《电磁场与电磁波》教案-02静电场ppt课件

1、第二章第二章 静电场静电场 主主 要要 内内 容容电场强度、电位、介质极化、场方程、边境条件、能量与力电场强度、电位、介质极化、场方程、边境条件、能量与力1. 电场强度、电通及电场线电场强度、电通及电场线 电场对某点单位正电荷的作用力称为该点的电场强度，以电场对某点单位正电荷的作用力称为该点的电场强度，以E E 表示。表示。 )V/m(qFE 式中式中q q 为实验电荷的电量，为实验电荷的电量，F F 为电荷为电荷q q 遭到的作用力。遭到的作用力。 电场强度经过任一曲面的通量称为电通，以电场强度经过任一曲面的通量称为电通，以 表示表示,即即 SSE d0d lE电场线方程电场线方程用电场线围

2、用电场线围成电场管成电场管带电平行板带电平行板 负电荷负电荷 正电荷正电荷 几种典型的电场线分布几种典型的电场线分布由此可见，电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。由此可见，电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。 2. 真空中静电场方程真空中静电场方程 物理实验阐明，真空中静电场的电场强度物理实验阐明，真空中静电场的电场强度E E 满足以下两个满足以下两个积分方式的方程积分方式的方程SSE 0d qllE 0d 式中式中0 0 为真空介电常数。为真空介电常数。左式称为高斯定理，它阐明真空中静电场的电场强度经过任一左式称为高斯定理，它阐明真空中静电场的电场强度经过任一封锁曲面的电通等于该封锁

3、曲面所包围的电量与真空介电常数封锁曲面的电通等于该封锁曲面所包围的电量与真空介电常数之比。右式阐明，真空中静电场的电场强度沿任一条闭合曲线之比。右式阐明，真空中静电场的电场强度沿任一条闭合曲线的环量为零。的环量为零。F/m)(10361m)/F(10854187817. 89120根据上面两式可以求出电场强度的散度及旋度，即根据上面两式可以求出电场强度的散度及旋度，即0 E0E左式阐明，真空中静电场的电场强度在某点的散度等于该点的电左式阐明，真空中静电场的电场强度在某点的散度等于该点的电荷体密度与真空介电常数之比。右式阐明，真空中静电场的电场荷体密度与真空介电常数之比。右式阐明，真空中静电场的

4、电场强度的旋度处处为零。由此可见，真空中静电场是有散无旋场。强度的旋度处处为零。由此可见，真空中静电场是有散无旋场。 知静电场的电场强度的散度及旋度以后，根据亥姆霍兹定理，知静电场的电场强度的散度及旋度以后，根据亥姆霍兹定理，电场强度电场强度E E 应为应为 AEVVVV d)( 41)(d)( 41)(|rr |rErA|rr |rEr式中式中xPzyr0Vd)(rrrrVV 0d)(41)(|rr|rr0)(rA将前述结果代入，求得将前述结果代入，求得E因此因此 标量函数标量函数 称为电位。因此，上式阐明真空中静电场在某称为电位。因此，上式阐明真空中静电场在某点的电场强度等于该点电位梯度的

5、负值。点的电场强度等于该点电位梯度的负值。E按照国家规范，电位以小写希腊字母按照国家规范，电位以小写希腊字母 表示，上式应写为表示，上式应写为将电位表达式代入，求得电场强度与电荷密度的关系为将电位表达式代入，求得电场强度与电荷密度的关系为VVd4)()(30rrrrrrE 假设电荷分布在一个有限的外表上，或者分布在一个有限假设电荷分布在一个有限的外表上，或者分布在一个有限的线段内，那么可以类推获知此时电位及电场强度与电荷的面的线段内，那么可以类推获知此时电位及电场强度与电荷的面密度密度 S 及线密度及线密度l 的关系分别为的关系分别为SSS 0d|)(41)(|rrrrSSS 30d|)(41

6、)(|rrrrrrEll d)(41)(0|rr|rrllll 30d|)(41)(|rrrrrrE1 1高斯定律中的电量高斯定律中的电量 q q 应了解为封锁面应了解为封锁面 S S 所包围的全部所包围的全部正负电荷的总和。正负电荷的总和。 静电场特性的进一步认识：静电场特性的进一步认识：2 2静电场的电场线是不能够闭合的静电场的电场线是不能够闭合的 ，而且也不能够相交。，而且也不能够相交。3 3恣意两点之间电场强度恣意两点之间电场强度 E E 的线积分与途径无关。真空的线积分与途径无关。真空中的静电场和重力场一样，它是一种保守场。中的静电场和重力场一样，它是一种保守场。 4知电荷分布的情况

7、下，可以利用高斯定理计算电场强度，知电荷分布的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度，或者可以经过电位求出电场强度，或者直接根据电荷分布计算或者可以经过电位求出电场强度，或者直接根据电荷分布计算电场强度等三种计算静电场的方法。电场强度等三种计算静电场的方法。 例例1 1 计算点电荷的电场强度。计算点电荷的电场强度。 点电荷就是指体积为零，但具有一定电量的电荷。由于点电荷点电荷就是指体积为零，但具有一定电量的电荷。由于点电荷的构造具有球对称特点，因此假设点电荷位于球坐标的原点，它产的构造具有球对称特点，因此假设点电荷位于球坐标的原点，它产生的电场强度一定与球坐标的方位角及无关。生的电场强度一定与球

8、坐标的方位角及无关。 取中心位于点电荷的球面为高斯面。假设点电荷为正电荷，球取中心位于点电荷的球面为高斯面。假设点电荷为正电荷，球面上各点的电场强度方向与球面的外法线方向一致。利用高斯定律面上各点的电场强度方向与球面的外法线方向一致。利用高斯定律Sq 0dSE上式左端积分为上式左端积分为 SSSErSE 2n 4dd dSeESE得得204rqEr204eErq或或 也可经过电位计算点电荷产生的电场强度。当点电荷位于坐标原也可经过电位计算点电荷产生的电场强度。当点电荷位于坐标原点时，点时， 。那么点电荷的电位为。那么点电荷的电位为r|rrrq04)(rrrqrqeE200414求得电场强度求得

9、电场强度 E 为为 rVrrqVreerE20 204d4)(假设直接根据电场强度公式假设直接根据电场强度公式2-2-14，同样求得电场强度，同样求得电场强度E为为 例例2 2 计算电偶极子的电场强度。计算电偶极子的电场强度。 由前述电位和电场强度的计算公式可由前述电位和电场强度的计算公式可见，无论电荷何种分布，电位及电场强度见，无论电荷何种分布，电位及电场强度均与电量的一次方成正比。因此，可以利均与电量的一次方成正比。因此，可以利用叠加原理计算多种分布电荷产生的电位用叠加原理计算多种分布电荷产生的电位和电场强度。那么，电偶极子产生的电位和电场强度。那么，电偶极子产生的电位应为应为 rrrrq

10、rqrq000444假设察看间隔远大于两电荷的间距假设察看间隔远大于两电荷的间距 l l ，那么可以为，那么可以为 ， 与与 平行，平行，那么那么rererecoslrr2cos2cos2rlrlrrrx-q+qzylrr-r+O式中式中l 的方向规定由负电荷指向正电荷。通常定义乘积的方向规定由负电荷指向正电荷。通常定义乘积 q l 为电偶为电偶极子的电矩，以极子的电矩，以 p 表示，即表示，即lpq)(4cos42020rrqlrqel求得求得20204cos4rprrep那么电偶极子产生的电位为那么电偶极子产生的电位为 sin11rrrEreee30304sin2cosrprpreeE利用

11、关系式利用关系式 ，求得电偶极子的电场强度为，求得电偶极子的电场强度为 上述结果阐明，电偶极子的电位与间隔平方成反比，电场强度的上述结果阐明，电偶极子的电位与间隔平方成反比，电场强度的大小与间隔的三次方成反比。而且两者均与方位角大小与间隔的三次方成反比。而且两者均与方位角 有关。这些特有关。这些特点与点电荷显著不同。以下图绘出了电偶极子的电场线和等位线的分点与点电荷显著不同。以下图绘出了电偶极子的电场线和等位线的分布。布。 例例3 3 设半径为设半径为a a，电荷体密度为，电荷体密度为 的无限长圆柱带电体位于真空，的无限长圆柱带电体位于真空，计算该带电圆柱体内外的电场强度。计算该带电圆柱体内外

12、的电场强度。 xzyaLS1 选取圆柱坐标系，令选取圆柱坐标系，令 z z 轴为圆柱的轴轴为圆柱的轴线。由于圆柱是无限长的，对于任一线。由于圆柱是无限长的，对于任一 z z 值，上下均匀无限长，因此场量与值，上下均匀无限长，因此场量与 z z 坐标坐标无关。对于任一无关。对于任一 z z 为常数的平面，上下是为常数的平面，上下是对称的，因此电场强度一定垂直于对称的，因此电场强度一定垂直于z z 轴，且轴，且与径向坐标与径向坐标 r r 一致。再思索到圆柱构造具一致。再思索到圆柱构造具有旋转对称的特点，场强一定与角度有旋转对称的特点，场强一定与角度 无关。无关。 取半径为取半径为 r r ，长度

13、为，长度为 L L 的圆柱面与其上下端面构成高斯面。运的圆柱面与其上下端面构成高斯面。运用高斯定律用高斯定律 Sq 0dSE 因电场强度方向处处与圆柱侧面因电场强度方向处处与圆柱侧面S1的外法线方向一致，而与的外法线方向一致，而与上下端面的外法线方向垂直，因此上式左端的面积分为上下端面的外法线方向垂直，因此上式左端的面积分为rLESESESSS2ddd11 SE当当 r a r a r a 时，那么电量时，那么电量q q 为为 , , 求得电场强度求得电场强度为为 Laq2rraeE022rlreE02 上式中上式中a2 可以以为是单位长度内的电量。那么，柱外电可以以为是单位长度内的电量。那么

14、，柱外电场可以看作为位于圆柱轴上线密度为场可以看作为位于圆柱轴上线密度为 =a2 的线电荷产生的电的线电荷产生的电场。由此我们推出线密度为场。由此我们推出线密度为 的无限长线电荷的电场强度为的无限长线电荷的电场强度为ll 由此例可见，对于这种构造对称的无限长圆柱体分布电荷，利由此例可见，对于这种构造对称的无限长圆柱体分布电荷，利用高斯定律计算其电场强度是非常简便的。假设根据电荷分布直接用高斯定律计算其电场强度是非常简便的。假设根据电荷分布直接积分计算电位或电场强度，显然不易。积分计算电位或电场强度，显然不易。 xzyr21r0rrzdzrzere),2,(zrP例例4 求长度为求长度为L，线密

15、度为，线密度为 的均匀线分布电荷的电场强度。的均匀线分布电荷的电场强度。 l 令圆柱坐标系的令圆柱坐标系的 z 轴与线电荷的长轴与线电荷的长度方位一致，且中点为坐标原点。由于度方位一致，且中点为坐标原点。由于构造旋转对称，场强与方位角构造旋转对称，场强与方位角 无关。无关。由于电场强度的方向无法判别，不能运由于电场强度的方向无法判别，不能运用高斯定律求解其电场强度。只好进展用高斯定律求解其电场强度。只好进展直接积分，计算其电位及电场强度。直接积分，计算其电位及电场强度。 因场量与因场量与 无关，为了方便起见，可令察看点无关，为了方便起见，可令察看点P 位于位于yz平面，平面，即即 ，那么，那么

16、 2lLLd42 2 30|rr |rrEl思索到思索到d cscdcot)sincos(csccsc|2rzrzzarrrzeerr|r-rd csccscsincos42 22021rraazreeEl求得求得)cos(cos)sin(sin412120rzlree当长度当长度 L L 时，时，1 1 0 0，2 2 ，那么，那么rlrreeEl00224此结果与例此结果与例3 3 导出的结果完全一样。导出的结果完全一样。 3. 电位与等位面电位与等位面 静电场中某点的电位，其物理意义是单位正电荷在电场力的作静电场中某点的电位，其物理意义是单位正电荷在电场力的作用下，自该点沿任一条途径移至

17、无限远处过程中电场力作的功。用下，自该点沿任一条途径移至无限远处过程中电场力作的功。 应该留意，这里所说的电位实践上是该点与无限远处之间的电应该留意，这里所说的电位实践上是该点与无限远处之间的电位差，或者说是以无限远处作为参考点的电位。原那么上，可以任位差，或者说是以无限远处作为参考点的电位。原那么上，可以任取一点作为电位参考点。显然，电位的参考点不同，某点电位的值取一点作为电位参考点。显然，电位的参考点不同，某点电位的值也不同。但是恣意两点之间的电位差与电位参考点无关，因此电位也不同。但是恣意两点之间的电位差与电位参考点无关，因此电位参考点的选择不会影响电场强度的值。当电荷分布在有限区域时，

18、参考点的选择不会影响电场强度的值。当电荷分布在有限区域时，通常选择无限远处作为电位参考点，由于此时无限远处的电位为零。通常选择无限远处作为电位参考点，由于此时无限远处的电位为零。qW电位的数学表示电位的数学表示式中式中q q 为电荷的电量，为电荷的电量，W W 为电场力将电荷为电场力将电荷 q q 推到无限远处作的功。推到无限远处作的功。 由于电场强度的方向为电位梯度的负方向，而梯度方向总是由于电场强度的方向为电位梯度的负方向，而梯度方向总是垂直于等位面，因此，电场线与等位面一定处处坚持垂直。假设垂直于等位面，因此，电场线与等位面一定处处坚持垂直。假设规定相邻的等位面之间的电位差坚持恒定，那么

19、等位面密集处阐规定相邻的等位面之间的电位差坚持恒定，那么等位面密集处阐明电位变化较快，因此场强较强。这样，等位面分布的疏密程度明电位变化较快，因此场强较强。这样，等位面分布的疏密程度也可表示电场强度的强弱。也可表示电场强度的强弱。 电位相等的曲面称为等位面，其方程为电位相等的曲面称为等位面，其方程为Czyx),(电场线等位面式中常数式中常数 C C 等于电位值。等于电位值。E有极分子无极分子4. 介质极化介质极化 导体中的电子通常称为自在电子，它们所携带的电荷称为自在导体中的电子通常称为自在电子，它们所携带的电荷称为自在电荷。介质中的电荷是不会自在运动的，这些电荷称为束缚电荷。电荷。介质中的电

20、荷是不会自在运动的，这些电荷称为束缚电荷。 在电场作用下，介质中束缚电荷发生位移，这种景象称为极化。在电场作用下，介质中束缚电荷发生位移，这种景象称为极化。通常，无极分子的极化称为位移极化，有极分子的极化称为取向极通常，无极分子的极化称为位移极化，有极分子的极化称为取向极化。化。 无极分子有极分子Ea 实践上，介质极化景象是逐渐构成的。当外加电场实践上，介质极化景象是逐渐构成的。当外加电场Ea 加到介质中加到介质中以后，介质中出现的电偶极子产生二次电场以后，介质中出现的电偶极子产生二次电场Es，这种二次电场，这种二次电场 Es 又又影响外加电场，从而导致介质极化发生改动，使二次电场又发生变影响

21、外加电场，从而导致介质极化发生改动，使二次电场又发生变化。不断到合成电场产生的极化可以建立一个稳态的二次电场，极化。不断到合成电场产生的极化可以建立一个稳态的二次电场，极化形状到达动态平衡，其过程如以下图所示。化形状到达动态平衡，其过程如以下图所示。 介介 质质合成场合成场Ea+ Es极极 化化二次场二次场Es外加场外加场Ea 介质极化以后，介质中出现很多陈列方向大致一样的电偶极子。介质极化以后，介质中出现很多陈列方向大致一样的电偶极子。为了衡量这种极化程度，我们定义，单位体积中电矩的矢量和称为为了衡量这种极化程度，我们定义，单位体积中电矩的矢量和称为极化强度，以极化强度，以P P 表示，即表

22、示，即 VN1iipP式中式中 pi pi 为体积为体积 V V 中第中第 i i 个电偶极子的电矩，个电偶极子的电矩，N N 为为 V V 中电偶中电偶极子的数目。这里极子的数目。这里 V V 应了解为物理无限小的体积。应了解为物理无限小的体积。 实验结果阐明，大多数介质在电场的作用下发生极化时，其实验结果阐明，大多数介质在电场的作用下发生极化时，其极化强度极化强度 P 与介质中的合成电场强度与介质中的合成电场强度 E 成正比，即成正比，即EPe0式中式中e e 称为极化率，它是一个正实数。称为极化率，它是一个正实数。 由上可见，这类介质的极化强度与合成的电场强度的方向一样。由上可见，这类介

23、质的极化强度与合成的电场强度的方向一样。极化强度的某一坐标分量仅决议于相应的电场强度的坐标分量。极化极化强度的某一坐标分量仅决议于相应的电场强度的坐标分量。极化率与电场方向无关，这类介质称为各向同性介质。有些介质并不是这率与电场方向无关，这类介质称为各向同性介质。有些介质并不是这样，其极化强度的某一坐标分量不仅与电场强度相应的坐标分量有关，样，其极化强度的某一坐标分量不仅与电场强度相应的坐标分量有关，而且与电场强度的其他分量也有关。这类介质的极化强度而且与电场强度的其他分量也有关。这类介质的极化强度 P P 与电场与电场强度强度 E E 的关系可用以下矩阵表示的关系可用以下矩阵表示 zyxzy

24、xEEEPPP 33e32e31e23e22e21e13e12e11e0这就阐明，介质的极化率与电场强度的方向有关，也就是极化特性与这就阐明，介质的极化率与电场强度的方向有关，也就是极化特性与电场强度方向有关，因此，这类介质称为各向异性介质。电场强度方向有关，因此，这类介质称为各向异性介质。 空间各点极化率一样的介质称为均匀介质，否那么，称为非均匀空间各点极化率一样的介质称为均匀介质，否那么，称为非均匀介质。介质。极化率与时间无关的介质称为静止媒质，否那么称为运动媒质。极化率与时间无关的介质称为静止媒质，否那么称为运动媒质。 介质的均匀与非均匀性、线性与非线性、各向同性与各向异性、介质的均匀与

25、非均匀性、线性与非线性、各向同性与各向异性、静止与运动分别代表完全不同的概念，不应混淆。静止与运动分别代表完全不同的概念，不应混淆。 因此，假设极化率是一个正实常数，那么适用于线性均匀且各向因此，假设极化率是一个正实常数，那么适用于线性均匀且各向同性的介质。假设前述矩阵的各个元素都是一个正实常数，那么适用同性的介质。假设前述矩阵的各个元素都是一个正实常数，那么适用于线性均匀各向异性的介质。于线性均匀各向异性的介质。 极化率与电场强度的大小无关的介质称为线性介质，否那么，极化率与电场强度的大小无关的介质称为线性介质，否那么，称为非线性介质。称为非线性介质。各向异性的介质能否是均匀的？非均匀介质能

26、否是各向同性的？各向异性的介质能否是均匀的？非均匀介质能否是各向同性的？ 发生极化以后，介质外表出现面分布的束缚电荷。假设介质内发生极化以后，介质外表出现面分布的束缚电荷。假设介质内部是不均匀的，那么极化产生的电偶极子的分布也是不均匀的，在部是不均匀的，那么极化产生的电偶极子的分布也是不均匀的，在介质内部出现束缚电荷的体分布，因此出现体分布的束缚电荷。这介质内部出现束缚电荷的体分布，因此出现体分布的束缚电荷。这种因极化产生的面分布及体分布的束缚电荷又称为极化电荷。可以种因极化产生的面分布及体分布的束缚电荷又称为极化电荷。可以证明这些极化电荷产生的电位为证明这些极化电荷产生的电位为 VVSd|)

27、(41|d)(41)( 0 0rrrPrrSrPr式中式中 为极化强度，它与极化电荷的关系为为极化强度，它与极化电荷的关系为 )(rP 由此可见，任一块介质内部体分布的束缚电荷与介质块的外由此可见，任一块介质内部体分布的束缚电荷与介质块的外表束缚电荷是等值异性的。表束缚电荷是等值异性的。 n)()(erPrS)()(rPr右式又可写为积分方式右式又可写为积分方式Sq dSP 5. 5. 介质中的静电场方介质中的静电场方程程 在介质内部，穿过任一闭合面在介质内部，穿过任一闭合面 S 的电通应为的电通应为式中式中 q 为闭合面为闭合面 S 中的自在电荷，中的自在电荷， 为闭合面为闭合面S 中的束缚

28、电荷。那么中的束缚电荷。那么 q)(1d 0 qqSSEqS 0d)( SPE令令 ，求得，求得PED0qS d SD此处定义的此处定义的 D 称为电位移。可见，介质中穿过任一闭合面的电位移称为电位移。可见，介质中穿过任一闭合面的电位移的通量等于该闭合面包围的自在电荷，而与束缚电荷无关。上式又的通量等于该闭合面包围的自在电荷，而与束缚电荷无关。上式又称为介质中的高斯定律的积分方式，利用矢量恒等式不难推出其微称为介质中的高斯定律的积分方式，利用矢量恒等式不难推出其微分方式为分方式为 D 介质中微分方式的高斯定律阐明，某点电位移的散度等于该点介质中微分方式的高斯定律阐明，某点电位移的散度等于该点自

29、在电荷的体密度。自在电荷的体密度。 电位移也可用一系列曲线表示。曲线上某点的切线方向等于该电位移也可用一系列曲线表示。曲线上某点的切线方向等于该点电位移的方向，这些曲线称为电位移线。假设规定电位移线组成点电位移的方向，这些曲线称为电位移线。假设规定电位移线组成的相邻的通量管中电位移的通量相等，那么电位移线的疏密程度即的相邻的通量管中电位移的通量相等，那么电位移线的疏密程度即可表示电位移的大小。值得留意的是，电位移线起始于正的自在电可表示电位移的大小。值得留意的是，电位移线起始于正的自在电荷，而终止于负的自在电荷，与束缚电荷无关。荷，而终止于负的自在电荷，与束缚电荷无关。 知各向同性介质的极化强

30、度知各向同性介质的极化强度 ，求得，求得 EPe0EEED)1 (e0e00令令 ，)1 (e0式中式中 称为介质的介电常数。知极化率称为介质的介电常数。知极化率 e 为正实数，因此，一为正实数，因此，一切介质的介电常数均大于真空的介电常数。切介质的介电常数均大于真空的介电常数。ED那那么么 实践中经常运用介电常数的相对值，这种相对值称为相对介电常实践中经常运用介电常数的相对值，这种相对值称为相对介电常数，以数，以 r 表示，其定义为表示，其定义为e0r1可见，任何介质的相对介电常数总是大于可见，任何介质的相对介电常数总是大于1。下表给出了几种介质的。下表给出了几种介质的相对介电常数的近似值。

31、相对介电常数的近似值。介介 质质介介 质质空空 气气1.0石石 英英3.3油油2.3云云 母母6.0纸纸1.34.0陶陶 瓷瓷5.36.5有机玻璃有机玻璃2.63.5纯纯 水水81石石 腊腊2.1树树 脂脂3.3聚乙烯聚乙烯2.3聚苯乙烯聚苯乙烯2.6rr各向异性介质的电位移与电场强度的关系可以表示为各向异性介质的电位移与电场强度的关系可以表示为zyxzyxEEEDDD 333231232221131211此式阐明，各向异性介质中，电位移的方向与电场强度的方向不一此式阐明，各向异性介质中，电位移的方向与电场强度的方向不一定一样，电位移某一分量能够与电场强度的各个或者某些分量定一样，电位移某一分

32、量能够与电场强度的各个或者某些分量有关。电位移和电场强度的关系与外加电场的方向有关。此外，可有关。电位移和电场强度的关系与外加电场的方向有关。此外，可以推知均匀介质的介电常数与空间坐标无关。线性介质的介电常数以推知均匀介质的介电常数与空间坐标无关。线性介质的介电常数与电场强度的大小无关。静止媒质的介电常数与时间无关。与电场强度的大小无关。静止媒质的介电常数与时间无关。 对于均匀介质，由于介电常数与坐标无关，因此获得对于均匀介质，由于介电常数与坐标无关，因此获得qS d SE E此外，对于均匀介质，前述电场强度及电位与自在电荷的关系式依然此外，对于均匀介质，前述电场强度及电位与自在电荷的关系式依

33、然成立，只须将其中真空介电常数换为介质的介电常数即可。成立，只须将其中真空介电常数换为介质的介电常数即可。 6. 两种介质的边境条件两种介质的边境条件 由于媒质的特性不同，引起场量在两种媒质的交界面上发生突变，由于媒质的特性不同，引起场量在两种媒质的交界面上发生突变，这种变化规律称为静电场的边境条件。为了方便起见，通常分别讨论这种变化规律称为静电场的边境条件。为了方便起见，通常分别讨论边境上场量的切向分量和法向分量的变化规律。边境上场量的切向分量和法向分量的变化规律。E2E11324lh 1 2et 为了讨论边境上某点电场强度的为了讨论边境上某点电场强度的切向分量的变化规律，围绕该点且紧切向分

34、量的变化规律，围绕该点且紧贴边境作一个有向矩形闭合曲线，其贴边境作一个有向矩形闭合曲线，其长度为长度为 l l，高度为，高度为 h h，那么电场强度，那么电场强度沿该矩形曲线的环量为沿该矩形曲线的环量为 1 4 4 3 3 2 2 1 d d d d d lElElElElEl为了求出边境上的场量关系，必需令为了求出边境上的场量关系，必需令 h h 0 0，那么线，那么线积分积分 0d d 1 4 3 2 lElE 为了求出边境上某点的场量关系，必需令为了求出边境上某点的场量关系，必需令 l l 足够短，以致于在足够短，以致于在 l l内可以以为场量是均匀的，那么上述环量为内可以以为场量是均匀

35、的，那么上述环量为 lElEd d dt21t4 3 22 1 1 lElElE式中式中E1t 和和 E2t 分别表示介质和中电场强度与边境平行的切向分分别表示介质和中电场强度与边境平行的切向分量。知静电场中电场强度的环量处处为零，因此由上式得量。知静电场中电场强度的环量处处为零，因此由上式得2t1tEE 此式阐明，在两种介质构成的边境上，两侧的电场强度的切向分量此式阐明，在两种介质构成的边境上，两侧的电场强度的切向分量相等，或者说，电场强度的切向分量是延续的。相等，或者说，电场强度的切向分量是延续的。 对于各向同性的线性介质，得对于各向同性的线性介质，得 22t1t 1DD此式阐明，在两种各

36、向同性的线性介质构成的边境上，电位移的切此式阐明，在两种各向同性的线性介质构成的边境上，电位移的切向分量是不延续的。向分量是不延续的。 hS 为了讨论电位移的法向分量变化规律，为了讨论电位移的法向分量变化规律，在边境上围绕某点作一个圆柱面，其高度在边境上围绕某点作一个圆柱面，其高度为为 h h，端面为，端面为 S S。那么根据介质中的高。那么根据介质中的高斯定律，得知电位移经过该圆柱面的通量斯定律，得知电位移经过该圆柱面的通量等于圆柱面包围的自在电荷，即等于圆柱面包围的自在电荷，即Sq dSDD2D1令令 h 0 ，那么经过侧面的通量为零，又思索到，那么经过侧面的通量为零，又思索到 S 必需足

37、够小，必需足够小，那么上述通量应为那么上述通量应为SSDSD 1n2ndSD式中式中D1t D1t 及及 D2t D2t 分别代表对应介质中电位移与边境垂直的法线分分别代表对应介质中电位移与边境垂直的法线分量。边境法线的方向量。边境法线的方向 en en 规定为由介质指向介质。规定为由介质指向介质。 1 2ensSqDD1n2n求得求得式中式中 s 为边境上存在的外表自在电荷的面密度。思索到在两种介为边境上存在的外表自在电荷的面密度。思索到在两种介质构成的边境上通常不能够存在外表自在电荷，因此质构成的边境上通常不能够存在外表自在电荷，因此2n1nDD此式阐明，在两种介质边境上电位移的法向分量相

38、等，或者说，电此式阐明，在两种介质边境上电位移的法向分量相等，或者说，电位移的法向分量是延续的。位移的法向分量是延续的。 对于各向同性的线性介质，得对于各向同性的线性介质，得 n221n1EE此式阐明，在两种各向同性的线性介质构成的边境上，电场强度的此式阐明，在两种各向同性的线性介质构成的边境上，电场强度的法向分量不延续的。法向分量不延续的。 还可导出边境上束缚电荷与电场强度法向分量的关系为还可导出边境上束缚电荷与电场强度法向分量的关系为 )(n1n20EES7. 介质与导体的边境条件介质与导体的边境条件 静电平衡：当孤立导体放入静电场中以后，导体中自在电子发生静电平衡：当孤立导体放入静电场中

39、以后，导体中自在电子发生运动，电荷重新分布。由于自在电子逆电场方向反向挪动，因此重新运动，电荷重新分布。由于自在电子逆电场方向反向挪动，因此重新分布的电荷产生的二次电场与原电场方向相反，使导体中的合成电场分布的电荷产生的二次电场与原电场方向相反，使导体中的合成电场逐渐减弱，不断到导体中的合成电场消逝为零，自在电子的运动方才逐渐减弱，不断到导体中的合成电场消逝为零，自在电子的运动方才停顿，因此电荷分布不再改动，这种形状称为静电平衡。停顿，因此电荷分布不再改动，这种形状称为静电平衡。 由此可见，导体中不能够存在静电场，导体内部不能够存在自在由此可见，导体中不能够存在静电场，导体内部不能够存在自在电

40、荷的体分布。所以，当导体处于静电平衡时，自在电荷只能分布在电荷的体分布。所以，当导体处于静电平衡时，自在电荷只能分布在导体的外表上。由于导体中不能够存在静电场，因此导体中的电位梯导体的外表上。由于导体中不能够存在静电场，因此导体中的电位梯度为零，这就意味着导体中电位不随空间变化。所以，处于静电平衡度为零，这就意味着导体中电位不随空间变化。所以，处于静电平衡形状的导体是一个等位体，导体外表是一个等位面。形状的导体是一个等位体，导体外表是一个等位面。 既然导体中的电场强度为零，导体外表的外侧不能够存在电场强既然导体中的电场强度为零，导体外表的外侧不能够存在电场强度的切向分量。换言之，电场强度必需垂

41、直于导体的外表，即度的切向分量。换言之，电场强度必需垂直于导体的外表，即0nEe介质E, D导体en 导体外表存在的外表自在电荷面密导体外表存在的外表自在电荷面密度为度为 SDenSE n或写为或写为式中式中 为导体周围介质的介电常数。为导体周围介质的介电常数。 知导体外表是一个等位面，因知导体外表是一个等位面，因 ，求得外表电位与电荷，求得外表电位与电荷的关系为的关系为nEnSn 思索到导体中不存在静电场，因此极化强度为零。求得导体外思索到导体中不存在静电场，因此极化强度为零。求得导体外表束缚电荷面密度为表束缚电荷面密度为 SPen 静电屏蔽：当封锁的导体空腔中没有自在电荷时，即使腔外存在电

42、静电屏蔽：当封锁的导体空腔中没有自在电荷时，即使腔外存在电荷，腔中也不能够存在静电场。这就意味着封锁的导体腔可以屏蔽外荷，腔中也不能够存在静电场。这就意味着封锁的导体腔可以屏蔽外部静电场，这种效应称为静电屏蔽。部静电场，这种效应称为静电屏蔽。 当然，总电通为零能够是由于闭合面内部当然，总电通为零能够是由于闭合面内部没有电荷，因此没有场；或者由于正负电荷没有电荷，因此没有场；或者由于正负电荷相等，但是这是不能够的。由于电荷只能够相等，但是这是不能够的。由于电荷只能够分布在导体的外表上，假设以正负电荷之间分布在导体的外表上，假设以正负电荷之间任一根电场线和腔壁中任一根曲线组成一条任一根电场线和腔壁

43、中任一根曲线组成一条闭合曲线，由于腔壁中没有电场，沿该条闭闭合曲线，由于腔壁中没有电场，沿该条闭合曲线的电场强度的环量不能够为零，这就合曲线的电场强度的环量不能够为零，这就违背了静电场的根本特性。违背了静电场的根本特性。此外，显然假设腔体接地，位于腔中的电荷也不能够对外产生静电场。此外，显然假设腔体接地，位于腔中的电荷也不能够对外产生静电场。 由于导体内部没有静电场，因此假设沿腔壁内部作一个闭合曲面，由于导体内部没有静电场，因此假设沿腔壁内部作一个闭合曲面，经过其外表的电通一定为零。经过其外表的电通一定为零。 例例 知半径为知半径为r1 的导体球携带的正电量为的导体球携带的正电量为q，该导体球

44、被内半径为，该导体球被内半径为 r2 的导体球壳所包围，球与球壳之间填充介质，其介电常数为的导体球壳所包围，球与球壳之间填充介质，其介电常数为1 ，球壳的外半径为球壳的外半径为 r3 ，球壳的外外表敷有一层介质，该层介质的外半径，球壳的外外表敷有一层介质，该层介质的外半径为为r4 ，介电常数为，介电常数为2 ，外部区域为真空，如左以下图示。，外部区域为真空，如左以下图示。试求：各区域中的电场强度；试求：各区域中的电场强度； 各个外表上的自在电荷各个外表上的自在电荷 和和 束缚电荷。束缚电荷。r1r2r3r4 0 2 1解解 由于构造为球对称，场也是球对称的，由于构造为球对称，场也是球对称的，运

45、用高斯定理求解非常方便。取球面作为运用高斯定理求解非常方便。取球面作为高斯面，由于电场必需垂直于导体外表，高斯面，由于电场必需垂直于导体外表，因此也垂直于高斯面。因此也垂直于高斯面。 在在 r r1 r r1及及 r2r r3 r2r r3 区域中，区域中，因导体中不能够存静电场，所以因导体中不能够存静电场，所以E = 0E = 0。 在在 r1r r2 r1r r2 区域中，区域中，由由 ，得得 Sq dSDr1r2r3r4 0 2 1rrqeE2114rrqeE2224同理，在同理，在 r3r r4 r3r r4 r r4 区域中，求得区域中，求得 根据根据 及及 ，可以求得各个外表上的自

46、在，可以求得各个外表上的自在电荷及束缚电荷面密度分别为电荷及束缚电荷面密度分别为SPenSDenr1r2r3r4 0 2 1r = r1:214 rqS0114121n10rSSrqEr = r4:0114)(224n2n004rSrqEE0Sr = r2:2224 rqS011412221n02rSSrqEr = r3:2334 rqS011422332n03rSSrqE8. 电容与部分电容电容与部分电容 由物理学得知，平板电容器正极板上携带的电量由物理学得知，平板电容器正极板上携带的电量 q 与极板间的与极板间的电位差电位差 U 的比值是一个常数，此常数称为平板电容器的电容，即电的比值是一

47、个常数，此常数称为平板电容器的电容，即电容为容为 UqC 电容的单位电容的单位F法拉太大。例如半径大如地球的弧立导体的法拉太大。例如半径大如地球的弧立导体的电容只需电容只需 F。实践中，通常取。实践中，通常取 F 微法及微法及 pF 皮法皮法作为电容单位。作为电容单位。310708. 0F10pF 1 F,10F1126 对于多导体之间的电容计算，需求引入部分电容概念。多导体对于多导体之间的电容计算，需求引入部分电容概念。多导体系统中，每个导体的电位不仅与导体本身电荷有关，同时还与其他系统中，每个导体的电位不仅与导体本身电荷有关，同时还与其他导体上的电荷有关，由于周围导体上电荷的存在必然影响周

48、围空间导体上的电荷有关，由于周围导体上电荷的存在必然影响周围空间静电场的分布，而多导体的电场是由它们共同产生的。静电场的分布，而多导体的电场是由它们共同产生的。 q1q3qnq2nnnjnnjnnnnnniinjiijiiiiinnkjnnhjCCCCqCCCCqCCCCqCCCCq)()()()()()()()()()()()(2211141222222212212111121121111 此时，各个导体上的电荷与导体间的电位此时，各个导体上的电荷与导体间的电位差的关系为差的关系为式中式中Cii 称为第称为第 i 个导体的固有部分电容；个导体的固有部分电容；Cij 称为第称为第 i 个导体与

49、个导体与第第j 个导体之间的互有部分电容。个导体之间的互有部分电容。 例例 知同轴线的内导体半径为知同轴线的内导体半径为 a，外导体的内半径为，外导体的内半径为b，内外导体之间，内外导体之间填充介质的介电常数为填充介质的介电常数为 。试求单位长度内外导体之间的电容。试求单位长度内外导体之间的电容。 解解 由于电场强度一定垂直于导体外表，因此，由于电场强度一定垂直于导体外表，因此，同轴线中电场强度方向一定沿径向方向。又同轴线中电场强度方向一定沿径向方向。又因构造对称，可以运用高斯定律。因构造对称，可以运用高斯定律。 ab 设内导体单位长度内的电量为设内导体单位长度内的电量为q q，围绕，围绕内导

50、体作一个圆柱面作为高斯面内导体作一个圆柱面作为高斯面S S，那么，那么Sq dSE那么内外导体之间的电位差那么内外导体之间的电位差 U 为为 baabqrEU ln2d因此同轴线单位长度内的电容为因此同轴线单位长度内的电容为 abUqCln2rrqeE29. 电场能量电场能量 知在静电场的作用下，带有正电荷的带电领会沿电场方向发生运知在静电场的作用下，带有正电荷的带电领会沿电场方向发生运动，这就意味着电场力作了功。静电场为了对外作功必需耗费本身的动，这就意味着电场力作了功。静电场为了对外作功必需耗费本身的能量，可见静电场是具有能量的。假设静止带电体在外力作用下由无能量，可见静电场是具有能量的。

51、假设静止带电体在外力作用下由无限远处移入静电场中，外力必需对抗电场力作功，这部分功将转变为限远处移入静电场中，外力必需对抗电场力作功，这部分功将转变为静电场的能量贮藏在静电场中，使静电场的能量添加。由此可见，根静电场的能量贮藏在静电场中，使静电场的能量添加。由此可见，根据电场力作功或外力作功与静电场能量之间的转换关系，可以计算静据电场力作功或外力作功与静电场能量之间的转换关系，可以计算静电场能量。电场能量。 首先根据外力作功与静电场能量之间的关系计算电量为首先根据外力作功与静电场能量之间的关系计算电量为 Q 的孤的孤立带电体的能量。立带电体的能量。 设带电体的电量设带电体的电量 Q 是从零开场

52、逐渐由无限远处移入的。由于开是从零开场逐渐由无限远处移入的。由于开场时并无电场，移入第一个微量场时并无电场，移入第一个微量 dq 时外力无须作功。当第二个时外力无须作功。当第二个dq 移移入时，外力必需抑制电场力作功。假设获得的电位为入时，外力必需抑制电场力作功。假设获得的电位为 ，那么外力，那么外力必需作的功为必需作的功为 dq ，因此，电场能量的增量为，因此，电场能量的增量为 dq 。知带电体的。知带电体的电位随着电荷的逐渐添加而不断升高，可见电位是电量电位随着电荷的逐渐添加而不断升高，可见电位是电量 q 的函数。的函数。 那么当电量增至最终值那么当电量增至最终值 Q 时，外力作的总功，也

53、就是电量为时，外力作的总功，也就是电量为 Q 的带的带电体具有的能量为电体具有的能量为qqWQed )( 0 知孤立导体的电位知孤立导体的电位 等于携带的电量等于携带的电量 q 与电容与电容 C 的之比，的之比， 即即Cq代入上式，求得电量为代入上式，求得电量为Q 的孤立带电体具有的能量为的孤立带电体具有的能量为 CQW2e 21CQQW , 21e或者表示为或者表示为 对于对于 n 个带电体具有的总能量，也可采用同样的方法进展计算。个带电体具有的总能量，也可采用同样的方法进展计算。设每个带电体的电量均从零开场，且以同样的比例增长。假设周围媒设每个带电体的电量均从零开场，且以同样的比例增长。假

54、设周围媒质是线性的，那么当各个带电体的电量添加一倍时，各个带电体的电质是线性的，那么当各个带电体的电量添加一倍时，各个带电体的电位也升高一倍。设第位也升高一倍。设第 i 个带电体的电位最终值为个带电体的电位最终值为 i，电量的最终值为，电量的最终值为Qi，假设某一时辰第，假设某一时辰第 i 个带电体的电量为个带电体的电量为 qi = Qi， 1 那么此时那么此时辰该带电体的电位为辰该带电体的电位为 i = i 。那么当各个带电体的电量均以同一。那么当各个带电体的电量均以同一比例比例 增长，外力必需作的功，也就是带电系统的电场储能增量为增长，外力必需作的功，也就是带电系统的电场储能增量为ddd1

55、1niiiniiieQqW当各个带电体的电量同时分别增至最终值当各个带电体的电量同时分别增至最终值 时，该系统的总时，该系统的总电场能为电场能为 nQQQ,211 0 1eeddniiiQWWniiiQW1e21求得求得 当带电体的电荷为延续的体分布、面分布或线分布电荷时，当带电体的电荷为延续的体分布、面分布或线分布电荷时，由由 ，求得这种分布电荷的带电体总能量为，求得这种分布电荷的带电体总能量为 lSVqlsddd dlSVWllSSVd 21d 21d 21e式中式中 为体元为体元 dV、面元、面元 dS、或线元、或线元 dl 所在处的电位，积分所在处的电位，积分区域为电荷分布的空间。区域

56、为电荷分布的空间。 从场的观念来看，静电场的能量分布在电场所占据的整个从场的观念来看，静电场的能量分布在电场所占据的整个空间，应该计算静电场的能量分布密度。静电场的能量密度以空间，应该计算静电场的能量分布密度。静电场的能量密度以小写英文字母小写英文字母we we 表示。表示。 设两个导体携带的电量为设两个导体携带的电量为Q1和和 Q2，其外表积分别为，其外表积分别为 S1和和 S2，如下图。如下图。 SS2Q2Q1S1Venennene 知电荷分布在导体的外表上，知电荷分布在导体的外表上，因此，该系统的总能量为因此，该系统的总能量为 21d 21d 21eSSSSSSW又知又知 ，nneDeD

57、s求得求得21d 21d 21eSSWSDSD 假设在无限远处再作一个无限大的球面假设在无限远处再作一个无限大的球面 S S，由于电荷分布，由于电荷分布在有限区域，无限远处的电位及场强均趋于零。因此，积分在有限区域，无限远处的电位及场强均趋于零。因此，积分 0d SDS那么，上面的储能公式可写为那么，上面的储能公式可写为 SDSDSDd 21d 21d 2121eSSSWSD d 21S式中式中 。该闭合面。该闭合面 S S 包围了静电场所占据的整个空间。那包围了静电场所占据的整个空间。那么，利用高斯定理，上式可写么，利用高斯定理，上式可写SSSS21VWVd ) (21eDVVd ) (21

58、DD思索到区域思索到区域 V 中没有自在电荷，所以中没有自在电荷，所以 ，又，又 ，代入上，代入上式，求得式，求得0 DEVWVd 21eED由此可见，静电场的能量密度由此可见，静电场的能量密度 ED21ew对于各向同性的线性介质，对于各向同性的线性介质， ，代入后得，代入后得 ED 2e 21Ew 此式阐明，静电场能量与电场强度平方成正比。因此，能量此式阐明，静电场能量与电场强度平方成正比。因此，能量不符合叠加原理。虽然几个带电体在空间产生的电场强度等于各不符合叠加原理。虽然几个带电体在空间产生的电场强度等于各个带电体分别产生的电场强度的矢量和，但是，其总能量并不等个带电体分别产生的电场强度

59、的矢量和，但是，其总能量并不等于各个带电体单独存在时具有的各个能量之和。现实上，这是由于各个带电体单独存在时具有的各个能量之和。现实上，这是由于当第二个带电体引入系统中时，外力必需对抗第一个带电体对于当第二个带电体引入系统中时，外力必需对抗第一个带电体对第二个带电体产生的电场力而作功，此功也转变为电场能量，这第二个带电体产生的电场力而作功，此功也转变为电场能量，这份能量通常称为互有能，而带电体单独存在时具有的能量称为固份能量通常称为互有能，而带电体单独存在时具有的能量称为固有能。有能。例例 计算半径为计算半径为 a ，电量为，电量为 Q 的导体球具有的能量。导体周围介质的导体球具有的能量。导体

60、周围介质的介电常数为的介电常数为 。 解解 可以经过三种途径获得一样结果。可以经过三种途径获得一样结果。1 1知半径为知半径为a a，电量为，电量为 Q Q 的导体球的电位为的导体球的电位为aQ 4aQQW 8212e那么求得那么求得2 2知导体外表是一个等位面，那么积分求得知导体外表是一个等位面，那么积分求得 SaQWSSd 421eaQ 82 3 3知电量为知电量为 Q Q 的导体球外的电场强度的导体球外的电场强度为为 ，能量密度为，能量密度为 ，那么沿球外整个空间积分求得那么沿球外整个空间积分求得 2 4rQE422e 32rQwaQrrwWa 8d sindd2 2e 0 2 0 e1