6-5-两个正态总体均值及方差比的置信区间

1、要点回顾要点回顾1. 估计量的评选的三个标准估计量的评选的三个标准 无偏性无偏性有效性有效性相合性相合性求置信区间的一般步骤求置信区间的一般步骤(分三步分三步).1 , )( ),( . 2 P有有意的意的即对于任即对于任置信水平置信水平数具有预先给定的概率数具有预先给定的概率它覆盖未知参它覆盖未知参间间置信区间是一个随机区置信区间是一个随机区 . 3的的置置信信区区间间单单个个正正态态总总体体均均值值 ,)1(2为已知为已知 .2/ znX ,)2(2为未知为未知 .)1(2/ ntnSX . 42的的置置信信区区间间单单个个正正态态总总体体方方差差 .)1()1(,)1()1(22/122

2、2/2 nSnnSn . 22221的的置置信信区区间间两两个个总总体体方方差差比比 的的置置信信区区间间两两正正态态总总体体均均值值差差21. 1 6.5 两个正态总体均值差及两个正态总体均值差及方差比的置信区间方差比的置信区间3. 小结小结., , ,),(,),( , ,122212222121121的样本方差的样本方差分别是第一、二个总体分别是第一、二个总体总体的样本均值总体的样本均值分别是第一、二个分别是第一、二个的样本的样本个总体个总体为第二为第二的样本的样本第一个总体第一个总体为为并设并设设给定置信度为设给定置信度为SSYXNYYYNXXXnn 讨论两个正态总体均值差和方差比的估

3、计问题讨论两个正态总体均值差和方差比的估计问题.均为已知均为已知和和2221)1( 1 21的的置置信信区区间间的的一一个个置置信信度度为为 .2221212/ nnzYX , , , 21的的无无偏偏估估计计分分别别是是因因为为 YX推导过程如下推导过程如下: , 21的的无无偏偏估估计计是是所所以以 YX 21的的置置信信区区间间两两个个总总体体均均值值差差 1. , 的的独独立立性性及及由由YX,1211 nNX ,2222 nNY , 22212121 nnNYX 可可知知 ,1, 0 22212121NnnYX 或或 1 21的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为于是得于是

4、得 .2221212/ nnzYX ,)2(2221均为未知均为未知和和 ),50(21则有则有即可即可都很大都很大和和只要只要 nn 1 21的的近近似似置置信信区区间间的的一一个个置置信信度度为为 .2221212/ nSnSzYX , ,)3(222221为未知为未知但但 1 21的的置置信信区区间间的的一一个个置置信信度度为为 .11)2(21212/ nnSnntYXw .,2)1()1( 2212222112wwwSSnnSnSnS 其其中中),(21 N),(22 N1 2 2 21 例例1. 耗氧率是跑步运动员生理活力的一个重要测度。耗氧率是跑步运动员生理活力的一个重要测度。文

5、献中报导了大学生男运动员的两种不同的训练方法，文献中报导了大学生男运动员的两种不同的训练方法，一种是在一定时段内每日连续训练；另一种是间断训练（两种训练方法一种是在一定时段内每日连续训练；另一种是间断训练（两种训练方法总训时间相同）。下面给出了两种不同训练方法下的实测数据。单位为总训时间相同）。下面给出了两种不同训练方法下的实测数据。单位为毫升（氧）毫升（氧）/千克千克（体重）（体重）分钟。设数据分别来自正态总体分钟。设数据分别来自正态总体和和，两总体方差相同，两，两总体方差相同，两，均未知。求两总体均均未知。求两总体均的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间。的置信区间。样本相互独立，样本

6、相互独立，值差值差91 n72 n71.43 x63.39 y88. 51 s68. 72 s,025. 02/,95. 01 解解 现在现在 .1448. 2)14()2(025. 021025. 0 tnnt .71. 61468. 7688. 582)1()1(222212222112 nnsnsnsw 2121025. 011)2(nnsnntyxw由由 得所求得所求21 的一个置信水的一个置信水平为平为0.95的置信区间为的置信区间为, )63/166.712.144839.63-(43.71 即即 （4.087.25）（）（3.17，11.33）. .11)2(21212/ nnS

7、nntYXw 例例2 测得两个民族中各测得两个民族中各5位成年人的身高位成年人的身高（以（以cm计）如下计）如下, ),( , ),(2221 NN,1 22, 21 设样本分别来自总体设样本分别来自总体，未知，两样本独立，求未知，两样本独立，求的置信水的置信水平为平为0.90的置信区间。的置信区间。 ,05. 02/,90. 01,521 nn 解解 现在现在.8595. 1)255(05. 0 t经计算经计算 ,78.176,05. 6,62.1651 ysx,11.16 ,86. 52 yxs222212)96. 5(8)(4 sssw21 得得 的一个置信水平为的一个置信水平为0.90

8、的置信区间为的置信区间为)01. 716.11(515196. 58595. 116.11 即即 （18.17，4.15）.这个区间的上限小于零，在实际中我们就认为这个区间的上限小于零，在实际中我们就认为 比比 小。小。1 2 例例3为比较为比较, 两种型号步枪子弹的枪口速度两种型号步枪子弹的枪口速度,随机地取随机地取型子弹型子弹10发发, 得到枪口速度的平均值为得到枪口速度的平均值为),s/m(5001 x),s/m(10. 1 1 s标标准准差差随机地取随机地取型子弹型子弹20发发, 得枪口速度平均值为得枪口速度平均值为),s/m(4962 x),s/m(20. 1 2 s标标准准差差假设

9、两总体都可认为近似假设两总体都可认为近似地服从正态分布地服从正态分布,且由生产过程可认为它们的方差且由生产过程可认为它们的方差相等相等, 求两总体均值差求两总体均值差 .950 21的的置置的的置置信信度度为为 信区间信区间.解解由题意由题意, 两总体样本独立且方差相等两总体样本独立且方差相等(但未知但未知), 0.025,2 ,20,1021 nn,28221 nn : )1( 分分布布表表可可知知查查 nt,0484. 2)28(025. 0 t,2820. 11910. 19 222 ws,1688. 12 wwSs .950 21的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为于是得于

10、是得 201101)28(025. 021tSxxw),93. 04( ).93. 4,07. 3( 即所求置信区间为即所求置信区间为 . , 21为未知的情况为未知的情况仅讨论总体均值仅讨论总体均值 1 2221的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为 .)1, 1(1,)1, 1(1212/12221212/2221 nnFSSnnFSS推导过程如下推导过程如下: ),1()1( 1221211 nSn 由由于于 ),1()1(2222222 nSn 2221的置信区间的置信区间两个总体方差比两个总体方差比 2. , )1( )1( 2222221211相互独立相互独立与与且由假设

11、知且由假设知 SnSn 根据根据F分布的定义分布的定义, 知知 ),1, 1(2122222121 nnFSS 22222121 SS即即 )1()1()1()1(222222121211 nSnnSn ),1, 1(21 nnF,1 )1, 1()1, 1(212/22222121212/1 nnFSSnnFP ,1)1, 1(1)1, 1(1212/122212221212/2221 nnFSSnnFSSP 1 2221的的置置信信区区间间的的一一个个置置信信度度为为于于是是得得 .)1, 1(1,)1, 1(1212/12221212/2221 nnFSSnnFSS 例例4 分别由工人和

12、机器人操作钻孔机在纲部件分别由工人和机器人操作钻孔机在纲部件上钻孔，今测得所钻的孔的深度（以上钻孔，今测得所钻的孔的深度（以cm计）如下计）如下涉及的两总体分别为涉及的两总体分别为 2221212221,),(),( NN和和均未知，两样本相互独立，均未知，两样本相互独立， 求求2221/ 的置信水平为的置信水平为0.90的置信区间。的置信区间。,05. 02/,9 . 01,8,721 nn解解 现在现在,12. 41)6 , 7(1)7 , 6(,87. 3)7 , 6(05. 005. 0105. 0 FFF经计算得经计算得 ,00017. 0,00189. 02221 ss所求的所求的

13、 2221/ 的置信水平为的置信水平为0.90的置信区间为的置信区间为).81.46,87. 2()7 , 6(1,)7 , 6(195. 0222105. 02221 FssFss21 22 这个区间的下限大于这个区间的下限大于1，在实际中，我们就认为，在实际中，我们就认为比比大。大。解解,181 n,132 n例例5研究由机器研究由机器 A 和机器和机器 B 生产的钢管内径生产的钢管内径, 随随机抽取机器机抽取机器 A 生产的管子生产的管子 18 只只, 测得样本方差为测得样本方差为均未知均未知, 求方差比求方差比 .900 的置的置的置信度为的置信度为区间区间.设两样本相互独设两样本相互

14、独);mm(34. 0 221 s).mm(29. 0 222 s抽取机器抽取机器B生产的管子生产的管子 13 只只, 测测得样本方差为得样本方差为立立,且设由机器且设由机器 A 和机器和机器 B 生产的钢管内径分别服生产的钢管内径分别服从正态分布从正态分布),(),(222211 NN)2 , 1(,2 iii 2221 信信,10. 0 ),mm(34. 0 221 s),mm(29. 0 222 s,59. 2)12,17()1, 1(05. 0212/ FnnF )12,17()12,17(95. 02/1FF ,38. 21)17,12(105. 0 F .900 2221的的置置信信区区间间的的一一个个置置信信度度为为于于是是得得 38. 229. 034. 0,59. 2129. 034. 0 .79. 2,45. 0 . )1321的置信区间的置信区间两个总体均值差两个总体均值差、小结、小结 ,2221均均为为已已知知和和 .2221212/