABC 的形状为（）A 等腰三角形B 等边三角形C等腰直角三角形D 直角三角形uuuruuuruuurABC 是等腰直角三角形。5、在平面直角坐标系内，O

32、A ( 1,8), OB( 4,1), OC (1,3) ,求证：6、平面四边形ABCD 中， ABa ， BCb ， CDc ， DAd ，且ab b c c d da ，判断四边形ABCD 的形状题型 20：三角形四心1、已知ABC 的三个顶点 A 、 B 、C 及ABC 所在平面内的一点uuuvuuuvuuuvv则点 P是 ABC 的P，若 PAPBPC0（）A 重心B 垂心C内心D 外心uur uuuruuuruuur uuuruur2.已知点 O 是三角形所在平面上一点，若OAOB OBOC OCOA,）则 O 是三角形 ABC 的（ A）内心（ B）外心（ C）重心（D ）垂心3、已知点 O 是三角形所在平面上一点，若uuur 2uuur 2uuur 2OAOBOC ，则 O 是三角形 ABC 的（）（ A）内心