数值分析题库及答案

1、精品文档模拟试卷（一）一、填空题（每小题3 分，共30 分）1有 3 个不同节点的高斯求积公式的代数精度是次的 .15232设 A210， x4，则A=.， x 1 = _.14223已知 y=f ( x) 的均差（差商） f x0 , x1, x2 141591， f x1, x2 , x3 ， f x2 , x3 , x4 ，83315f x0 , x2 , x3 那么均差 f x4 , x2 , x3 =.,34已知 n=4 时 Newton Cotes 求积公式的系数分别是：C0(4)7,C1(4 )16,C2(4)2 , 则904515C3(4) .5解初始值问题yf ( x, y)

2、的改进的 Euler方法是阶方法；y(x0 )y05x13x20.1x336求解线性代数方程组2x16x20.7 x32 的高斯塞德尔迭代公式为，x12x23.5x31若取 x(0)(1,1,1),则 x(1).7求方程 xf ( x) 根的牛顿迭代格式是.8 0 ( x),1 (x),n ( x) 是以整数点 x0 ,x1 , xn , 为节点的 Lagrange 插值基函数，则nxk j ( xk ) =.k 09解方程组 Axb 的简单迭代格式 x( k 1)Bx ( k)g 收敛的充要条件是.10 设 f ( - 1 )1f ,( 0 ) f 0 ,( 1f )1 ,， 则 f (x)

3、 的 三 次 牛 顿 插 值 多 项 式为，其误差估计式为.二、综合题 （每题 10 分，共 60 分）1求一次数不超过4 次的多项式 p( x) 满足： p(1)15 ， p (1)20 ， p (1)30p(2) 57， p (2)72 .1A0 f ( 1 )2构造代数精度最高的形式为xf ( x)dxA1 f (1) 的求积公式，并求出02。 欢迎下载精品文档其代数精度 .3用 Newton 法求方程4用最小二乘法求形如xln x2 在区间 (2,)内的根,xkxk 1108 .要求xkyabx 2 的经验公式拟合以下数据：xi19253038yi19.032.349.073.35用矩

4、阵的直接三角分解法解方程组1020x150101x23x3.1243170103x476 试用数值积分法建立求解初值问题yf ( x, y)y(0)的如下数值求解公式y0yn 1yn 1h ( f n 14 f nfn 1 ) ，3其中 fif ( xi , yi ),in1, n, n1.三、证明题 （ 10 分）设 对 任 意 的 x ， 函 数 f (x) 的 导 数 f ( x) 都 存 在 且 0 mf ( x) M , 对 于 满 足02的任意，迭代格式 xk 1 xkf ( xk ) 均收敛于 f ( x)0 的根 x* .M参考答案一、填空题1 5； 2.8,9;3.91； 4

5、.161545x1(k 1)(3 3x2(k )0.1x3(k ) ) /56. x2(k 1)(22 x1( k 1)0.7x3(k ) ) /6 ,x3(k 1)(1x1( k 1)2x2(k 1) )*2 / 7； 5. 二；(0.02 ， 0.22 ， 0.1543)7.xk 1xkxkf ( xk ) ; 8.x j ; 9.(B) 1;1 f(xk )10.1 x3x21 x,f (4) ( )( x1)x( x1)(x 2) / 24( 1,2)66二、综合题。 欢迎下载精品文档1差商表：11512015157120221512423085727257p(x)1520( x1)

6、15(x1)27( x1)3( x1)3 ( x2)54 x 3x22x3x4其他方法：设 p( x)15 20( x1)15( x1)27( x1)3(x1)3( axb)令 p(2)57， p (2)72，求出 a 和 b.2取 f ( x)1, x，令公式准确成立，得：A0A111A11A01A11,3,.22A036f ( x)x2 时，公式左右1； f (x)x3 时，公式左1,公式右524524 公式的代数精度.3此方程在区间(2,) 内只有一个根s ，而且在区间（2， 4）内。设 f (x)xln x2则 f ' (x)11f ''(x)1， Newton

7、 法迭代公式为，x 2xxk 1xkln xk 2xk (1 ln xk )0,1,2,xk11/ xkxk1， k取 x3 ，得 sx43.146193221 。042T1111T19.032.349.073.3 .span1, x ， A192252302382， y解方程组TATT43330，A ACy，其中 A A33303416082解得： C1.416650.0504305所以a，b.0.92555770.05010255解设1020110200101l 211u22u23u2412 43l 31l 321u33u340103l 41l 42l 43 1u44。 欢迎下载精品文档由

8、矩阵乘法可求出uij和 l ij11l 21101l 31l 321121l 41l 42l 43 1010110201020u22u23u24101u33u3421u4421y15解下三角方程组01y23121y3170101y47有 y5 ， y23 ， y36 ， y44 .11 020x15再解上三角方程组10 1x2321x362x44得原方程组的解为x1，x21，x32 ， x42.1x6 解 初值问题等价于如下形式取 xxn 1 ，有 y(xn 1 )y(xn 1)利用辛卜森求积公式可得yn 1yn三、证明题y( x) y( xn 1 )f (x, y( x)dx ，xn 1xn

9、 1f (x, y( x)dx ，xn 11h ( f n 1 4 fn f n 1 ) .3证明将 f ( x)0 写成 xxf (x)(x) ，由于( x) xf ( x)1f ( x) ，所以 |( x) | |1f ( x) | 1所以迭代格式 xk1xkf (xk ) 均收敛于 f (x)0 的根 x*.。 欢迎下载精品文档模拟试卷（二）一、填空题（每小题3 分，共 30 分）1分别用 2.718281 和 2.718282作数 e 的近似值，则其有效位数分别有位和位 ；10212设A110 ， x3，则A1 = _ ， x 2 =.38213对于方程组2 x15x21迭代法的迭代矩

10、阵是GJ =_.10x14x2, Jacobi34设x x3x1，则差商f 0, 1, 2, 3f0, 1, 2, 3,4 =_.f=_，( )12则条件数 Cond( A) _.5已知 A,011f ( x0 )f ( x1 ) 具有最高的代数精确度，则其求积6为使两点的数值求积公式f ( x)dx1基点应为 x0 =_， x1 =_7解初始值问题yf ( x, y)yk 1y(x0 ) y0近似解的梯形公式是8求方程f (x)0 根的弦截法迭代公式是9. 计算积分1xdx ，取 4 位有效数字，用梯形公式计算求得的近似值是， 用辛0.5卜生公式计算的结果是10任一非奇异矩阵 A 的条件数

11、Cond ( A) ，其 Cond ( A) 一定大于等于二、综合题 （每题 10 分，共 60 分）1证明方程 1xsin x 在区间 0,1 有且只有一个根，若利用二分法求其误差不超过1 10 4 近似解，问要迭代多少次？22 已知常微分方程的初值问题：dyx,1x1.2dxy,y(1)2。 欢迎下载精品文档试用改进的 Euler方法计算 y(1.2) 的近似值，取步长h0.2.335x1103 用矩阵的 LDLT 分解法解方程组359x216 .5917x3304 用最小二乘法求一个形如1的经验公式，使它与下列数据拟合.ybxax1.01.41.82.22.6y0.9310.4730.2

12、970.2240.168x0.4 y0.4z15 设方程组 0.4 x y 0.8z 2 ，试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯赛德尔迭代0.4 x 0.8 yz3法的收敛性。4116 按幂法求矩阵 A1 32 的按模最大特征值的近似值，取初始向量123x(0)(1,0,0) T ，迭代两步求得近似值(2) 即可 .三、证明题 （ 10 分）已知求 a (a0) 的迭代公式为：xk 11 ( xka )x0 0 k 0,1,22xk证明：对一切 k1,2, xka ， 且序列 xk 是单调递减的，从而迭代过程收敛 .参考答案一、填空题16， 7；2.9,11;3 .02.51, 0;5. 9;

13、 6.; 4.2.507.ykh f ( xk , yk )f (xk 1, yk 1 ) ;28.xk 1f ( xk )xk1) ；9.0.4268,0.4309; 10.xk( xkf ( xk )f ( xk 1)1 1, ;33A1A,1。 欢迎下载精品文档二、综合题1 解 令 f ( x)1 x sin x ，则 f 0)(1 0，f (1)sin10 ，且 f (x)1cos0x故 1 x sin x 在区间 0,1内仅有一个根 x* .利用二分法求它的误差不超过110 4 的近似解，则| xk 1x* |111044ln1022k 12解此不等式可得13.2877kln 2所以

14、迭代14 次即可 .2、解：k1f (x0, y0 )0.5,k2f ( x1 , y0hk1 ) 0.571429,y1y0h ( k1k2 )20.1 (0.50.571429) 2.107142923351d11l21l313解设359l211d2d31l325917l31l3211利用矩阵乘法可求得d13 ， d22 ， d32， l 211， l31523， l 3231y1104解方程组11y216得 y110,y26,y3，5y33032135d11113x1110再解方程组12x2d2d316得 x11, x21, x3 2 .1x3434解 令 Y1，则 Y abx 容易得出

15、正规方程组y59a16.971，解得a2.0535,b3.0265 .917.8b35.3902故所求经验公式为y1.2.05353.0265x5解。 欢迎下载精品文档0.40.4（ 1）由于 f J ()0.40.830.960.2560.40.8f J (1)10.980.2560 ， f J ( 2)8 1.96 0.256 0所以 fJ() 0在(2, 1) 内有根i 且 |i | 1，故利用雅可比迭代法不收敛 .0.40.4（ 2）由于 f G ()0.40.8(20.8320.128)0.40.8所以(G ) 0.832 ，故利用高斯赛德尔迭代法收敛 .6 解因为 x(0)1,0,

16、0 T ，故x(0)1，且 y(1)Ax(0)4,T(1)max( y(1) )4 .1,1，从而得x(1)y(1) /y(1)1,1,1T，y(2)Ax (1) 9 ,9, 9T，944244(2)max( y(2).2三、证明题证明 :由于 xk1( xkaa ,k0,1, 2,12)xk故对一切 k ， xka ，又 xk11 (1a )1 (11) 1xk2xk22所以xk1 xk ，即序列 xk 是单调递减有下界，从而迭代过程收敛.。 欢迎下载精品文档模拟试卷（三）一、 填空题（每小题3 分，共 30 分）1设 a2.40315是真值 x2.40194的近似值，则a 有位有效位数，相

17、对误差限为；2 若用二分法求方程f (x)0 在区间 1,2 内的根，要求精确到第3 位小数，则需要对分次。3有 n 个节点的高斯求积公式的代数精度为次 .4设( x)xa(x25) ，要使迭代格式xk 1( xk ) 局部收敛到x*5 ，则 a 的取值范围是5设线性方程组Ax = b 有唯一解，在不考虑系数矩阵扰动的情况下，若方程组右端项的扰动相对误差bx；b，就一定能保证解的相对误差x6给定线性方程组9x1x28Jacobi 迭 代 公 式，则解此线性方程组的x15x24是， Gauss-Seidel 迭代公式是nbAkf (x)dx 的求积系数之和是7插值型求积公式f ( xk )k0a

18、8数值求解初值问题的龙格-库塔公式的局部截断误差是9. 已知函数 f (0.4)0.411, f (0.5)0.578 , f (0.6) 0.697，用此函数表作牛顿插值多项式，那么插值多项式x2 的系数是21010 设A12a ，为使 A 可分解为 A = LLT ，其中 L 是对角线元素为正的下三角0a2矩阵，则 a 的取值范围是。二、综合题 （每题 10 分，共 60 分）用法求方程x ln x2在区间 (2,)内的根,要求 xk xk 1108.1Newtonxk1011 21 22设有方程组 x b，其中 A221，b1 3，已知它有解 x1 3 ，如0222 30。 欢迎下载精品

19、文档果右端有小扰动 b110 6 ，试估计由此引起的解的相对误差。23试用 Simpson 公式计算积分2e1/ x dx 的近似值 , 并估计截断误差 .14设函数 f ( x) 在区间 0,3上具有四阶连续导数 , 试用埃尔米特插值法求一个次数不高于3的多项式 P3( x) ，使其满足 P (0)0, P (1)1,P (1)3, P (2) 1，并写出误差估计式。33332105A121 ，给出用古典Jacobi方法求 A 的特征值的第一次迭代运算。012y ' y0证明其近似解为6用梯形方法解初值问题，y(0)1时，它收敛于原初值问题的准确解y e x 。三、证明题 （ 10

20、分）nnkxj若 f (x)ai xi 有 n 个不同的实根，证明i 1i 1f ( xj )参考答案2hnh 0ynh，并证明当20,0kn21.,kn1an一、填空题1. 3,0.510-3;2.10;3.2n -1 ;4.15 a0 ;5.cond ( A) ;6.x1(k 1)(8 x2(k) ) / 9k0,1,x1(k 1)(8 x2(k ) ) / 9k0,1,x(k 1)(4x,(4x(k,(k ) ) / 5x(k 1)1)/521217. ba ;8.O(h5 ) ; 9.2.4;10 .3a3二、综合题1此方程在区间( 2,) 内只有一个根 s ，而且在区间（2， 4）内

21、。设f ( x) x ln x 2则 f ' (x)1， f '' ( x)1， Newton 法迭代公式为1xx2xk1xkxkln xk 2 xk (1ln xk ) ， k0,1,2,1 1/ xkxk1取 x0 3 ，得 sx43.146193221 。 欢迎下载精品文档111xb2解A 1211.5， Cond ( A)22.5 ，由公式xCond ( A)，有211bx110 622.521.6875105x2 321/ x211/1.51/ 2(4)112 36241/ x31edx6(e4ee)2.0263, f( 8x7x65 )e，xxmax f (

22、 4) (x)f (4) (1)198.43 ，1x2截断误差为 R2(2 1)50.06890max f ( 4) (x)2880 1x 25 x37 x4由所给条件可用插值法确定多项式P3 (x) ， P3 (x)7 x222( 由题意可设 R( x)f ( x)P3 (x)k( x)x(x1)2 ( x2) 为确定待定函数k( x) ，作辅助函数：2g( t)f ( t)P ( t) k( x)t (t 1) (t2)g(t )在0,3上存在四阶导数且在3,则0,3 上至少有5 个零点 tx, t0,1,2 （ t0 为二重零点），反复应用罗尔定理，知至少有一个零点(0,3)，使 g (

23、 4) ()0，从而得 k( x)1f (4)() 。故误差估计式为14!R( x)f (4) () x( x1)2 ( x2) ，(0,3) 。4!5 首 先 取 i 1, j2， 因 co t 20，故有， 于 是 c o ss i n14，211022V (0)V12 ()110，22001A(1)V (0)A(0)V (0) T110110101222222101111101210032222201200100111222。 欢迎下载精品文档6.梯 形 公 式 为 yn 1ynhf ( xn 1 , yn 1) ， 由 f ( x, y)，y f ( xn , yn )得h2yn 1yn( yn yn 1) ，2所以 yn 1( 2h ) y( 2h)2 yn 1( 2h)n1 y0( 2h)n 1 ，用上述梯形公式以步2hn2h2h2h长 h 经 n 步计算得到yn ，所以有 hnx ，所以limynlim(2h )nlim(2h ) hxe x h 0h02hh02h三、证明题