数学归纳法证明例题

1、精品文档数学归纳法例题例请读者分析下面的证法：证明： n=1 时，左边111113，右边21，左边 =右边，等式成立33假设 n=k 时，等式成立，即：1111k1335572k12k12k1那么当 n=k+1 时，有：111111335572k 1 2k 12k 1 2k 311111111111112k12335572k2k2k311112k222k322k3k1k12k32 k11这就是说，当n=k+1 时，等式亦成立由、可知，对一切自然数n 等式成立评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证， 假就假在没有利用归纳假设 n=k 这一步，当 n=k+1 时，而是用拆项法推

2、出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求正确方法是：当n=k+1 时111111 3 35 5 72k 1 2k 12k 1 2k 3k12k12k12k32k 23k12k1 k12k12k32k12k3。1欢迎下载精品文档k1k12k32 k1 1这就说明，当n=k+1 时，等式亦成立，例 2是否存在一个等差数列 an ，使得对任何自然数 n，等式： a1+2a2+3a3+ +nan=n( n+1)( n+2)都成立，并证明你的结论分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n=1，2，3 时找出来 an ，然后再证明一般性解：将 n=1， 2， 3 分别代入等式得方程组a16a12

3、a224，a12a23a360解得 a1=6，a2=9， a3=12，则 d=3故存在一个等差数列an=3n+3，当 n=1， 2， 3 时，已知等式成立下面用数学归纳法证明存在一个等差数列an=3n+3，对大于 3 的自然数，等式a1+2a2+3a3+ +nan=n( n+1)( n+2) 都成立因为起始值已证，可证第二步骤假设 n=k 时，等式成立，即a1+2a2+3a3+ +kak=k( k+1)( k+2)那么当 n=k+1 时，a1+2a2+3a3+ +kak +( k+1) ak+1= k ( k+1)( k+2)+ ( k+1)3( k+1)+3=( k+1)( k2+2k+3k

4、+6)=( k+1)( k+2)( k+3)=( k+1)( k+1)+1(k+1)+2这就是说，当 n=k+1 时，也存在一个等差数列an=3n+3 使 a1+2a2+3a3+nan=n( n+1)( n+2)成立综合上述，可知存在一个等差数列n=3n+3，对任何自然数n，等式a1+2 2+3 3+aa a+nan=n( n+1)( n+2) 都成立。2欢迎下载精品文档例 3证明不等式111n (n N) 1322n证明：当=1 时，左边 =1，右边 =2n左边 <右边，不等式成立假设 n=k 时，不等式成立，即111k 1322k那么当 n=k+1 时，111113kk 122k12

5、 kk11k1k1kk112 k12k 1k1k1这就是说，当n=k+1 时，不等式成立由、可知，原不等式对任意自然数n 都成立说明：这里要注意，当n=k+1 时，要证的目标是111113k2 k 1 ，当代入归纳假设后，就是要证明：2k 11k1 2 k2k1认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标例 4已知数列 an 满足 a1=0， a2=1，当 n N时， an+2=an+1 +an求证：数列 an 的第 4m+1 项 ( m N) 能被 3 整除分析：本题由an+1=an+1+an 求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法当 m=1 时， a4

6、m+1=a5=a4+a3=( a3 +a2)+( a2+a1)= a2+a1+a2+a2+a1=3，能被 3 整除当m=k时， a4k+1 能被3 整除，那么当n=k+1 时，a4( k+1)+1 =a4k+5=a4k+4+a4 k+3=a4k+3+a4k+2+a4 k+2+a4k+1=a4k+2+a4k+1+a4 k+2+a4k+2+a4k+1=3a4k+2+2a4k+1。3欢迎下载精品文档由假设 a4k +1 能被 3 整除，又 3a4k+2 能被 3 整除，故 3a4k+2 +2a4 k+1 能被 3 整除因此，当 m=k+1 时， a4(k+1)+1 也能被 3 整除由、可知，对一切自

7、然数 ，数列an 中的第 4 +1 项都能被3 整除m Nm例 5n 个半圆的圆心在同一条直线l 上，这n 个半圆每两个都相交，且都在直线l 的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？分析：设这些半圆最多互相分成 f ( n) 段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证当 n=2 时，由图 (1)两个半圆交于一点，则分成4 段圆弧，故 f(2)=4=22当 n=3 时，由图 (2)三个半径交于三点，则分成9 段圆弧，故 f(3)=9=32由 n=4 时，由图 (3)三个半圆交于 6 点，则分成16 段圆弧，故 f(4)=16=4 2由此猜想满足条件的n 个半圆互相分成圆弧段有f (

8、 n)= n2用数学归纳法证明如下：当 n=2 时，上面已证设 n=k 时， f ( k)= k2，那么当 n=k+1 时，第 k+1 个半圆与原k 个半圆均相交，为获得最多圆弧， 任意三个半圆不能交于一点，所以第 k+1 个半圆把原k 个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k 条圆弧；另外原k 个半圆把第k+1 个半圆分成k+1 段，这样又多出了k+1 段圆弧 f ( k+1)= k2+k+( k+1)= k2+2k+1=( k+1) 2 满足条件的k+1 个半圆被所有的交点最多分成( k+1) 2 段圆弧由、可知，满足条件的n 个半圆被所有的交点最多分成n2 段圆弧说明：这里

9、要注意；增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f (2)=4 ， f (3)= f(2)+2+3 ， f(4)= f(3)+3+4 中发现规律： f( k+1)= f( k)+ k+( k+1) 。4欢迎下载精品文档N 的 4K+1次方 -N 为何是 10 的倍数？先证明 n5-n 一定是 10 的倍数再用数学归纳法证明n(4k+1)-n也是 10 的倍数n5-n=n(n-1)(n+1)(n2+1)显然 n,n-1中必有一个数是偶数所以 n5-1 是 2 的倍数下面分情况讨论n=5t 5t+1 5t+2 5t+3 5t+4都能得到 n5-n是 5 的倍数而(2,5) 互质 所以 n5-n

10、是 10 的倍数所以当 k=1 时成立假设当 k=r 时成立即 n(4r+1)-n=10s则当 k=r+1时 n(4r+4+1)-n=(n4r+1-n)*n4+(n5-n)=n4*10s+n5-n由于 n5-n 是 10 的倍数所以当 k=r+1 时也成立证明 :2 的 n 次方大于2n+1,n 是大于 3 的整数n=3 时， 23=8>2*3+1,2 的 n 次方大于2n+1 成立设 nk,k>3 时成立则：2(k+1)=2*2k>2*(2k+1)=4k+2>2k+8>2(k+1)+1n=k+1 时成立所以，2 的 n 次方大于2n+1,n 是大于 2 的整数证明：当且仅当指数n 不能被 4 整除时， 1n 2n 3n4n 能被 5 整除证明设 A=1n 2n 3n 4n ，当 n=4k(k 为整数 ) 时， 1n 、 3n 的个位数均为1，2n 、4n 的个位均为6， 1+1+6+6=14， A 的个位为4，显然 A 不能被 5 整除当 n 4k 时，若 n=4k+1，易知 A 的个位 =（ 1+2+3+4）的个位 =0， A 能被 5 整除当