二阶矩阵和二元一次方程组

1、1、逆变换与逆矩阵、逆变换与逆矩阵若逆矩阵存在，则可以证明其具有唯一性。若逆矩阵存在，则可以证明其具有唯一性。2、用几何变换的观点求解逆矩阵、用几何变换的观点求解逆矩阵 3、用代数方法求解逆矩阵、用代数方法求解逆矩阵4、从几何变换的角度求解二阶矩阵乘法的逆矩阵、从几何变换的角度求解二阶矩阵乘法的逆矩阵若二阶矩阵若二阶矩阵A，B均可逆，则均可逆，则AB也可逆，也可逆，且且(AB)1B1 A15、二阶矩阵满足消去律的条件、二阶矩阵满足消去律的条件复习复习消元法二求解元一次方程组消元法二求解元一次方程组 (1) (2) axbymcxdyn 当当adadbc0bc0时，方程组的解为时，方程组的解为x

2、an-cmad-bcmdbnadbcy 引入：引入：(1)(2)db 得：a（ d-bc)x=dm-bn,(2)(1)ac 得：aa（ d-bc)x= n-cm,.abcdabadbccd 我我们们把把称称为为，它它的的运运算算结结果果是是一一个个数数值值（或或多多项项式式），记记为为d de e二二阶阶行行列列式式t t( (A A) )= =建构数学：建构数学：abcd观察上述结果，我们可以发现x,y的分母一样，都是将线性方程组的系数矩阵中主对角线上的两数之积减去副对角线上的两数之积得到的结果. A=| |abcd我们将矩阵两边的“”改为“”,引进以下定义：说明：ababcdcd二阶行列式

3、与二阶矩阵的异同点：(1)从形式上看，矩阵外面是一个中括号. 而行列式外面是两条竖线.(2)从实质上看，矩阵是一个数表，而行列式是一个数值.(3)矩阵和行列式的中间是一致的.axbymcxdyn cnmbndxabcdamyabcd 解解记记为为：xbDDDccnyambamdnd 若若记记，yDDDDxxy 则则有了行列式这个定义，我们可以将前述二元一次方程组一般解改写为：231014560 xyxy 例例 ：利利用用行行列列式式解解方方程程组组数学应用：数学应用：解：231456.xyxy，将方程组变形为因为23D=2 5-4 3=-2,45x13D =1 5-3 6=-13,6521D

4、=2 6-1 4=8,46y13138x=, =4.222yxDDyDD 13,24.xy 该方程组的解为51273A 例例 ：利利用用行行列列式式的的方方法法求求解解矩矩阵阵的的逆逆矩矩阵阵。51A=B73abcd设矩阵的逆矩阵为，解：由AB=E有5110,7301abcd即5510,737b+3d01acbdac故515b07307b31acdacd，, a c先将看成未知数，则511051D=8, D =3, D =-7,731370ab37,.88ac 15b,.88d 同理可得：3188A.7588B 矩阵 的逆矩阵用逆矩阵的知识解决二元一次方程组的求解过程。用逆矩阵的知识解决二元一

5、次方程组的求解过程。axbymcxdyn XB,yxmabAncd 记记：，则则AXB A-1-1左左乘乘1XA B 得得到到1d-badcadcA-caadcadcbbbb 其其中中例例3：利用行列式求解二元一次方程组：利用行列式求解二元一次方程组 231 0456 0 xyxy 23102314560456xyxyxyxy 231456xy 1231456xy 数学应用：数学应用：解-153-A,222-1165313-=,2222-1-4xy 13,24.xy 该方程组的解为13422yyx 例例 ：试试从从几几何何变变换换的的角角度度说说明明解解的的存存在在性性和和唯唯一一性性。解1x

6、31A=X=,B2201y 记，则AX=BA1( , )(, )2x yxy y由于 对应的是将平面上点（向量）保持纵坐标不变，而将横坐标依纵坐标的比例增加，且的切变变换，因此，1( , )(, )2x yxy y它存在唯一的逆变换：将平面上的点（向量）保持纵坐标不变，横坐标依纵坐标的比例减少，且的切变变换，-111A =201即，-1-1x3X=B211A =X=A B.201y 于是原方程的解为向量在变换矩阵对应的变换作用之后的向量，即-1Axy 由于矩阵是唯一存在的，因此，也是唯一存在的，且-11321A B=22201 且，2,2.xy该方程组的解为22AX BAB 1 10 0例例5 5：已已知知二二元元一一次次方方程程组组= = ，= =，1 10 0，试试从从几几何何变变换换角角度度研研究究方方程程组组解解的的情情况况。解：矩阵A对应的变换是投影变换，它把平面上所有的点(向量)都沿着垂直于x轴的方向投影到直线y=x上.22 该方程组的求解就转化为已知投影变换的象，求它的原象.22,.2mRm 实际上，对任意的都是的原象2,.xyR因此，原方程组有无穷多组解，它们组成一条直线，即满足点都是方程组的解1、消元法求解二元一次方程组、消元法求解二元一次方程组2、二阶行列式有关概念、二阶行列式有关概念,及用行列式求解二元一次