单位冲激函数的傅里叶变换

1、1第八章 傅里叶变换 8.2 单位冲激函数 8.2 单位冲激函数单位冲激函数 二、单位冲激函数的概念及性质二、单位冲激函数的概念及性质 三、单位冲激函数的三、单位冲激函数的 Fourier 变换变换 一、为什么要引入单位冲激函数一、为什么要引入单位冲激函数 四、周期函数的四、周期函数的 Fourier 变换变换 2第八章 傅里叶变换 8.2 单位冲激函数 (2) Fourier 逆变换逆变换( (简称简称傅氏逆变换傅氏逆变换) ) ttfFtde)()(j )(tf de)(21)(jtFtf)( F 1(1) Fourier 变换变换( (简称简称傅氏正变换傅氏正变换) )上次要点：上次要点

2、： （3） f(t) 的傅里叶积分公式的傅里叶积分公式：(4) 3个常用公式：个常用公式：01,Re0tedt ,cos2izizeez余余弦弦函函数数 sin.zizizee2j正正弦弦函函数数)(tfttftjtjdede)(21 3第八章 傅里叶变换 8.2 单位冲激函数 二、单位冲激函数的概念及性质二、单位冲激函数的概念及性质 1. 单位冲激函数的概念单位冲激函数的概念 (1) 当当 时，时， 0 t;0)( t (2) .1d)( tt 显然，借助单位冲激函数，前面显然，借助单位冲激函数，前面引例引例中质点的密度函数中质点的密度函数 定义定义 )(t 单位冲激函数单位冲激函数 满足：

3、满足： 单位冲激函数单位冲激函数 又称为又称为 Dirac 函数函数或者或者 函数函数。 )(t . )()(xmxP 就可表示为就可表示为 P193 4第八章 傅里叶变换 8.2 单位冲激函数 2. 单位冲激函数的性质单位冲激函数的性质 . )(d)()(00tfttftt (2) 对称性质对称性质 . )()(tt 函数为偶函数，即函数为偶函数，即 (1) 筛选性质筛选性质 性质性质 设函数设函数 是定义在是定义在 上的有界函数，上的有界函数， )(tf),( 且在且在 处连续，处连续， 0 t. )0(d)()(fttft 则则 一般地，若一般地，若 在在 点连续，点连续， 0tt )(

4、tf则则 P193性质性质 8.1 P194性质性质 8.2 5第八章 傅里叶变换 8.2 单位冲激函数 重要公式重要公式 . )(2dettj 按照按照 Fourier 逆变换公式有逆变换公式有 三、单位冲激函数的三、单位冲激函数的 Fourier 变换变换 利用筛选性质，可得出利用筛选性质，可得出 函数的函数的 Fourier 变换：变换： tttjd)(e )(t .10e ttj 即即 与与 1 构成构成Fourier变换对变换对 )(t .1)(t 6第八章 傅里叶变换 8.2 单位冲激函数 )(2 . )(2 )(1 F ttjd1e 解解 )(1tf(1) (2) 将等式将等式

5、的两边对的两边对 求导，有求导，有 ttjde )(2 tt jtjd)(e , )(2 tttjde , )(2 j )(2 F )(2tf. )(2 j即得即得 P195 例例8.7 修改修改 7第八章 傅里叶变换 8.2 单位冲激函数 ttjtjdee0 ttjd)(0e )(20 . )(20 )(1 F解解 )(1tf(1) (2) 由由 ， t0cos )(2100eetjtj . )()(00 )(2 F )(2tf有有 tj0e tj0e (21 ) 0 0 )(2 FP195 例例8.7 部分部分 P196 例例8.9 8第八章 傅里叶变换 8.2 单位冲激函数 练习练习1

6、求正弦函数求正弦函数 f (t)= 的傅里叶变换的傅里叶变换.0sint解解 0000iiii0i()i()0000ee( )sineded2i1eed2i12 ()2 ()2ii()() .ttttttFtttt 9第八章 傅里叶变换 8.2 单位冲激函数 练习练习2 求函数求函数 f (t)= 的傅里叶变换的傅里叶变换.0iet解解 00ii()i0( )eeded2 (),tttFt 和和 互为傅里叶变换和傅里叶逆变换互为傅里叶变换和傅里叶逆变换. 0iet02 () 10第八章 傅里叶变换 8.2 单位冲激函数 1010课后练习课后练习 P210：习题八：习题八6（2）。）。11第八章 傅里叶变换 8.2 单位冲激函数 休息一下12第八章 傅里叶变换 8.2 单位冲激函数 附：附： 单位冲激函数的其它定义方式单位冲激函数的其它定义方式 ,0,0,/1)(其它其它 tt方式一方式一 令令 . )(lim)(0tt 则则 )(t t 1 方式二方式二 (