《两个计数原理》教学设计（重庆罗艳）

1、分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第一课时）教学设计人教A版高中数学选修2-3，本课曾获全国优质课大赛一等奖。一、教学内容解析（一）教材的地位和作用本节课是高中数学人教A版选修2-3第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理，本小节共需4课时，本节课是第一课时。分类加法计数原理与分步乘法计数原理是人类在大量的实践经验的基础上归纳出的基本规律，是解决计数问题的最基本、最重要的方法，它们不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法也贯穿在解决本章应用问题的始终，在本章中是奠基性的知识。两个计数原理蕴涵着“以简驭繁”的基本思想，能让学生更加有条理地思考问题，对学生的终身发

2、展有用。（二） 教学目标1通过实例，能归纳总结出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，经历从特殊到一般的思维过程；2掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理，能说明两个计数原理的不同之处，能根据具体问题的特征，选择恰当的原理解决一些简单的实际问题；3经历由实际问题推导出两个原理，再回归实际问题的解决这一过程，体会数学源于生活、高于生活、用于生活，体验发现数学、运用数学的过程。（三） 教学重点与难点重点：归纳得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能应用它们解决简单的实际问题。难点：正确地理解“完成一件事情”的含义；根据实际问题的特征，正确区分分类、分步问题。二、学生学情分析：1.认知基础：在学习“

3、古典概型”时突出了树形图、列举法在计数中的作用；在学习和生活中，我们会不自觉地使用“分类”和“分步”的方法来思考解决问题。2.能力基础：高二学生有一定的观察能力和数学抽象概括能力。3.可能障碍：一是应用原理的意识淡薄，二是不能根据问题的特征，正确地选择原理解决问题。三、教学策略分析：（一）教法分析对于两个计数原理，不仅仅在于规律本身，更在于学生从已有的方法中发现原理、归纳原理，进一步深刻认识原理，在发现的过程中学会学习，学会探究，提升思维。所以教法上我主要采用启发式和探究式教学方法，采用设疑的形式，启发学生积极思考、积极探索，创设一个以学生为主体，教师为主导，师生互动、合作交流、共同探索的教与

4、学的情境。（二）学法指导学生已具备一定的计数能力（树形图、列举法等），能解决一些基本的计数问题，包括本节课所涉及的一些实际问题，只是还没有上升到理论的高度。但是要由实际问题转变为数学知识，必须借助于老师的引导和帮助。所以在学生的学法指导上，从培养学生的兴趣入手，使学生在学习过程中学会观察问题，采用探究性学习和合作性学习为主，以交流为手段，以探究为核心，以过程为重心，努力引导学生在合作交流中，在思考辨析中自主获取知识，发展能力。四、教学手段使用多媒体优化组合来辅助教学，既快捷、形象、生动，又突出了知识产生的过程，提高了课堂的趣味性。五、教学基本流程高中课程标准明确指出：“高中数学课程应该返璞归真

5、，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法。”基于这一理论我将这堂课的教学设计分为五部分：（一）计数问题的引入创设情境 引入课题（二）分类加法计数原理的形成生活感知 初识原理 感知积累 再识原理 抽象概括 揭示原理 类比迁移 同化原理（三）分步乘法计数原理的形成生活感知 初识原理 感知积累 再识原理抽象概括 揭示原理 类比迁移 同化原理（四）两个计数原理的辨析与应用辨析理解 固化原理 实际应用 活化原理（五）反思回顾 深化认知反思过程 顺化原理六、教学过程：（一）计数问题的引入教学过程设

6、计学生活动设计意图创设情景引入课题 同学们，上课之前老师想问大家一个问题：大家看过爸爸去哪儿吗？知道第二季第一期他们来到了重庆的哪个地方吗？就是因为明星效应的带动，他们所住过的五家农户已被当地开发成了一个入住式体验的旅游项目。师：如果你去旅游，你会选择入住几号房呢？生1: 我选5号。生2:选2号。生3:4号。师：假如这三名同学他们分别选的是1,1,3号房，请问，这两种入住方式一样吗？不一样。那么思考：3名同学从5家农户里各选一家入住（可以选同一家），一共有多少种不同的入住方式呢？师：可以一一列举吗？生：应该可以，但需要时间。师生互动，学生回答。以爸爸去哪儿重庆武隆拍摄地选房问题入手，唤起学生对

7、家乡的热爱和学习的心向，通过一个比较复杂的计数问题，制造认知冲突，激发学生的兴趣，揭示探究原理的必要性，学生也在期待情感和背景经验下，快速进入学习状态。教学过程设计学生活动设计意图 生活中我们还会遇到很多类似的计算方法数的问题，我们称之为“计数问题”。计数问题：即计算完成一件事的方法数的问题。今天我们先来学习计数问题中两种最基本、最重要的方法。（板书课题：1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理）（二）分类加法计数原理的形成教学过程设计学生活动设计意图生活感知初识原理问题1：（1）小明要从北京到重庆，一天中，飞机有4班，火车有3班，一天中乘坐这些交通工具从北京到重庆共有多少种不同的走法？生：7

8、种。（追问：你是怎么想的）师：这个问题中，小明要完成一件什么事？生：从北京到重庆。师：怎么完成的呢？生：坐飞机或坐火车师：你的意思是按交通工具不同分成了两类不同的解决方案？你是怎么计算的呢？生：因为每一个班次的飞机或火车都能到达重庆，所以4+3=7.(以图表形式板书)师生共同分析本小题。让学生深刻认识原理生成的过程。从生活中简单的实例入手初步感知，通过连续的追问，让学生不是一味的追求解答结果，而是将重心落在整个问题的探索思考上。感知积累 再识原理（2）用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？（由完成一件什么事，怎么完成这件事，完成没有？怎么计算方法

9、数四个方面来解决这个问题）（3）从班上30名男生、25名女生中任选1名学生担任数学课代表，一共有多少种不同的选法？这些问题同学们解决得都很不错。但是发现问题、提出问题比解决问题更重要，我们不妨思考一下，追问：能否举出一些生活中类似的例子呢？引导学生分析本小题，再由学生举例，并分析要完成一件什么事，怎么完成的，怎么计算的。结合类似的两个例子和学生自己举例，进一步积累感知经验，从而形成“共同性印象”，为下一步归纳概括原理打下坚实的基础。抽象概括揭示原理问题2：这一类问题有什么共同特征呢？（分类、加法、计数）追问：你能不能把这种解决问题的规律用数学语言来表述呢？ 分类加法计数原理完成一件事有两类不同

10、方案，第1类方案里有m种不同方法，第2类方案里有n种不同方法，完成这件事一共有N=m+n种不同的方法。学生感知积累，概括获得计数问题的特征。由学生叙述原理，老师适当补充。师生一起“去粗取精，去伪存真，由此及彼，由表及里” 的反复提炼推敲，抽象概括出这类问题的共同特征。让学生体会数学源于生活的同时也培养了学生归纳概括、数学表述的能力。教学过程设计学生活动设计意图类比迁移同化原理练习：小明在参观重庆的大学时了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A大学 B大学生物学化学医学物理学数学会计学法学如果小明要从这两所大学选一个专业，他一共有多少种不同的选法呢？生物学化学医学物理

11、学数学会计学法学管理学建筑学变式：如果C大学里还有两个感兴趣的强项专业，A大学 B大学 C大学如果小明要从这三所大学里选一个专业，他一共有多少种不同的选法呢？学生思考回答出答案，并指明完成一件什么事，怎么完成的。及时给时间让学生检验自己的学习成果，进一步体会加法原理，不但起巩固的效果，还能增加学生的兴趣和信心。完成一件事有三类不同方案，第1类方案里有种不同的方法，第2类方案里有种不同的方法，第3类方案里有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。(如果完成一件事可以有四类、五类，甚至n类方案，每类方案里有若干种不同方法，又当如何计数呢？) 分类加法计数原理的推广完成一件事有n类不同方案，

12、第1类方案里有种不同的方法，第2类方案里有种不同的方法，第n类方案里有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。学生独立探究、归纳总结，然后类比分类加法计数原理进行推广。让学生经历数学知识从特殊到一般的推广过程，培养学生类比、逻辑推理的思维能力。（三）分步乘法计数原理的形成教学过程设计学生活动设计意图生活感知初识原理问题3：（1）小明先从北京到成都，飞机有4班，一天后再从成都到重庆，火车有3班。小明乘坐这些交通工具从北京经成都到重庆共有多少种不同的走法？教学过程设计独立思考，用列举法、树形图、乘法进行计算，然后展台展示。学生活动设计意图 1A 2 3 1B 2 3 1C 2 3 1D 2

13、 3展台展示：树形图 43=12(请做的同学自己分析解释)师：乘法运算是特定条件下加法运算的简化，由于加数相同，所以乘法优化了加法，使得计数更为科学。我们可以换个角度来看这个问题，问题中小明要完成一件什么事？生：从北京到重庆。师：怎么完成的？生：先坐飞机再坐火车。师：只选择一班飞机能完成吗？生：不能，还要选择一班火车，所以这个过程分成了两个步骤进行。师：那怎么计算呢？生：因为第一步里的每一班飞机都对应第二步里的三班火车，所以43=12。（以图表形式板书）学生概括出“任意一班飞机都能与3班火车中的任何一班形成一种走法”。从一个简单的生活实例入手，让学生通过已有的计数经验，得出结果。让学生初步体会

14、生活中还存在着一类与分步有关，可用乘法计算的计数问题，让学生经历在特定条件下将加法简化的过程，领会分步与乘法的关系，为进一步的探究积累经验。感知积累 再识原理（2）用前6个大写英文字母和19九个阿拉伯数字，以的方式给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？（引导学生从完成一件什么事，怎么完成这件事，怎么计算的去分析这个问题）（3）从班上30名男生、25名女生中选男生、女生各1人担任数学课代表，一共有多少种不同的选法？追问：你能举出生活中类似的例子吗？学生举例，并类似地加以分析。举例是原理形成和概括的重要手段，让学生初步体会几个具体实例之间的关系，提高观察力，让学生在发现问题、解决问题的

15、过程中理解数学知识。抽象概括揭示原理问题4：这一类问题的共同特征是什么？（分两步、乘法、计数问题）追问：你能不能把这种解决问题的规律用数学语言来表述呢？ 分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同方法，做第2步有n种不同方法，那么完成这件事一共有N=mn种不同方法。类比分类问题的共同特征，学生归纳叙述分步乘法计数原理。通过比较、归纳、概括等思维过程，类比获得分步乘法计数原理的内容，培养学生分析问题、模仿和语言表述能力。类比迁移同化原理如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，做第3步有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。 (如果完成

16、一件事需要n个步骤，每个步骤里有若干种不同方法，又当如何计数呢？)分步乘法计数原理的推广完成一件事需要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。学生类比分类加法计数原理归纳叙述出分步乘法计数原理及其推广。让学生经历从直观到抽象，从特殊到一般，进一步提高学生学习数学、研究数学的兴趣，从中也可体会归纳、类比等合情推理方式。（四）两个计数原理的辨析与应用教学过程设计学生活动设计意图辨析理解固化原理题组训练：（1）从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，共有多少种不同的走法?（2）从5名同学中选出正、副

17、班长各一名，共有多少种不同的选法？（3）有不同颜色的5件上衣与3件不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法有多少种？（4）从一个装有4个不同白球的盒子里或装有3个不同黑球的盒子里取1个球，共有多少种不同的取法？（5）某校高一有6个班，高二有8个班，从中选择1个班级担任周一早晨的升旗任务，一共有多少种不同选法？（6）某商场有6个门，某人从其中的任意一个门进入商场，再从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？请第2组的一名同学回答前三个小题，请第3组的一名同学回答后三个小题。学生独立思考，完成练习，回答问题，指明使用了哪个原理。这里题组训练采用分类分步问题交叉设置，使学生

18、有较多的机会在应用过程中加深对原理的理解，正确区分使用两个计数原理。其实，刚才在请同学回答的过程，这本身就是一个数学问题。（口述，然后把问题板书在黑板上。）“每个学习小组有6人，老师从第2、3小组中各选1人来回答问题，一共有多少种不同的选法？”这个问题中是要完成一件什么事呢？这是一个分类还是分步问题呢？如何计算呢？学生体验一种经历式学习。这个环节中，就以请学生回答问题这个过程，设置了一个现场“经历式学习”，使学生亲身体验在生活、学习中发现数学问题。问题5：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的相同点和不同点是什么?（讨论交流）生1：相同点都是计数问题。不同点是分类用加法，分步用乘法。追问生1：你

19、是如何区分这个问题是分类还是分步呢？生1：如果做这件事情只做一次选择就可以完成这件事，就是分类。如果要做多次选择才能完成就是分步。生2：我觉得分步问题也是分类问题。分类是一步到位，而分步是以第一步的方法不同为分类标准，每一类里是多步完成。学生独立思考、小组讨论、代表发言。这是本节课的一个难点突破，所以设置了小组讨论。预设中两个原理的相同点为都是计数问题，结果学生还生成了更深的联系，凸显了分类分步的本质联系。学生也能在与人分享中学会倾听、质疑、表述，体验成功的喜悦，培养学生合作交流的能力。教学过程设计学生活动设计意图生3：分类是每一种方法都可以独立完成这件事情，而分步必须是每一步都完成才能完成，

20、也就是每一种方法不能独立完成这件事情。相同点分类加法计数原理分步乘法计数原理都是计算完成一件事方法数的问题不同点分类、加法分步、乘法分类中每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事分步中每步中的每一种方法不能独立完成这件事，只有各步都完成这件事才算完成注意类类独立不重不漏步步相依缺一不可让学生体会两个计数原理的异同，学会在遇到具体问题时如何根据问题的特征选择对应的计数原理。实际应用活化原理 巩固练习： 书架上第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第三层放有2本不同的体育书。若从第一,二,三层中各取1本书，共有多少种不同取法？变式1：若从书架上任取1本书，共有多少种不同取法？变

21、式2：若从书架上取2本不同类别的书，共有多少种不同取法？学生回答，并加以分析。通过实例能够说出“完成一件事”的具体含义，怎么才算“完成”，以及采用何种方式完成，能合理设计完成这件事的过程，提高学生分析解决问题的能力，树立分类分步的策略意识。解决课前遗留的思考：3名同学从5家农户里各选一家入住（可以选同一家），一共有多少种不同的入住方式？解决课前提出的选房问题，达成前后呼应，既满足学生的好奇心，又体现了课堂的有效性。（五）反思回顾，深化认知教学过程设计学生活动设计意图反思过程顺化原理思悟小结：从今天两个计数原理产生的过程和问题的解决过程来看，对你以后的学习有什么启示？生1：分类不光用在计数问题上

22、，分类讨论思想在生活和学习中也很重要。学生回顾学习过程，思维活跃，认识逐步深入。不仅要反思学习的结果，还要在反思中回顾知识发生、发展的过程，强化对知识的理解，领悟其中的思想方法，体会数学源于生活，高于生活，用于生活。教学过程设计学生活动设计意图生2：今天的学习可以把复杂的问题通过分类或者分步拆分成几个简单的问题，然后一个个或一步步去完成。生3：今天的例子都是生活中的实例，说明数学是与生活相关的，最后去解决生活中的问题的。作业布置：1. 完成课本P12 A组1、2、32. 阅读课本P11：子集的个数有多少3. 从我们生活中找寻运用两个计数原理解决的实例并相互交流作业的安排是为巩固课堂内容，从课堂延伸到课外，拓展探究空间。七、板书设计1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理北京 重庆坐飞机坐火车方案1方案24+3北京 重庆坐飞机坐火车第1步第2步4 3或先后分类 加法 计数分步 乘法 计数完成一件事题组训练：（口述、板书）每个学习小组有6人，现在从第2，3小组中各选1人来回答问题，一共有多少种不同的选法？设计意图：板书力求做到条理清楚，层次分明，突出重点，利于学生抓住知识要点。同时也体现了教师的教学思想和学生的学习思路，使学生对本节课的内容一目了然。八、课后反思： 1.成功之处（1）立足教参、源自生活、回归课本。要把准教学目标、突出教学重点，突破教学难点。