数列通项公式常用求法及构造法

1、精品文档数列通项公式的常用求法构造法求数列通项公式一、构造等差数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f ( n1)f (n) =A （其中 A 为常数）形式，根据等差数列的定义知 f (n) 是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出f (n) 的通项公式，再根据 f (n) 与 an ，从而求出 an 的通项公式。1， an 13an（ n N），求数列 an 通项公例 1 在数列 an 中， a1 =an 32式 .3 a解析：由 an 1 a n n3 得， an+1 a n=3 a n+1 -3 a n =0 ，两边同除以 an+1

2、 an 得，1131 ，an 1an1，则 b n+1- b n = 31设 b n = an，根据等差数列的定义知，数列 bn 是首项 b 1 =2 ，公差 d= 31 的等差数列，根据等差数列的通项公式得b n =2 31 （n-1 ）= 31 n 35数列通项公式为 an = n 35例 2 在数列 an中， Sn 是其前 n 项和，且 Sn0，a1 =1 ， an =2 S22 S n(n n12)，求 Sn 与 an。解析：当 n 2时， an =S n -S n-12S22S2代入 an= 2 S n得， Sn-S n-1 = 2S n，变形n1n1整理得 Sn-Sn-1= Sn

3、Sn-1 ？ 两边除以 Sn Sn-1 得， S1-S1=2 ， S1 是首相nn 1n为 1 ，公差为 2 的等差数列S1 =1+2 （ n-1 ） =2n-1, Sn = 2n11 (n 2),n=1也适合， Sn = 2n11 (n n1)随意编辑精品文档11=-2，n=1不满足此式，当 n 2 时， an =S n-S n-1 = 2 n1 - 2 n 34n 2 8n 3an =1n12n24 n28 n 3二、构造等比数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为 f （n+1 ） =Af （n ）（其中 A 为非零常数）形式，根据等比

4、数列的定义知 f (n)是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出f (n) 的通项公式，再根据 f (n)与 an ，从而求出 an 的通项公式。例 3在数列 an 中， a1=2 ，an=a n-1 2 (n 2)，求数列 an通项公式。解析： a1=2 ，an =a n-1 2(n 2) 0 ，两边同时取对数得， lg a n =2lg a n-1lglgaann1=2，根据等比数列的定义知，数列lg a n 是首相为 lg2 ，公比为 2的等比数列，根据等比数列的通项公式得lg a n =2 n-1 lg2= lg 22 n 1数列通项公式为 an= 22 n 1评析：本例通过两边取对

5、数，变形成 log an2 log an 1 形式，构造等比数列log an ，先求出 log an 的通项公式，从而求出an 的通项公式。例 4 在数列 an 中， a1 =1 ，an+1 =4a n+3n+1 ，求数列 an 通项公式。解析：设 an+1+A （n+1 ）+B=4 （ an +An+B ），（A 、B为待定系数），展3A3A1开得 an+1 =4a n +3An+3B-A ，与已知比较系数得 B23BA 13an+1 + （n+1）+ 32 =4 （an+n+ 32 ），根据等比数列的定义知，数列an +n+32 是首项为 38 ，公比为 q=3 的等比数列， an +n+

6、32 =38×3n-1随意编辑精品文档数列通项公式为 an= 83×3n-1-n- 32例 5 在数列 an 中， a1 =1 ， an+1an=4 n ，求数列 an 通项公式。解析：an+1 an =4 nan an-1=4 n-1两式相除得 aan 1=4，n 1a1 ，a3， a5 与 a 2 ，a 4 ，a 6 是首相分别为 a1 ，a 2 ，公比都是 4的等比数列，又a1=1 ，an+1 an =4 n ，a2=4n1an = 42nnn42三、等差等比混合构造法数列有形如 f ( an , an1 , an an 1 )0 的关系，可在等式两边同乘以1, 先求

7、出an an 11 , 再求得 an .an例 6 设数列 an 满足 a12, an 1an(n N ), 求 an .an3解 ： 原 条 件 变 形 为 an 1 an3 an 1an . 两 边 同 乘 以1, 得anan 11 3 11 .anan1（ 111111n 13an)an 12,232anan2.23n 11四、辅助数列法有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。随意编辑精品文档例 7. 在数列 an中， a11 ， a22 ， an 22an 11an ，求 an 。33解析：在 an 22

8、1两边减去an 1 ，得 an 2an1an 1an1( an 1 an )333an1an是以 a2a11 为首项，以1 为公比的等比数列，1)n 1 ，由累加法得3an 1an(3an = (anan 1 ) (an 1an 2 )( a2a1 ) a11111 (1) n11)n 2(n 3(33n 1 1= ()11=1=1 ()3331433= 7 3 ( 1) n 14 4 3练习1、在数列 an 中， a1=1 ，an+1 =3a n +2 n（ n N * ），求数列 an 通项公式。解：由 an+1 =3a n +2 n（ n N *）得， an+1 +2 n+1 =3 （a

9、n+2 n ）（ n N * ），设 b n = a n+2 n 则 bn+1 =3b n， bbnn 1 =3 ，根据等比数列的定义知，数列 bn 是首相 b 1 =3 ，公比为 q=3 的等比数列，根据等比数列的通项公式得b n =3 n，即 an+2 n =3 n ，数列通项公式为 an=3 n -2 n注意： 2n+1 -2 n =2 n2、在数列 an 中， a11 ， an 1an2n3，求数列 an 的通项公式。解：、由 an 1an2 n3 得， (an 12n 1 ) (an 2n ) 3 ，根据等差数列的定义知，数列 an2n 是首项为 3 ，公差为 3 的等差数列，所以a

10、n 2n3n，所以 an3n 2n随意编辑精品文档3、已知数列 an满足 a12 ， an 1nan ，求 an3n1解：由条件知 an1n1，分别令 n1,2,3, (n 1)，代入上式得 (n1) 个ann等式累乘之，即a2?a3?a4?an1 2 3n 1an1a1a2a3?2 3 4na1nan 1又 a12 ， an233n4. 数列 a n 满足 a 1 =1 ，a n = 1 a n 1 +1 （ n2 ），求数列 a n 的通项公式。2解：由 a n =1a n 1 +1 （ n 2 ）得 a n 2=1 （a n 1 2 ），而 a 1 2=1 2= 221，数列 a n 2

11、是以 1 为公比， 1 为首项的等比数列2a n 2= （ 1 ） n 1a n=2 （ 1 ） n 1225. 数列 an 中， a11, a22,3an 22an1 an ，求数列 an的通项公式。解：由 3an 22an1an 得 an22 an 11 an , 设 an 2kan1h(an 1 ka n )33比较系数得 kh2 ， kh1 ，解得 k1,h1 或 k1 , h 13333若取 k1, h1 ，则有 an 2an11 (an 1an )31 为公比，以 a23 an 1an 是以a121 1为首项的等比数列1 n3an 1an (1)3由逐差法可得 an(anan1 )

12、(an 1an 2 )(a2a1 )a1= ( 1) n 2( 1) n 3( 1)2(1)1131)n 13331 (31731=31=(n 1()n 111)143143436. 设各项均为正数的数列 an 的前 n 项和为 Sn ，对于任意正整数 n ，都有等式：2an2an4Sn 成立，求an 的通项 an.随意编辑精品文档解： an22an4Snan 122an 14Sn 1 ，a2a22an2an 14( SS)4an nn 1nn 1(anan 1 )(anan12)0 ，anan 10 ，anan 1 2 . 即 an 是以 2 为公差的等差数列，且 a122a14a1a12

13、.an22(n1)2n7. 设 an是首项为 1 的正项数列，且 an2an21nan nan10 ，（n N* ），求数列的通项公式 an.解：由题设得 (anan 1 )(anan 1 n)0 .an0 ， an 10，anan 10.anan1nana1(a2a1 ) (a3a2 )(anan 1 ) 1 2 3nn( n 1)21 ，前 n 项的和 Sn8. 数列 an中， a1n2 an ，求 an 1 .2解： anSnSn 1n 2 an(n 1)2 an 1(n2 1)an(n 1)2 an 1ann1，an 1n1ananan 1a2a1n 1 n 2 1 11an 1an

14、2a1n 1 n3 2 n(n 1)11an(n1)( n2)9.设正项数列 an满足 a11， an2an21 （n 2）.求数列 an 的通项公式 .解：两边取对数得： log 2an12log 2an 1， log 2a n12(log 2an11) ，设 bn log 2a n1 ，则 bn 2bn 1bn 是以 2 为公比的等比数列， b1log 121 1.bn1 2n 12n 1 ， log 2an 12n 1 ， log 2an2n 11 ，an22n 11总结而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。递推式一般为： an 1panf n ； an 1panqn

15、（ 1）通过分解常数 ，可转化为特殊数列 a n +k 的形式求解。一般地，形如 a n 1 =p随意编辑精品文档a n +q （p 1， pq 0 ）型的递推式均可通过待定系数法对常数q 分解法：设a n 1 +k=p （a n +k ）与原式比较系数可得 pk k= q ，即 k=q，从而得等比p1数列 a n +k 。（ 2）通过分解系数 ，可转化为特殊数列 anan 1 的形式求解。 这种方法适用于an 2pa n 1qa n 型的递推式，通过对系数p 的分解，可得等比数列 an an 1 ：设 an 2ka n 1h(an 1 kan ) ，比较系数得 h k p, hk q ，可解

16、得 h, k 。3、构造法构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，联想出一种适当的辅助模型，进行命题转换， 产生新的解题方法， 这种思维方法的特点就是“构造” .若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式 .（ 1）构造等差数列或等比数列由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题， 若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.（ 2）构造差式与和式解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差， 然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式 .（ 3）构造商式与积式构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简（ 4

17、）构造对数式或倒数式有些数列若通过取对数， 取倒数代数变形方法， 可由复杂变为简单， 使问题得以解决 .随意编辑精品文档补充一般方法：一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法， 这种方法适应于已知数列类型的题目例 1 等差数列 an 是递增数列， 前 n 项和为 Sn ，且 a1,a3 , a9 成等比数列，S5a52 an 的通项公式求数列解：设数列 an 公差为 d(d0)a1, a3 , a9成等比数列，a32a1a9，即 (a1 2d)2a1 (a1 8d) ，得 d2a1 dd0 ，a1 d S5a525a15 4 d (a14d)22a1335 ，d由得：5a

18、n333(n1)n555二、累加法求形如an -a n-1 =f(n) （f(n) 为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令n=2 ，3 ，n 1 得到 n 1 个式子累加求得通项。an1an 1例 2 已知数列 an 中，a1 =1 ，对任意自然数 n 都有n(n 1) ，求 an an1an 11) ，解：由已知得n( nan 11an 21)n ，(n，a3a2134 ，a2a1123 ，随意编辑精品文档以上式子累加，利用111n(n1)nn1 得1.11111an - a1 = 2n(n 1)= 23(n2)(n1)(n1)nn1 ，an312n1三、累乘法an

19、1f (n)对形如 ann=2 ，3，n 1 得到的数列的通项，可用累乘法，即令n 1 个式子累乘求得通项。a11例 3 已知数列 an3 ，前 n 项和 Sn 与 an 的关系是 Snn(2n 1)an，求中，通项公式 a n 解：由 Snn(2n1)an 得 Sn 1(n1)(2n 3)an 1两式相减得： (2 n1)an(2 n3)an 1, ，an2n3an 1 2n1 ，an 12n 5 ,L L , a21an 22n 1a15将上面 n 1 个等式相乘得：an(2n3)(2 n 5)(2 n7) L3 13a1(2n1)(2n1)(2 n3)L7 5(2 n1)(2 n1)an

20、1.(2 n 1(2n1)四、公式法若已知数列的前n 项和 Sn 与 an 的关系，求数列an 的通项 an 可用公式anSnn1SnSn 1n2 求解。例 4 已知数列an的前 n 项和SnS2an( 1)n , n 1求数列an的满足 n通项公式；解：由 a1S12a11, 得a11.当 n2时，有 anSnSn 12(anan 1 )2(1) n ,随意编辑精品文档an2an 12 ( 1)n 1 ,an 12an 22 ( 1) n 2 ,，a22a12.an 2n 1a1 2n 1 ( 1) 2n 2 ( 1)2 L 2 ( 1)n 12n 1 (1)n ( 2)n 1( 2)n 2(2)n 1(1)n 21 (2)n 12322n 2(1)n 1 .32 2 n 2经验证 a11an( 1)n 1 也满足上式，所以3anSnn1SnSn 1n2点评：利用公式求解时，要注意对 n 分类讨论，但若能