本科论文-数学

1、甘 肃 省 高 等 教 育 自 学 考 试毕 业 论 文 论文题目：数学分析中极限的多种求法作者姓名：温 岚专 业： 数学教育 主考学校：西北民族大学准考证号： 470110109006 指导教师姓名职称： 2012/4/20数学分析中求极限的多种方法内容提要:本文主要归纳了数学分析中求极限的十八种方法,1:定义法2：利用数列的几何、算术平均值求极限3：利用极限的四则运算性质求极限 4: 利用两个重要极限公式求极限,5：利用两个准则求极限, 6：利用单侧极限求极限，7：利用函数的连续性求极限, 8：利于无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限。, 9：利用等价无穷小量代换求极限, 1

2、0：利用导数的定义求极限, 11：利用中值定理求极限, 12：利用洛必达法则求极限, 13：利用定积分求和式的极限,14：利用级数收敛的必要条件求极限, 15：利用泰勒展开式求极限, 16：利用换元法求极限。17.先用数学归纳法,再求极限. 18.利用黎曼引理关键词: 极限，方法，类型，加逼准则, 单调有界准则, 无穷小量的性质, 洛必达法则, 中值定理, 定积分, 泰勒展开式, 级数收敛的必要条件，数学归纳法，黎曼引理.极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数yf(x)在处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义

3、。总之，连续，导数，微积分都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。由于极限定义的高度抽象使我们很难用极限定义本身去求极限，又由于极限运算分布于整个数学分析的始终，许多重要的概念是由极限定义的。极限知识是研究导数、各种积分、级数等的基本工具。反过来，我们也可以利用这些概念来求一些极限，所以运算方法繁多。1.定义法利用数列极限的定义求出数列的极限.设Xn是一个数列,a是实数,如果对任意给定的0,总存在一个正整数N，当nN时,都有<,我们就称a是数列Xn的极限.记为.例1: 按定义证明.解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)11/n 令1/n<,

4、则让n>即可, 存在N=,当n>N时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)11/n<成立,所以.2.利用数列的几何、算术平均值求极限。 数列有极限，则它的几何平均值和算术平均值的极限与与原极限相同。例2：求的值 解：= 设=，因为知=1 所以，所求原式的极限就等于的极限 即原式=3.利用极限的四则运算性质求极限极限的四则运算性质：1：两收敛数列的和或积或差也收敛且和或积或差的极限等于极限和的或积或差。 2：两收敛数列且作除数的数列的极限不为零，则商的极限等于极限的商。通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算。首先对函数施行各种恒等变形。例如分之

5、，分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项。对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则.例3: 求,其中.解: 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限,原式=例4.(1) (2)解：(1) (2)4利用两个重要极限公式求极限 两个极限公式 (1) (2) 在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。 例5：求下列函数的极限4 (1) (2) 解：(1) 1(2) 15.利用两个准则求极限。 (1)夹逼准则：若一正整数 N,当n>N时，有且则有 .

6、 利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和 ，使得。例6： 求的极限解：因为单调递减，所以存在最大项和最小项 则 又因为（2）：单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。 利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。 例：1 证明下列数列的极限存在，并求极限。 证明：从这个数列构造来看 显然是单调增加的。用归纳法可证。 又因为 所以得. 因为前面证明是单调增加的。 两端除以 得 因为则, 从而 即 是有界的。根据定理有极限，而且极限唯一。 令 则 则. 因为 解方程得 所以 6.利用单侧极限求极限

7、 这种方法使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左、右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。例7：求 f(x)在x=0的左右极限 解：1 1 7.利用函数的连续性求极限这种方法适用于求复合函数的极限。如果 u=g(x) 在点连续 g()=,而y=f(u)在点连续，那么复合函数y=f(g(x)在点连续。即也就是说，极限号可以与符号f互换顺序。 例8：求 解：令 ylnu, u 因为 lnu 在点 处连续 所以 18.利于无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限。 利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量，无穷小量与无穷大量互为倒数

8、的关系，以及有限个无穷小的和仍是无穷小等等。例9：求的值 解：因为是无穷小量，而是有界变量，所以 还是无穷小量，即 =09.利用等价无穷小量代换求极限： 等价无穷小量：当时，称y,z是等价无穷小量：记为 yz 在求极限过程中，往往可以把其中的无穷小量，或它的主要部分来代替。但是，不是乘除的情况，不一定能这样做。 例10：求 解：810.利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x)在附近有定义，则 如果存在，则此极限值就称函数 f(x)在点 的导数记为 .即在这种方法的运用过程中。首先要选好f(x)。然后把所求极限。表示成f(x)在定点的导数。 例11：求 解：取f(x)= .则 11.利用中

9、值定理求极限： 1：微分中值定理：若函数 f(x) 满足 () 在 连续 .()在(a,b)可导；则在(a,b)内至少存在一点，使 例12：求 解： 2：积分中值定理：设函数f(x) 在闭区间 上连续;g(x) 在上不变号且可积，则在上至少有一点使得 例13：求 解： 12.洛必达法则求极限： 洛必达法则只能对或型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当 等于 A 时，那么也存在且等于A. 如果不存在时，并不能断定也不存在，只是这是不能用洛必达法则，而须用其他方法讨论 。 例14：(1) 求 (2)求 解：(1) 由 所以上述极限是待定型1(2

10、) 它为型 由对数恒等式可得 = 13.利用定积分求和式的极限 利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数f(x)。把所求极限的和式表示成f(x)在某区间 上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限。 例15：求 解：由于 可取函数 f(x)区间为上述和式恰好是 在 上n等分的积分和。 所以 14.利用级数收敛的必要条件求极限 利用级数收敛的必要条件：若级数收敛，则运用这个方法首先判定级数收敛，然后求出它的通项的极限 例16： 求 解：设 则 = =0<1由比值判别法知收敛 由必要条件知015.利用泰勒展开式求极限 泰勒展开式：若 f(x)在x=0点有直到n+1 阶连续导数,那么 (其中在0与1之间) 例17： 解：泰勒展开式 于是- 所以16.换元法求极限： 当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求。 例18： 求 解：令 则 117.先用数学归纳法,再求极限. 例19:求极限 解: S= 设= 则有S< S2=S*S<S*= 而,再由夹逼性定理,得 =018.利用黎曼引理例20：求（a>0） 解：原式=注释：本文对极限的求法作了一下小结,归纳了18种求极限的基本方法.对一般的极限用上面的方法可以求出来,复杂一点的可能要综合几种方法才能求出.关键是“运用之妙,存孚一心”.参考文献：1 陈传璋，金福临编，数