概率论习题课5

1、课件制作：应用数学系概率统计课程组概率统计课程组概率论与数理统计概率论与数理统计第第五五章章1. 切贝雪夫不等式切贝雪夫不等式2. 中心极限定理的应用中心极限定理的应用 例例1 1某大卖场某种商品价格波动为随机某大卖场某种商品价格波动为随机变量变量.设第设第 i 天天(较前一天较前一天)的价格变化为的价格变化为iX()0,()0.04.iiE XD X12, ,nX XX独立同分布独立同分布, ,1,2,in01nniiYYX为为(元元/斤斤) 为现在的为现在的020Y 价格价格.用切贝雪夫不等式估计用切贝雪夫不等式估计30(1822)PY再用中心极限定理估计再用中心极限定理估计30(1822

2、)PY第第 n 天的价格，天的价格，解解303001()()()20iiE YE YE X303001()()()1.2iiD YD YD X303030(1822)()2)PYP YE Y301()/40.7D Y 30(1822)PY30 1.826 (20)/ 1.2 1.826)PY2 (1.826) 1 0.932. ( (应用题应用题2)2)银行为支付某日即将到期的债券须准备银行为支付某日即将到期的债券须准备一笔现金一笔现金, , 已已知这批债券共发放了知这批债券共发放了500张每张须付本息张每张须付本息1000元元, , 设持设持券人券人( (一人一券一人一券) )到期日到到期日

3、到银行领取本息的概率为银行领取本息的概率为 0.4, , 问银行于该日应准备多少现金才能以问银行于该日应准备多少现金才能以 99.9% 的把握满的把握满足客户的兑换足客户的兑换. . 解解设设1 第第 i 个持券人到期日来兑换个持券人到期日来兑换0 第第 i 个持券人到期日未兑换个持券人到期日未兑换iX则到期日来银行兑换的总人数为则到期日来银行兑换的总人数为5001iiXX设银行需准备设银行需准备1000 m 元元 , 兑换总额为兑换总额为 ,X1000, ) 4 . 0,500(BX200)(XE.120)(XD由由中心极限定理中心极限定理999. 0120/ )200()(mmXP.96.

4、233m所以银行需准备所以银行需准备23.4万元万元. 例例2 2 一本书有一本书有1000000个印刷符号个印刷符号, 排版排版 时每个符号被排错的概率为千分之一时每个符号被排错的概率为千分之一.校校对时对时,每个排版错误被改正的概率为每个排版错误被改正的概率为0.99，求在校对后错误不多于求在校对后错误不多于15个的概率个的概率.解解设设iX1 第第 i 个印刷符号被排错个印刷符号被排错0 第第 i 个印刷符号未排错个印刷符号未排错则总的被排错的印刷符号个数则总的被排错的印刷符号个数6101iiXX)001. 0,10(6BX且且1000)(XE.999)(XD设校对后错误个数为设校对后错

5、误个数为 Y , XYE01. 0)(.0099.0)(XYD10)(01. 0)01. 0()()(XEXEYEEYE.9990099.0)(0099.0)(22XDYD则近似有则近似有)9990099. 0,10(2NY由由中心极限定理中心极限定理于是于是. 1)98.15(9990099. 01015)15(YP)01. 0,(XBY则则解解令令1 第第 i 个符号被排错校对后仍错个符号被排错校对后仍错0 其其 他他iX由于排版与校对是两个独立的工作由于排版与校对是两个独立的工作, 因而因而,10)99. 01 (001. 0) 1(5iXP5101) 0(iXP510)(iXE. )1

6、01 (10)(55iXD)101 (10,10(5BY设校对后错误个数为设校对后错误个数为 , 则则6101iiXY由由中心极限定理中心极限定理)101 (10100)101 (101015)150(55YP1010/5.9422.0116.358.1例例3 3 一保险公司有一保险公司有10000人投保，每人每年人投保，每人每年付付12元保险费，已知一年内投保人死亡率元保险费，已知一年内投保人死亡率为为0.006.若死亡公司给死者家属若死亡公司给死者家属1000元元.求求 (1) 保险公司年利润为保险公司年利润为 0 的概率；的概率；(2) 保险公司年利润大于保险公司年利润大于60000元元

7、 的概率；的概率；解解X设设 为投保的为投保的10000人中一年内死亡的人中一年内死亡的人数人数. .则则)006.0,10000( BX,60)(XE.64.59)(XD利用泊松定理，取利用泊松定理，取60 np (1) 设保险公司年利润为设保险公司年利润为 , 则则Y010001210000XY120 X)120()0(XPYP)120()0(XPYP0!1206060120e9988012012010000994. 0006. 0C (2) 由中心极限定理由中心极限定理 )60000(YP64.5960) 0 ()600(XP4738. 01)94. 1 ()0()60000100012

8、10000(XP应用题应用题3 电视台作节目电视台作节目A 收视率的调查收视率的调查. 在每天在看电视播出时在每天在看电视播出时, 随机地向当地居随机地向当地居民打电话询问是否在看电视民打电话询问是否在看电视. 若在看电视，若在看电视，再问是否在看节目再问是否在看节目A. 设回答在看电视的设回答在看电视的居民户数为居民户数为n. 问为保证以问为保证以 95%的概率使的概率使调查误差在调查误差在10 %之内之内, n 应取多大？应取多大？每晚节目每晚节目A 播出一小时，调查需同时播出一小时，调查需同时进行，设每小时每人能调查进行，设每小时每人能调查20户，居民每户，居民每晚看电视的概率为晚看电视

9、的概率为70%，电视台需安排多，电视台需安排多少人作调查少人作调查.解解nX设设 为回答看电视的居民中为回答看电视的居民中在收看在收看要估计的收视率要估计的收视率, 要求要求 n , 使使) 1 . 0/( pnXPn)10/(/ )(pqnnpqnpXPn节目节目A 的人数的人数, 则则 , 其中其中p 为为),(pnBXn96. 1)10/(pqnpq现在的问题是如何确定现在的问题是如何确定 .pqn26 .19.95. 0)10/(pqn设设 pqpppf)1 ()(令令 021)(ppf当当 时时, 达到最大值达到最大值. 2/ 1p4/ 1)(pfnpq04.96) 4/ 1 (6

10、.196 .1922所以取所以取 就能满足要求就能满足要求. 97n1397 . 097720140电视台需安排电视台需安排 7 人作调查人作调查. 取取140.例例4 4 假设假设 是来自总体是来自总体 X 的的),(21nXXXkkaXE)(简单随机样本简单随机样本, ,已知已知)4, 3 , 2, 1( k证明当证明当 n 充分大时充分大时 随机变量随机变量niinXnZ121近似服从正态分布近似服从正态分布, , 并指出其分布参数并指出其分布参数证证依题意依题意 独立同分布独立同分布, , 则则nXXX,2122221,nXXX也独立同分布也独立同分布. .,)(22aXEi,)()(