数学建模人口迁移的动态分析

1、数学建模期末考查题数学建模期末考查是检验我们学习情况， 也是培养我们的数学建模能力，团队合作能力，也有助于我们思考能力的锻炼，所以数学建模期末题我们会认真对待，用我们所学、尽我们所能的完成它。我们选择的题是： 人口迁移的动态分析。参与成员：日期：2010年12月15日精选文库摘要本文主要是计算 A1、 A2、A3 三地区经过迁移后的人口及人口比例的变化，经过分析列出方程组，利用 C 程序计算出 10 年后、 100 年后三地区的人口数。由计算所得绘制出人口数量的走势图， 加以数据的分析， 进而对时间无限的增长各地区人口比例的稳定性进行了很好的分析。通过对该问题的数学模型建立， 培养了团队合作能

2、力， 锻炼了我们的发散思维能力， 增强了用数学方法解决实际问题的能力。关键词：人口迁移模型，研究性学习，VC+，递归方法-1精选文库问题重述在工业化的进程中，经济欠发达地区的人口会向经济发达地区迁移，形成一个稳定的朝向城市的人口流动趋势。假设有三个地区A1 、 A2 、 A3 ，第一年初三个地区的总人口为1亿人，各个地区人口在总人口中的比例分别是25、 35、40。地区 A1 每年有人口的1流向地区 A2 ，有人口的1流向地区A3 ；地区 A2 每年有人口的1流向地区A3 ，有人口的 2流向地区A1 ；地区 A3 每年有人口的3流向地区A1 ，有人口的2流向地区A2 。（ 1）假如三个地区的总

3、人口保持不变，并且人口流动的这种趋势继续下去，问 10 年以后三个地区的人口各是多少？100 年以后呢？时间无限增大各地区人口比例是否会稳定在某一个水平。（ 2）设地区A1 的人口自然增长率5；地区A2 的人口自然增长率为7；地区A3 的人人口自然增长率为11。并且假定人口迁移是在每年初或年末一次完成的，问10 年以后三个地区的人口各是多少？100 年以后呢？时间无限增大各地区人口比例是否会稳定在某一个水平。问题分析：（1）、我们需要建立一个描述这 3 个地区人口流动的模型， 并求出在多少年后 A 1、 A 2、 A3 地区的人口。问题假设1、 A 1、 A 2、 A 3 地区是相对封闭的地区

4、，人口的流动只发生在这3 个地区。2、问题中提过3 个地区的总人口不变，所以假设该3 个地区的出生率等于死亡率。在问（ 2）中则不是， A 1、 A2、 A 3 地区的人口是增长的，没个地区的增长率不一样，而迁移的时候是在增长了人口后。3、假设人口的迁移时是一次性完成的，在每年末完成。4、每个地区的迁入、迁出的比例不变。5、符号的说明：A ij（ i=1 、 2、 3， j=1 、2、 3 .）： A i 地区在 j 年后的人口数。ri (i=1 、 2、 3)：为 Ai 地区的自然增长率。-2精选文库问题的解决问题（ 1）我们从问题中获得的信息可以列出数学表达式如下：设第一年：A 11213

5、1第二年则在第一年的基础上迁移：A=0.25* A+0.35*A*0.02+0.40* A31*0.03-0.25* A121121A=0.35* A+0.25*A*0.01+0.40* A*0.02-0.35* A22211131A 32=0.40* A31+0.25*A11*0.01+0.35* A21*0.01-.0.40* Ax 为总人口数，则:11 *0.0221*0.0331 *0.05第三年则在第二年的基础上迁移 以此类推，用递归的方法可求出某年的A、A 、A312地区的人口。问题（ 2:）：从问题中分析可知：每个地区每年增长了人口后，则迁移人口数则与问题（1）有所不同，用已知的

6、数据和条件求A 1、A 2、 A 3 地区迁移过后的人口。设 A 1、 A 2、 A 3 地区未增长时的总人口数是x,则：第一年：A 11=0.25*x*(1+0.005)+0.35*x*(1+0.007)*0.02+0.40*x*(1+0.011)*0.03-0.25*x*(1+0.005)*0.02A 21=0.35*x*(1+0.007)+0.25*x*(1+0.005)*0.01+0.40*x*(1+0.011)*0.02-0.35*x*(1+0.007)*0.03A 31=0.40*x*(1+0.011)+0.25*x*(1+0.005)*0.01+0.35*x*(1+0.007)*

7、0.01-0.40*x*(1+0.011)*0.05第二年则在第一年的基础上迁移，同时也有人口的增长：A =0.25*A*(1+0.005)+0.35*A21*(1+0.007)*0.02+0.40*A*(1+0.011)*0.03-0.25*A11121131*(1+0.005)*0.02A 22=0.35*A21*(1+0.007)+0.25*A11*(1+0.005)*0.01+0.40*A31*(1+0.011)*0.02-0.35*A21*(1+0.007)*0.03A 32=0.40*A 31*(1+0.011)+0.25*A11*(1+0.005)*0.01+0.35*A21*(

8、1+0.007)*0.01-0.40*A31*(1+0.011)*0.05第三年在第二年的基础上迁移，同时也有人口的增长 .运用递归的方法就可求出某年的A 1、 A2 、A 3 地区的人口。对于我们来说求解问题时，首先想到的是运用Microsoft Visual C+ 来编程 :问题（ 1）的解：运用 C 程序求出，在人口总数不变的情况下：10 年后地区人口数为:A 1=36248300 ， A 2=34517400 ， A 3=29234400 ；100 年后地区人口数为：A 1=53847500 ， A 2=29437900 ， A 3=16714600 ；当时间无限增长时， 用 C+ 程

9、序可求的 3 个地区的人口趋于稳定了， 则人口比例也趋于稳定，也可作出人口时间的曲线图，可看出曲线到后面已趋于稳定。-3精选文库问题（ 2）的解：10 年后地区的人口数:12=37122300 ，3=32457200 ；A =38497300 ，AA100 年后地区人口数：A 1=104040000 ，A 2=59793000 ，A 3=35793400 ；当时间无限增长时，用C+ 程序运算可求出 A 1 与 A2 、A2与 A 3 的人口比例趋于1.61.8 之、间，则可知人口比例趋于稳定。模型的结果分析1、在总人口保持不变时，随着时间的推移，各地区的人口数量会趋于一个稳定值。2、 在人口自

10、然增长率固定时，随着时间的推移，各地区的人口数量虽然不会达到一个稳定值，会不断地上升，但最终各地区的人口比例也会趋于一个稳定水平。模型的优缺点：优点： 人口迁移在有限年内找到其规律，建立模型，虽然模型求解要用到计算机帮助，但程序原理简单，求解方便。缺点：人口迁移局限在了一个很小的地方， 忽略了其他地区的迁入和迁出到其他地区的情况，假定了 3 个地区的总人口不变和人口自然增长率不变，这是与实际不太相符的。程序清单#include<stdio.h>#include<stdlib.h>void count_p()double a,b,c;int i;int p;double

11、A1,A2,A3;A1=2.5e7;A2=3.5e7;A3=4e7;printf(" 请输入需要计算的时间（以年为单位）:");scanf("%d",&p);-4精选文库if(p<0)while(p<0)printf(" 输入错误 ! 请重新输入 !n");scanf("%d",&p);for(i=1;i<=p;i+)a=A1;b=A2;c=A3;A1=a+b*0.02+c*0.03-a*0.01-a*0.01;A2=b+a*0.01+c*0.02-b*0.01-b*0.02;A3

12、=c+a*0.01+b*0.01-c*0.03-c*0.02;printf("%d 年后个地区人口数统计如下：n",p);printf("A1地区人口数：%gn",A1);printf("A2地区人口数：%gn",A2);printf("A3地区人口数：%gn",A3);count_p2()double a,b,c;int i;int p;double A1,A2,A3;A1=2.5e7;A2=3.5e7;A3=4e7;printf(" 请输入需要计算的时间（以年为单位）:");scanf(&q

13、uot;%d",&p);if(p<0)while(p<0)printf(" 输入错误 ! 请重新输入 !n");-5精选文库scanf("%d",&p);for(i=1;i<=p;i+)a=A1;b=A2;c=A3;A1=(a+A1*0.005)+(b+A2*0.007)*0.02+(c+A3*0.011)*0.03-(a+A1*0.005)*0.01-(a+A1*0.0 05)*0.01;A2=(b+A2*0.007)+(a+A1*0.005)*0.01+(c+A3*0.011)*0.02-(b+A2*0.0

14、07)*0.01-(b+A2*0.0 07)*0.02;A3=(c+A3*0.011)+(a+A1*0.005)*0.01+(b+A2*0.007)*0.01-(c+A3*0.011)*0.03-(c+A3*0.0 11)*0.02;printf("%d 年后个地区人口数统计如下：n",p);printf("A1地区人口数：%gn",A1);printf("A2地区人口数：%gn",A2);printf("A3地区人口数：%gn",A3);main()int j;while(1)printf("ttt人口

15、动态分析人口计算n");printf("ttt1流动趋势人口计算n");printf("ttt2考虑增长率在内的人口计算n");printf("ttt3退出程序 n");printf(" 请输入选择 :");scanf("%d",&j);if(j<0|j>3)while(j<0|j>3)-6精选文库printf("n");printf(" 输入错误！请重新输入！n");printf(" 请输入选择 :");scanf("%d",&j);printf(