§1.1.1从梯子的倾斜程度谈起(一)

1、 1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起（一） 教学目标 （一）知识与技能 1. 经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与 现实生活的联系. 2. 能够用 tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的 倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算 . 1. 经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条 理地，清晰地阐述自己的观点. 2. 体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题 和解决问题.提高解决实际问题的能力. 3. 体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神 . （三）情感与价值观 1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲 . 2.

2、 形成实事求是的态度以及独立思考的习惯. 教学重点 1. 从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2. 理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联 系. 教学难点 理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 教学方法 引导一探索法. 教具准备 FLASH 寅示 教学过程 1. 创设问题情境，弓 I 入新课 用 FLASH 课件动画演示本章的章头图，提出问题，问题从左到右 分层次出现： 问题 1在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其 他的边和角吗？ 问题 2随着改革开放的深入，上海的城市建设正日新月异地 发展，幢幢大楼拔地而起.70 年代位于南京西路的国际饭店还一直是 上海最高的

3、大厦，但经过多少年的城市发展， “上海最高大厦”的桂 冠早已被其他高楼取代，你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗 ？ 你能应用数学知识和适当的途径得到金茂大厦的实际高度吗 ？ 通过本章的学习，相信大家一定能够解决. 这节课，我们就先从梯子的倾斜程度谈起.（板书课题 1.1.1 从 梯子的倾斜程度谈起）. 2. 讲授新课 用多媒体演示如下内容: 师梯子是我们日常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个 梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的？ “陡” 或“平缓”是用来描述梯子什么的？请同学们看下图，并回答问题(用 多媒体演示) (1) 在图中，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是

4、怎样判断的？你有几种 判断方法？ 生梯子 AB 比梯子 EF 更陡. 师你是如何判断的？ 生从图中很容易发现/ ABCN EFD 所以梯子 AB 比梯子 EF 陡. 生我觉得是因为 AC= ED,所以只要比较 BC FD 的长度即可知 哪个梯子陡.BCvFD 所以梯子 AB 比梯子 EF 陡. 师我们再来看一个问题（用多媒体演示） 在下图中，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 师我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度， 即哪一个更陡，就 比较困难了 .能不能从第（1）问中得到什么启示呢？ 生在第（1）问的图形中梯子的垂直高度即 AC 和 ED 是相等的， 而水平宽度 BC 和 FD

5、不一样长，由此我想到梯子的垂直高度与水平宽 度的比值越大，梯子应该越陡. 师这位同学的想法很好，的确如此，在第（2）问的图中，哪个 梯子更陡，应该从梯子 AB 和 EF 的垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.那么请同学 们算一下梯子 AB 和 EF 哪一个更陡呢? 生AC“， BC 1.5 3 ED _ 3.5 _ 35 FD 一 1.3 一 13 .8 35 - , 3 13 二梯子 EF 比梯子 AB 更陡. 多媒体演示： 想一想 如图，小明想通过测量 BG:及 AG,算出它们的比，来说明梯 子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量 B2G 及 AG,算出它们的比, 也能说明梯子的倾斜程度你同

6、意小亮的看法吗？ (1)直角三角形 ABG 和直角三角形 ABG 有什么关系？ (2) 旦和和有什么关系？ AGi AG2 (3) 如果改变 B2 在梯子上的位置呢？由此你能得出什么结论？ 师我们已经知道可以用梯子的垂直高度和水平宽度的比描述 梯子的倾斜程度，即用倾斜角的对边与邻边的比来描述梯子的倾斜程 度.下面请同学们思考上面的三个问题，再来讨论小明和小亮的做法. 生在上图中，我们可以知道 Rt ABG,和 Rt ABG 是相似的. 因为/ BGA=/BGA= 90,/ BAG=/BAG,根据相似的条件，得 Rt ABGs Rt ABG. 生由图还可知：BG 丄 AG, BG 丄 AG,得

7、BG/B Q, Rt ABG s Rt ABG. 生相似三角形的对应边成比例，得 B1G B2C2 ACi AC2 ，BQ B2C AG AC2 如果改变 R 在梯子上的位置，总可以得到 Rt EGAs Rt Rt BCiA,仍能得到BC! = BC2因此，无论 R 在梯子的什么位置（除 A 外）， AC, AC2 BI Ci B2C2总成立 AC, AC2 心 师也就是说无论 R 在梯子的什么位置（A 除外），/ A 的对边与 邻边的比值是不会改变的. 现在如果改变/ A 的大小，/ A 的对边与邻边的比值会改变吗？ 生/A 的大小改变，/ A 的对边与邻边的比值会改变. 师你又能得出什么结

8、论呢？ 生/A 的对边与邻边的比只与/ A 的大小有关系，而与它所在 直角三角形的大小无关.也就是说，当直角三角形中的一个锐角确定 以后，它的对边与邻边之比也随之确定. 师这位同学回答得很棒，现在我们再返回去看一下小明和小亮 的做法，你作何评价？ 生小明和小亮的做法都可以说明梯子的倾斜程度， 因为图中直 角三角形中的锐角 A 是确定的，因此它的对边与邻边的比值也是唯一 确定的，与 B、IB2 在梯子上的位置无 关，即与直角三角形的大小无关. 生但我觉得小亮的做法更实际，因为要测量 BC1的长度，需攀 到梯子的最高端，危险并且复杂，而小亮只需站在地面就可以完成 . 师这位同学能将数学和实际生活紧

9、密地联系在一起，值得提倡. 我们学习数学就是为了更好地应用数学. 由于直角三角形中的锐角 A 确定以后，它的对边与邻边之比也随 之确定，因此我们有如下定义：(多媒体演示) 如图，在 Rt ABC 中，如果锐角 A 确定，那么/ A 的对边与邻边 之比便随之确定， 这个比叫做/ A 的正切(tangent)，记作 tanA,即 tanA二 1. tanA 是一个完整的符号，它表示/ A 的正切，记号里习惯省去 角的符号“/” . 2. tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中/ A 的对边 与邻边的比. 3. tanA 不表示“ tan ”乘以“ A” . 4. 初中阶段，我们只学习直

10、角三角形中，/ A 是锐角的正切. 思考：1. / B 的正切如何表示？它的数学意义是什么？ 2. 前面我们讨论了梯子的倾斜程度，课本图 1 3,梯子的倾斜 程度与 tanA 有关系吗？ 生1. / B 的正切记作 tanB,表示/ B 的对边与邻边的比值，即 tanB二 /B 的对边 /B 的邻边 .A 的对边 .A 的邻边 2.我们用梯子的倾斜角的对边与邻边的比值刻画了梯子的倾斜 程度，因此，在图 1 3 中，梯子越陡，tanA 的值越大；反过来，tanA 的值越大，梯子 越陡. 师正切在日常生活中的应用很广泛，例如建筑，工程技术等 正切经常用来描述山坡的坡度、堤坝的坡度.如图，有一山坡在

11、 水平方向上每前进 100 _ 切 - tan a就是 =60 a = a 100 这里要注意区分坡度和坡角.坡面的铅直高度与水平宽度的比即 坡角的正切称为坡度.坡度越大，坡面就越陡 3. 例题讲解 多媒体演示 例 1如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡 分析：比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡，只需分别求出 tan a、 tan B的值，比较大小，越大，扶梯就越陡. 解：甲梯中， . _ Na 的对边 5 5 tan a m 就升高 60 m,那么山 坡的坡度（即坡角a的正 tan 一1的邻边 132 -52 12 乙梯中， tan B /卩的对边- P 的邻边一 8 一 4. 因为

12、tan p tan a，所以乙梯更陡. 例 2在厶 ABC 中，/ C=90 , BC=12cm AB=20crp 求 tanA 和 tanB的值. 分析：要求 tanA，tanB 的值，根据勾股定理先求出直角边 AC 的 长度. 解：在 ABC 中，/ C= 90, 所以 AC=. AB2 -BC2 ：202 -122 =16(cm), tan A A的对边.匹=3 NA 的邻边 AC 16 4 tanB= B的对边二竺 ZB 的邻边 BC 12 3 所以tanA=3, 3吧. 4.随堂练习 1）如图， ABC 是等腰直角三角形, 你能根据图中所给 数据求出 tanC 吗？ 分析：要求 ta

13、nC需从图中找到/ C 所在的直角三角形，因为 BD 丄 AC 所以/ C 在 Rt BDC 中.然后求出/ C 的对边与邻边的比，即|C 解：ABC 是等腰直角三角形，BDL AC CD= 1AC= 1 X 3= 1.5. 2 2 在 Rt BDC 中, tanC = BD DC 2).如图，某人从山 到达山顶的点 B,已知点 B 到山脚的垂直距离为 55 m,求山的坡度.（结果精确到 0.001） 分析：由图可知，/ A 是坡角，/ A 的正切即 tanA 为山的坡度. 解：根据题意： 在 Rt ABC 中, AB=200 m BC= 55 m, AC= 2002 -552 =5 1479 5 38.46 =192.30(m). TanA=BC 生 0.286. AC 192.30 所以山的坡度为 0.286. 5. 课时小结 本节课从梯子的倾斜程度谈起