数值分析实验上机题

1、数值分析 课程实验指导书实验一非线性方程求根一、问题提出设方程f ( x)x33x1 0 有三个实根 x1*1.8793, x2*x3*1.53209现采用下面六种不同计算格式，求f(x)=01、x3x1x22、xx3133、 x3 3x14、x1x235、x31x6、 x x1 ( x33x 1)3x2 10.34727,*的根 x1 或 x2二、要求1、编制一个程序进行运算，最后打印出每种迭代格式的敛散情况；2、用事后误差估计xk 1xk来控制迭代次数，并且打印出迭代的次数；3、初始值的选取对迭代收敛有何影响；4、分析迭代收敛和发散的原因。三、目的和意义1、通过实验进一步了解方程求根的算法

2、；2、认识选择计算格式的重要性；3、掌握迭代算法和精度控制；4、明确迭代收敛性与初值选取的关系。四、实验学时： 2 学时五、实验步骤：1进入 matlab 开发环境；2根据实验容和要求编写程序；3调试程序；4运行程序；5生成报告实验二线方程组的直接解法一、问题提出给出下列几个不同类型的线性方程组，请用适当算法计算其解。1、 设线性方程组4231210000x158653650100x2124221321 031x330215131 194x424261673323x5386857172635x646021 3425301x713161011917342122x8384627 1392012 4

3、x919001 83248 631 x1021x(1, 1,0,1,2,0,3,1, 1,2)T2、 设对称正定阵系数阵线方程组42402400x10221 2 1320x264 114183 56x32002 16143 3x4232181224103 x594334 411 14x622025310114 2x7150063342 19 x845x(1,1,0, 2,1, 1,0, 2)T3、 三对角形线性方程组41 00000000x171 41 0000000x2501 41 000000x313001 41 00000x420001 41 0000x5600001 41 000x61

4、2000001 41 00x7140000001 41 0x8400000001 41 x95000000001 4x105x*(2,1,3,0,1,2,3,0,1,1)T二、要求1、 对上述三个方程组分别利用Gauss 顺序消去法与与改进平方根法；追赶法求解（选择其一）；2、 应用结构程序设计编出通用程序；3、 比较计算结果，分析数值解误差的原因；Gauss 列主元消去法；平方根法4、 尽可能利用相应模块输出系数矩阵的三角分解式。三、目的和意义1、通过该课题的实验，体会模块化结构程序设计方法的优点；2、运用所学的计算方法，解决各类线性方程组的直接算法；3、提高分析和解决问题的能力，做到学以致

5、用；4、 通过三对角形线性方程组的解法，体会稀疏线性方程组解法的特点。四、实验学时： 2 学时五、实验步骤：1进入 matlab 开发环境；2根据实验容和要求编写程序；3调试程序；4运行程序；5生成报告实验三解线性方程组的迭代法一、问题提出对实验四所列目的和意义的线性方程组，试分别选用Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法和SOR方法计算其解。二、要求1、体会迭代法求解线性方程组，并能与消去法做以比较；2、分别对不同精度要求，如10 3 ,10 4 ,10 5 由迭代次数体会该迭代法的收敛快慢；3、对方程组2， 3 使用 SOR方法时，选取松弛因子=0.8 ，0.9 ， 1，1.1

6、 ， 1.2 等，试看对算法收敛性的影响，并能找出你所选用的松弛因子的最佳者；4、给出各种算法的设计程序和计算结果。三、目的和意义1、通过上机计算体会迭代法求解线性方程组的特点，并能和消去法比较；2、运用所学的迭代法算法，解决各类线性方程组，编出算法程序；3、体会上机计算时，终止步骤x(k 1)xk或 k > （予给的迭代次数） ，对迭代法敛散性的意义；4、 体会初始解x0 ，松弛因子的选取，对计算结果的影响。四、实验学时： 2 学时五、实验步骤：1进入 mablab 开发环境；2根据实验容和要求编写程序；3调试程序；4运行程序；5生成报告实验四函数插值方法一、问题提出对于给定的一元函数

7、yf (x) 的 n+1 个节点值y jf (x j ), j0,1,L , n 。试用Lagrange 公式求其插值多项式或分段线性插值。数据如下：（ 1）x j0.40.550.650.800.951.05y j0.41075 0.578150.696750.901.01.253820求五次 Lagrange 多项式 L 5 ( x) ，和分段线性插值，计算f (0.596) ,f (0.99)的值。（提示：结果为f (0.596)0.625732 ,f (0.99)1.05423）（ 2）x j1234567y j 0.368 0.1350.050 0.018 0.007 0.002 0

8、.001试构 造 Lagrange多 项 式 L 6 ( x) ， 计 算 的 f (1.8) ,f (6.15) 值 。（ 提 示： 结 果 为f (1.8)0.164762 ,f (6.15) 0.001266）二、要求1、 利用 Lagrange插值公式nnxxiLn ( x)yk 编写出插值多项式程序；k0 i0, ik xkxi2、 给出插值多项式或分段三次插值多项式的表达式；3、 根据节点选取原则，对问题（2）用三点插值或二点插值，其结果如何；4、 对此插值问题用Newton 插值多项式其结果如何。Newton 插值多项式如下：nk1Nn (x) f (x0 )f x0,L, xk

9、 ?( x x j )k 1j 0, j kkf ( xi)其中：f x0,L, xk ki0( xix j )j 0, ji三、目的和意义1、 学会常用的插值方法，求函数的近似表达式，以解决其它实际问题；2、 明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点；3、 熟悉插值方法的程序编制；4、 如果绘出插值函数的曲线，观察其光滑性。四、实验学时： 2 学时五、实验步骤：1进入 matlab 开发环境；2根据实验容和要求编写程序；3调试程序；4运行程序；5生成报告实验五函数逼近与曲线拟合一、问题提出从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验量存在，通常利用数据的最小二乘

10、法求得拟合曲线。在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量与时间 t 的拟合曲线。t( 分 )0510 15 2025303540455055y( 10 4 )01.272.16 2.863.443.874.154.374.514.584.02 4.64二、要求1、用最小二乘法进行曲线拟合；2、近似解析表达式为(t) a1t a2t 2a3t 3 ；3、打印出拟合函数(t ) ，并打印出 (t j) 与 y(t j ) 的误差， j1,2,L ,12 ；4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较；5、 * 绘制出曲线拟合图。三、目的和意义1、掌握曲线拟合的最小二乘法；2、最

11、小二乘法亦可用于解超定线代数方程组；3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。四、实验学时： 2 学时五、实验步骤：1进入 matlab 开发环境；2根据实验容和要求编写程序；3调试程序；4运行程序；5生成报告实验六数值积分与数值微分一、问题提出选用复合梯形公式，复合Simpson 公式， Romberg算法，计算1/4（1） I=4-sin2 xdx( I1.5343916)01 sin x1,I0.9460831)（2） I=dx( f (0)0x1ex（3） I=2 dx0 4 x1ln(1x)（4）I= 01x2 dx二、要求1、 编制数值积分算法的程序；2、 分别用两种算法计算同一个

12、积分，并比较其结果；3、 分别取不同步长 h(ba) / n ，试比较计算结果（如 n = 10, 20等）；4、 给定精度要求，试用变步长算法，确定最佳步长。三、目的和意义1、 深刻认识数值积分法的意义；2、 明确数值积分精度与步长的关系；3、 根据定积分的计算方法，可以考虑二重积分的计算问题。四、实验学时： 2 学时五、实验步骤：1进入 matlab 开发环境；2根据实验容和要求编写程序；3调试程序；4运行程序；5生成报告实验七矩阵特征值问题计算一、问题提出利用冪法或反冪法， 求方阵 A(aij )n n 的按模最大或按模最小特征值及其对应的特征向量。设矩阵 A 的特征分布为：123Ln

13、1n 且 Ax jj xj试求下列矩阵之一121（1） A24 1求 1 ，及 x1116取 (0)(1,1,1)T ,10 5结果16.42106, x1(0.046152, 0.374908,1)T427318251147（2） A71723531265求 1 , 6 及 x11143532875124取 (0)(1,0,1,0,0,1) T ,10 5结果：121.30525, 61.62139, x1(0.8724,0.5401,0.9973,0.5644,0.4972,1.0) T21121（3） A1 21求 1 及 x112112取(0)T104(1,1,1,1,1) ,结果3.

14、7321(4)2134A13153162452101,1,1,1T10 2取这是一个收敛很慢的例子,迭代 1200 次才达到 10 5结果 18.02857835x11,2.501460, 0.757730, 2.564212 T（ 5）121A241116有一个近似特征值6.42 ,试用幂法求对应的特征向量，并改进特征值 （原点平移法） 。0T10 4取1,1,1结果6.42107x0.0461465 , 0.37918,1 T二、要求1、掌握冪法或反冪法求矩阵部分特征值的算法与程序设计；2、会用原点平移法改进算法，加速收敛；对矩阵B=A-PI 取不同的 P 值，试求其效果；3、试取不同的初

15、始向量(0) ，观察对结果的影响；4、对矩阵特征值的其它分布，如12且123 如何计算。三、目的和意义1、求矩阵的部分特征值问题具有重要实际意义，如求矩阵谱半径( A) max i ，1 i n稳定性问题往往归于求矩阵按模最小特征值；2、进一步掌握冪法、反冪法及原点平移加速法的程序设计技巧；3、问题中的题 （ 5），反应了利用原点平移的反冪法可求矩阵的任何特征值及其特征向量。四、实验学时： 2 学时五、实验步骤：1进入 matlab 开发环境；2根据实验容和要求编写程序；3调试程序；4运行程序；5生成报告实验八常微分方程初值问题数值解法一、问题提出科学计算中经常遇到微分方程（组）初值问题，需要

16、利用Euler 法，改进 Euler 法，Rung-Kutta方法求其数值解，诸如以下问题：（ 1）4xxyyyy 000x 2分别取 h=0.1,0.2,0.4时数值解。 初值问题的精确解 y4 5e x 2。（ 2）yx 2y2y101 x 0用 r=3 的 Adams显式和预 - 校式求解取步长 h=0.1 ，用四阶标准R-K 方法求值。（ 3）y1y2y101y2y1y200y3y3y3010 x 1用改进 Euler 法或四阶标准R-K 方法求解取 步 长0.01,计 算y(0.05), y(0.10), y(0.15) 数 值 解 ， 参 考 结 果y1(0.15)0.9880787, y2 (0.15) 0.1493359, y3(0.15) 0.8613125 。（ 4）利用四阶标准 R- K 方法求二阶方程初值问题的数值解（ I ）y3 y2 y0y 00, y 010 x 1, h 0.02(II)y 0.11y2y y0y 0 1, y 0 00 x 1, h 0.1(III)yyex1y 0 1, y 000 x 2, h 0.1(IV)ysin y0y