数学建模——最优捕鱼模型

1、最优捕鱼模型一.问题的重述捕鱼业在当今社会中十分重要的行业， 捕鱼量的大小决定着捕鱼的经济效益，其中捕鱼量与捕鱼时间有着密切关联 . 所以如何利用数学模型了解捕鱼量与捕鱼时间之间的关系，是一个具有现实意义的问题 .现假设在一个鱼塘中投放若干鱼苗，鱼苗尾数随着时间的增长而减少，且相对减少率为常数；每尾鱼的重量随着时间增长而增加，且由于喂养引起的每尾鱼重量增加率与鱼的表面积成正比， 由于消耗引起的减少率与其重量本身成正比 . 分析如下问题：问题一：建立尾数和时间的微分方程并求解；问题二：建立每尾鱼重量和时间的微分方程并求解；问题三：用控制网眼的方法不捕小鱼，从一定时刻开始捕捞，用尾数的相对减少率表

2、示捕捞能力，分析开始捕鱼的最佳时刻，使得捕获量最大，并建立相关模型 .二 .问题分析1. 针对问题一，根据相对减少率的数学定义，可以建立鱼尾数和时间的微分方程；2. 针对问题二，将鱼体假设为球体，得出鱼的表面积与它重量的关系，使得鱼的重量完全成为一个关于时间的函数，进一步建立出鱼重量与时间的微分方程；3. 针对问题三，将捕捞行为看作连续的过程，瞬时捕捞量与瞬时捕鱼尾数、每尾鱼瞬时重量呈正相关关系，瞬时捕鱼尾数与捕捞能力有关，每尾鱼瞬时重量可由对问题二的解答得出，总捕捞量即为瞬时捕捞量关于时间的积分.三 . 基本假设1假设自然因素不会对鱼的尾数产生影响；2假设在整个捕捞过程中鱼没有繁衍行为；3假

3、设每尾鱼都均衡生长；4假设在捕捞过程中鱼的条数连续；5假设鱼为球体 .四符号表示n0鱼塘中最初投放的鱼苗数量t时间n鱼塘内鱼苗尾数与时间的函数r鱼苗尾数的相对减少率V每尾鱼体积S每尾鱼表面积G每尾鱼重量G0每尾鱼初始重量精选文库每尾鱼重量密度n(t )t 时刻鱼塘内鱼苗尾数k2每尾鱼重量减少率与其重量本身比例系数k1每尾鱼重量增加率与鱼表面积比例系数T能获得最大捕捞量的初始时间E捕捞能力W总捕捞量五模型建立与求解模型一 . 鱼苗尾数的相对减少率为常数r .由相对减少率的定义得 n( t t )n( t )rn (t )t即 limn( t t )n( t )tlimrn (t )t 0t 0即

4、 dnrn (t )dt解得 nn0 e rt模型二 . 假设鱼为球体，体积为V ，表面积为 S ，半径为 R ，重量为 G ，初始重量为 G0 ，鱼的密度为;且每尾鱼的重量随着时间增长而增加，其中由于喂养引起的每尾鱼重量增加率与鱼表面积成正比（比例系数为k1 ），由于消耗引起的减少率与其重量本身成正比（比例系数为k2 ）.由 V4R3 ， S=4R2， GV 得323432SG 334令 b=23又由于 dG =k1S-k2G , t =0 ， GG0dt所以 Gk1b +3 G0- k1b e323t-1 kk2k2-2精选文库模型三 . 控制网眼不捕小鱼， 鱼塘中瞬时鱼尾数用n(t) 表示，捕捞能力（ E ）可以用尾数的相对减少率1 dn 表示，从 T 时刻开始捕捞，使得捕捞量W 能够最大 .n dt其中减少量包括自然减少量（即第一模型中的减少量）和捕捞量.此时， n(t) =n0e-at -En(t)E =-1 dn1d (n0e-at )=-n0e-at=an dtdt所以， WEn(t) dt=an0e-atdt= an0e-aTTT1+a(1+a)a则，在此模型下，捕捞时间越早，捕捞量越大 .模型四 . 建立在模型三的基础上， 捕捞量的大小不仅取决于鱼尾数n(t) ，还取决于鱼的重量 G .即 WEn(t)GdtTan0e