数二考研几何与物理应用大全

1、数二几何与物理应用大全（1 ）曲率：K| y" |y'2 ) 3 / 2(1（2 ）曲率半径：1,K（1）面积直角坐标的情况： 由曲线 yf ( x)( f ( x)0) 及直线 xa, xb(ab) 与 x 轴所Ab围成的曲边梯形的面积f ( x) dxa极坐标的情况：，所围成的曲边扇形的面积（2 ）弧长直角坐标情形 设函数 f ( x) 在区间 a,b 上具有一阶连续的导数，计算曲线 yf (x) 的长b2度 S.S1f (x) dx .a参数方程的情形若曲线由参数方程x(t )(t)y(t )S22dt(t )( t )（3 ）旋转体的体积计算由曲线 yf ( x) 直

2、线 xa ，xb 及 x 轴所围成的曲边梯形，绕 x 轴旋转一周而生成的立体的体积.所求的旋转体的体积为Vb2f ( x) dxa（4 ）bf (x)1f '2 (x)dx旋转体的侧面积公式S 2a（5 ）平行截面面积已知的立体的体积以 A( x) 表示过点 x 且垂直于 x 轴的 截面面积 . 则 xa ， xb 且垂直于 x 轴的两个平b面之内的立体的体积为VA( x)d xa（6 ）功 dWF (x)dx（7 ）引力质量为 m、 m ，相距为 r 的两质点间的引力大小为F k m1m212r 2k 为引力系数。 引力的方向沿着两质点的连线方向。（8）压力水深 d 处的压强为 pg

3、d ，是水密度， g 是重力加速度，如果有一面积为A 的平板置于水深d 处，那么平板一侧所受的的水压力为FpA 。以水深为变量 x ，建立 dF 与 dx 的关系式，积分即可（9 ）质心即质量的中心， 是物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。有质量的物体就有质心。（10 ） 形心物体的几何中心，有体积的物体就有形心（ 11 ） （重心） 即重力作用中心，是假定该物体的重力集中于改点。有地球引力的情况下才有重心可言。三心之间的联系：重力分布均匀时，即当物体的尺寸比地球半径小得多时，质心和重心重合。物体的密度分布均匀时，质心和形心重合。重力分布和密度分布均匀时，三者重合。若物体为占有xoy 面

4、上区域D 的平面薄片 ,其面密度 为( x, y) ,则它的 质心坐标 为xDDx ( x, y)dxd yM yy ( x, y)d xdyyD( x, y)d xd yM( x, y) d xd yD常数时 , 得 D 的形心坐标 :x d xd yyd xd yxDD(A为 D的面积),yAA平均值1.函数 f (x) 在区间 a, b 上的 平均值 公式： y1 bbf ( x)dxa ab( x)dxf (x)2.函数 f (x) 关于权函数( x) 在区间 a,b 上的 加权平均值 公式： fab( x) dxa3.函数 f (x) 在区间 a, b 上的均方根：1bf 2 ( x

5、)dxb a a例设有一半径为 R， 中心角为的圆弧形细棒， 其线密度为常数， 在圆心处有一质量为 m的质点 M ， 试求这细棒对质点 M 的引力。解决这类问题， 一般来说， 应选择一个适当的坐标系。解：建立如图所示的坐标系，质点M 位于坐标原点，该圆弧的参方程为xRcos()yRsin22在圆弧细棒上截取一小段，其长度为ds，它的质量为ds，到原点的距离为R，其夹角为，它对质点M 的引力F 的大小约为F k m dsR2F 在水平方向 (即 x 轴 )上的分力Fx 的近似值为 Fx km dscosR2而 ds(dx)2( dy)2Rd于是，我们得到了细棒对质点的引力在水平方向的分力Fx 的元素，dFxkm cos dR2dFx2 km2kmsin故FxRcos dR22