第2章-导热微分方程推导PPT

1、2021/8/141韩风双韩风双手机号：手机号： 688152Email: 传热学传热学2021/8/142第二章第二章 导热的基本定律及稳态导热导热的基本定律及稳态导热2-1 2-1 导热的基本概念和定律导热的基本概念和定律2-2 2-2 导热微分方程导热微分方程2-3 2-3 一维稳态导热一维稳态导热2-4 2-4 通过肋片的导热分析通过肋片的导热分析2021/8/143温度场温度场t = f (x, y, z, )等温面与等温线等温面与等温线t tt-tt-tt+tt+t等温线疏密程度的物理意义等温线疏密程度的物理意义温度梯度温度梯度nntnntLimgradtn0gradtq热流密度矢

2、量热流密度矢量t+ttt-tgradt2-1 2-1 导热的基本概念和定律导热的基本概念和定律2021/8/144导热系数导热系数 影响导热系数的因素影响导热系数的因素：物质的种类、材料成分、温物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等度、湿度、压力、密度等。gradtq 不同物质的导热性能不同：不同物质的导热性能不同：非金属金属气体液体固体2021/8/145 2-2 2-2 导热微分方程式及定解条件导热微分方程式及定解条件 确定导热体内的温度分布是导热理论的首要任务确定导热体内的温度分布是导热理论的首要任务gradtq傅里叶定律傅里叶定律确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场确定热流

3、密度的大小，应知道物体内的温度场:t = f (x, y, z, )W/(mC) 理论基础：傅里叶定律理论基础：傅里叶定律+ 热力学第一定律热力学第一定律2021/8/146一、导热微分方程的推导一、导热微分方程的推导定义定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导：根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中的热物体中的温度场应满足的数学表达式温度场应满足的数学表达式，称为导，称为导热微分方程。热微分方程。假设：假设：(1) (1) 所研究的物体是所研究的物体是各向同性各向同性的的连续介质连续介质 (2) (2) 热导率、比热容和密度均为已知热导率、比热容和密度均为已知 (3) (3) 物体内

4、具有内热源物体内具有内热源；强度；强度q qv v W/m W/m3 3;内热源内热源均匀分布均匀分布；q qv v 表示单位体积的导热体在单表示单位体积的导热体在单位时间内放出的热量位时间内放出的热量2021/8/147导热体内取一微元体导热体内取一微元体热力学第一定律：热力学第一定律： W = 0, Q = UQ ：微元体：微元体与环境交换的热与环境交换的热 ：微元体热力学能（内能）的增量：微元体热力学能（内能）的增量W ：微元体：微元体与环境交换的功与环境交换的功 = Q W2021/8/148d 时间内微元体中：时间内微元体中：导入与导出净热量导入与导出净热量+ 内热源发热量内热源发热

5、量= 热力学能的增加热力学能的增加导入与导出净热量导入与导出净热量 Q = U Q 导入与导出净热量导入与导出净热量 内热源发热量内热源发热量2021/8/149d 时间内、沿时间内、沿x 轴方向、轴方向、经经x+dx 表面导出的热量：表面导出的热量：dQx+dx= qx+dx dydz d Jdxxqqqxxdxxd 时间内、沿时间内、沿x 轴方向导入与导出微元体净热量：轴方向导入与导出微元体净热量：d 时间内、沿时间内、沿x 轴方向、轴方向、经经x 表面导入的热量：表面导入的热量：dQx= qx dydzd JJddxdydzxqdQdQxdxxx1、导入与导出微元体的净热量、导入与导出微

6、元体的净热量2021/8/1410d 时间内、沿时间内、沿x 轴方向导入与导出微元体净热量：轴方向导入与导出微元体净热量：d 时间内、沿时间内、沿y 轴方向导入与导出微元体净热量：轴方向导入与导出微元体净热量：d 时间内、沿时间内、沿z 轴方向导入与导出微元体净热量：轴方向导入与导出微元体净热量：ddxdydzxqdQdQxdxxxddxdydzyqdQdQydyyyddxdydzzqdQdQzdzzz导入与导出净热量导入与导出净热量:ddxdydzzqyqxqzyx)( 1 JJJJ2021/8/1411 导入与导出净热量导入与导出净热量:傅里叶定律：傅里叶定律：xtqxytqyztqzdd

7、xdydzzqyqxqzyx)( 1 dxdydzdztzytyxtx)()()( 1 JJ2021/8/1412 导入与导出净热量导入与导出净热量+ + 内热源发热量内热源发热量= = 热力学能的增热力学能的增加加 2 2、 微元体内热源的发热量微元体内热源的发热量ddxdydzqv2d d 时间内微元体中内热源的发热量：时间内微元体中内热源的发热量：J3、微元体热力学能的增量、微元体热力学能的增量d 时间内微元体中热力学能的增量：时间内微元体中热力学能的增量：dtcdxdydzmcdt3ddxdydztc 3导入与导出净热量导入与导出净热量内热源发热量内热源发热量热力学能的增加热力学能的增

8、加2021/8/1413 1 + 2 = 3 导入与导出净热量导入与导出净热量+ + 内热源发热量内热源发热量= = 热力学能的增热力学能的增加加 ddxdydzqv2ddxdydztc3()()()vttttcqxxyyzz由1+ 2= 3：dxdydzdztzytyxtx)()()( 1 导热微分方程式、导热过程的能量方程导热微分方程式、导热过程的能量方程2021/8/1414笛卡尔坐标系中笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一三维非稳态导热微分方程的一般表达式般表达式。 物理意义：物理意义：反映了物体的温度随时间和空间的反映了物体的温度随时间和空间的变化关系。变化关系。 ()()()v

9、ttttcqxxyyzz非稳态项非稳态项源项源项扩散项扩散项导热微分方程式导热微分方程式2021/8/1415简化该式：简化该式： 若物性参数、c 和 均为常数：式中，式中， - -热扩散率，热扩散率，m m2 2/s./s.)/( ca()()()vttttcqxxyyzzcqtatv2cqztytxtatv)(222222或 （Thermal diffusivity）2 拉普拉斯算子拉普拉斯算子 热扩散率a 反映了导热过程中材料的导热能力（ ）与沿途物质储热能力（ c ）之间的关系。2021/8/1416 在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体

10、内部各处的温度差别越小。内部各处的温度差别越小。a木材木材=1.5107 m2/s , a铝铝= 9.45105 m2/s ， a铝铝 / a木材木材 600a反应导热过程动态特性，研究不稳态导热重要物理量反应导热过程动态特性，研究不稳态导热重要物理量 热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋向于均匀一致的能力。趋向于均匀一致的能力。)/( ca2021/8/1417若物性参数均为常数，且且无内热源无内热源 222222()ttttaxyztat2或()()()vttttcqxxyyzz简化该式：简化该式： 若物性参数均为常数，且且无内

11、热源无内热源 ，稳态导热稳态导热 若物性参数、c 和 均为常数：cqtatv2cqztytxtatv)(222222或2222220tttxyz02 t或2021/8/1418二、其他坐标下的导热微分方程二、其他坐标下的导热微分方程（r, ?, z）x = r cos? ; y = r sin? ; z = z)1(kztjtrirttgradtqvqztztrrtrrrtc)()(1)(121. 1. 对于圆柱坐标系对于圆柱坐标系 2021/8/14192. 对于球坐标系对于球坐标系（r, , ?） x = r sin cos? ;y = r sin sin? ;z = r cos)sin1

12、1(ktrjtrirttgradtqvqtrtrrtrrrtc)(sin1)sin(sin1)(1222222021/8/1420三、导热微分方程的适用范围三、导热微分方程的适用范围 1 1 ）适用于）适用于 q q 不很高，而作用时间长。同不很高，而作用时间长。同时傅立叶定律也适用该条件。时傅立叶定律也适用该条件。 2 2 ）若时间极短，而且热流密度极大时，则）若时间极短，而且热流密度极大时，则不适用。不适用。3 3 ）若属极低温度（）若属极低温度（ -273 -273 ）时的导热）时的导热不适用。不适用。 2021/8/1421四、导热过程的单值性条件四、导热过程的单值性条件单值性条件：单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件，确定唯一解的附加补充说明条件，包括四项：几何、物理、初始、边界包括四项：几何、物理、初始、边界完整数学描述：导热微分方程完整数学描述：导热微分方程 + + 单值性条件单值性条件导热微分方程式的理论基础：导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律傅里叶定律+ 热力学第一定律热力学第一