平面向量的应用教学案(5)

1、平面向量的应用一、教学目标1.能用向量方法解决某些简单的平面几何中的距离(线段长度 )、夹角等问题2.能用向量方法解决物理中的有关力、速度等方面的问题二、教学重点1.能用向量方法解决某些简单的平面几何中的距离(线段长度 )、夹角等问题2.能用向量方法解决物理中的有关力、速度等方面的问题三、教学难点能用向量方法解决物理中的有关力、速度等方面的问题四、教学过程知识提炼1 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲 ”第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系；第三步，把运算结果“翻译”成几何关系2 向量在物

2、理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等(2)向量的加减法运算体现在力，速度，加速度，位移的合成与分解(3)动量 mv 是向量的数乘运算(4)功是力 F 与所产生的位移 s 的数量积 .思考尝试1思考判断 (正确的打“”，错误的打“×” )(1)求力 F 1 和 F 2 的合力可按照向量加法的平行四边形法则 ()若为直角三角形，则有 (2)ABC· BC 0.()AB)(3)若向量 ABCD，则 ABCD.(解析： (1)正确物理中的力既有大小又有方向，所以力可以看作向量，F1，F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则求解(2)错误因为 ABC 为直角

3、三角形， B 并不一定是直角，有可能是A 或 C为直角(3)错误向量 ABCD时，直线 ABCD 或 AB，CD 重合答案： (1)(2)×(3)×在四边形中，若ABCDABCD0，AC·BD0，则四边形为 ()2A平行四边形B矩形C等腰梯形D菱形解析：由题意可知， ABCD， |AB ，且BD，所以四边形 ABCD 为菱|CD|AC形答案： D在中，若 ，则为ABC CB· CBABC()3(CA) (CA)0A正三角形B直角三角形C等腰三角形D形状无法确定解析： 因为 (CA CB·CB ，) (CA)02 22 2所以 CA CB 0，C

4、A CB，所以 CACB， ABC 为等腰三角形4. 一物体受到相互垂直的两个力F1，F2的作用，两力大小都为5 3 N，则两个力的合力的大小为 _解析：设合力为 F，则 F1F2，且 FF1F2，|F|（F1F2） 222（52256.答案： 5 6F12F1·F2F23） 2×0（ 53）5已知力 F (2，3)作用在一物体上，使物体从A(2，0)移动到 B(2，3)，则 F对物体所做的功为 _焦耳解析：由已知位移 AB (4，3)，所以力 F 做的功为 WF ·AB 2×( 4)3×31.答案： 1类型 1平面几何中的垂直问题例 1、如右

5、图所示，四边形ADCB 是正方形，P 是对角线 DB 上的一点，四边形 PFCE 是矩形试用向量证明：PA EF .证明：以点 D 为坐标原点， DC 所在直线为 x 轴，DA 所在直线为 y 轴建立如右图所示的坐标系，设正方形的边长为1， |DP|(R) ，则 A(0，1)，P2，2，E，2，F2，0 .221222， 2 ， 2.于是 PA 2， EF 212212 222 2 22 2 ，·EF1PA1 1022122222所以 PAEF ，即 PA EF .归纳对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为 0.而对于这一条件的应用，可以用向量关系式的形式

6、，也可以用坐标的形式变式训练 求证：菱形的两条对角线互相垂直2 2.证明： 如图所示，在菱形 ABCD 中， ABAD，所以 AB AD 2 2222 2 (OBOA) (ODOA)，化简得：OB OA2OA·OB OD OA2OA·OD，又OB OD，上式可化为： OA·OBOA·ODOA·(OBOD·DB)OA0.所以 .所以 . 所以菱形的对角线互相垂直OA DBAC BD类型 2平面几何中的长度问题例 2、 已知在 Rt ABC 中， C 90°，设 ACm，BC n.1(1)若 D 为斜边 AB 的中点，求证： C

7、D2AB；(2)若 E 为 CD 的中点，连接 AE 并延长交 BC 于 F .求 AF 的长度 (用 m， n 表示 )(1)证明：以 C 为坐标原点，以边CB，CA 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面nm直角坐标系，如图所示，则 A(0，m)，B(n，0)，因为 D 为 AB 的中点，所以 D 2，2 ，所以 |CD 1n2m2，|AB |2|2211mn ，所以 |CD ，即CD2AB.|2|AB|nm(2)解：因为 E 为 CD 的中点，所以 E4，4 ，n3设 F(x，0)，则 AE4， m， AF (x， m)因为 A， E，F 三点共线，4n， 3所以 AF AE即 ，m)m

8、.(x44nx4，4nn则 m3，故 3，即 x3，所以 F3，0 .4m129m2，即 AF 的长度为12 9m2所以 |AF n|3n3归纳用向量法求长度的方法1 利用图形特点选择基底，向量的数量积转化，用公式|a|2a2 求解建立坐标系， 确定相应向量的坐标， 代入公式： 若 ， ，则2y22a(x y)|a|x.如图所示，已知在 ?ABCD 中， AB 3，AD1， DAB变式训练、3，求对角线 AC 和 BD 的长解：设 AB a，AD b，a 与 b 的夹角为 ，则 |a|3，|b| 1，33.所以 ·a b|a|b|cos2.222又因为 AC a b，DBa b，所以

9、 |AC 2（）a2a·b b|ACa b 2（ ） 2 a2 2a·b b2 7.13， |DB |DBa b所以 AC 的长为13，DB 的长为7.类型 3向量在物理中的应用例 3、在重 300 N 的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两则，与铅垂线的夹角分别为 30°， 60° (如右图所示 )，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小 解：如右图所示，两根绳子的拉力之和 OAOBOC，且 |OC| |OG|300(N)， AOC30°， BOC60° .在 OAC 中， ACO BOC 60°， AOC30°，

10、则 OAC 90°，从而 |OA| |OC|·cos 30° 150°，3(N)， |AC ·|OC|sin 30150(N)|OB|AC|150(N)故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是 150 N.归纳利用向量处理物理问题的方法1 利用向量处理力学问题的方法解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象2利用向量处理速度、位移问题的方法解决此类问题的关键是利用平面向量的相关知识对速度、位移进

11、行合成或分解变式训练、用力 F 推动一物体 G，使其沿水平方向运动s，F 与 G 的垂直方向的夹角为 ，则 F 对物体 G 所做的功为 ()A F·scosBF ·ssin C |F|s|cosD|F |s|sin 解析： 如下图所示，由做功公式可得：W |F| ·|s|sin .答案： D五、课题练习：见变式训练六、课题小结1 向量方法在平面几何中应用的五个主要方面 22.(1)要证明两线段相等，如 ABCD，则可转化为证明： AB CD要证明两线段平行，如，则只要证明：存在实数 ，使(2)CDABCD成AB0立，且 AB 与 CD 无公共点要证明两线段垂直，如

12、，则只要证明数量积(3)CDAB·CD0.AB要证明， ，三点共线，只要证明存在一实数 ，使(4)ACABACB0.(5)要求一个角，如 ABC，只要求向量 BA与向量 BC的夹角即可2 向量在物理中应用时要注意三个问题(1)把物理问题转化为数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型(2)利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象(3)在解决具体问题时，要明确和掌握用向量方法研究物理问题的相关知识七、教学反思平面向量的应用一、学习目标1.能用向量方法解决某些简单的平面几何中的距离(线段长度 )、夹角等问题2.能用向量方法解决物理中的有关力、速度等方面的问题二、学习过程知识提

13、炼1 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲 ”第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系；第三步，把运算结果“翻译”成几何关系2 向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等(2)向量的加减法运算体现在力，速度，加速度，位移的合成与分解(3)动量 mv 是向量的数乘运算(4)功是力 F 与所产生的位移 s 的数量积 .思考尝试1思考判断 (正确的打“”，错误的打“×” )(1)求力 F 1 和 F 2 的合力可按照向量加法的平行四边形法则()若为直角三角形，则有

14、 ()(2)ABC· BC 0.AB()(3)若向量 ABCD，则 ABCD.在四边形中，若ABCDABCD0，AC·BD0，则四边形为 ()2A平行四边形B矩形C等腰梯形D菱形在中，若 ，则为ABC CB· CBABC()3(CA) (CA)0A正三角形B直角三角形C等腰三角形D形状无法确定4. 一物体受到相互垂直的两个力 F 1，F 2的作用，两力大小都为5 3 N，则两个力的合力的大小为 _5已知力 F (2，3)作用在一物体上，使物体从A(2，0)移动到 B(2， 3)，则 F 对物体所做的功为 _焦耳类型 1平面几何中的垂直问题例 1、如右图所示，四边形

15、ADCB 是正方形，P 是对角线 DB 上的一点，四边形PFCE 是矩形试用向量证明：PA EF .归纳对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为 0.而对于这一条件的应用，可以用向量关系式的形式，也可以用坐标的形式变式训练 求证：菱形的两条对角线互相垂直类型 2平面几何中的长度问题例 2、已知在 Rt ABC 中， C 90°，设 ACm， BC n.1(1)若 D 为斜边 AB 的中点，求证： CD2AB；(2)若 E 为 CD 的中点，连接 AE 并延长交 BC 于 F .求 AF 的长度 (用 m， n 表示 )归纳用向量法求长度的方法1 利用图形特点

16、选择基底，向量的数量积转化，用公式|a|2a2 求解建立坐标系， 确定相应向量的坐标， 代入公式： 若， ，则2y22a(x y)|a|x.变式训练、如图所示，已知在 ?ABCD 中，AB3，AD1， DAB3，求对角线 AC 和 BD 的长类型 3向量在物理中的应用例 3、在重 300 N 的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两则，与铅垂线的夹角分别为 30°， 60° (如右图所示 )，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小归纳利用向量处理物理问题的方法1 利用向量处理力学问题的方法解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象2利用向量处理速度、位移问题的方法解决此类问题的关键是利用平面向量的相关知识对速度、位移进行合成或分解变式训练、用力 F 推动一物体 G，使其沿水平方向运动s，F 与 G 的垂直方向的夹角为 ，则 F 对物体 G 所做的功为 ()A F·scosBF ·ssin C |F|s|cosD|F |s|sin 五、课题练习：见变式训练六、课题小结1 向量方法在平面几何中应用的五个主要方面(1)要证明两线段相等，如AB CD，则可转化为证明： AB2CD2.要证明两线段平行，如，则只