数理统计习题数理统计练习题

1、数理统计一、填空题1设 X1, X2,X n 为母体 X 的一个子样，如果g( X 1 , X 2 ,X n )，则称 g ( X1 , X 2 ,X n ) 为统计量。2设母体 X N(,2 ), 已知，则在求均值的区间估计时，使用的随机变量为3设母体 X 服从方差为1 的正态分布，根据来自母体的容量为100 的子样，测得子样均值为 5，则 X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为。4假设检验的统计思想是。小概率事件在一次试验中不会发生5某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%，此问题的原假设为。6XN( ,2)，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为：

2、某地区的年降雨量( 单位： mm) 587 672701640650 ，则2 的矩估计值为。7 设两个相互独立的子样X1,X2, ,X21 与 Y1,Y5分别取自正态母体N (1,22 ) 与N (2,1)，22分别是两个子样的方差，令22,2( a2， 已 知S1, S21aS12b) S212 2 (20),22 2 (4) ，则 a_, b_ 。8假设随机变量X t( n) ，则1服从分布。X 29X t(10),已知 P(X 2)0.05，则_。假设随机变量10设子样 X1,X2, X16来自标准正态分布母体 N(0,1)， X 为子样均值，而P( X)0.01，则_2)，令Y1016

3、11假设子样 X1 , X 2, X 16 来自正态母体 N (,3X i4X i，则Y的i 1i 11分布精选文库12设子样 X 1, X 2 , X10 来自标准正态分布母体N (0,1)，X与S*2分别是子样均值和子样方差，令10X 2，若已知 P(Y)0.01 ，则_。YS*213如果 ?1 , ?2 都是母体未知参数的估计量，称 ?1 比 ?2 有效，则满足。14假设子样 X 1, X 2 , X n 来自正态母体N (,2)， ?2Cn 1( X i 1X i )2 是2 的i 1一个无偏估计量，则 C_ 。15假设子样 X1, X 2 , X 9 来自正态母体N (,0.81)

4、，测得子样均值x5 ，则的置信度是 0.95 的置信区间为。16假设子样X1,X2, X100 来自正态母体N (,2 ) ，与2未知，测得子样均值x 5 ，子样方差 s21 ，则的置信度是0.95的置信区间为。17假设子样 X 1, X 2 , X n 来自正态母体N (, 2)，与2 未知，则原假设H 0 ：15 的 t 检验选用的统计量为。18正交设计中 Lnr ( s) 中 S 的选择原则是。19一元线性回归分析中yx，对随机误差的要求是。20一元线性回归分析中yx中，对 H0：0 的检验所用的统计量为二、选择题1下列结论不正确的是()设随机变量 X ,Y都服从标准正态分布，且相互独立

5、，则X 2Y 2 2 (2)X,Y 独立， X 2 (10), XY 2(15) Y 2 (5)X 1 , X 2 , X n 来自母体 X N ( ,2 ) 的子样， X 是子样均值，2精选文库n ( X iX )22( n)则i 12X1,X2,X n 与 Y1 ,Y2 ,Yn 均来自母体 X N (,2 ) 的子样，并且相互独立，nX ) 2( X iX ,Y 分别为子样均值，则i 1 F ( n1, n1)n(YiY ) 2i12设 ?1 , ?2 是参数的两个估计量，正面正确的是()D( ?1)D ( ?2 ) ，则称 ?1 为比 ?2 有效的估计量D( ?1)D ( ?2 ) ，则

6、称 ?1 为比 ?2 有效的估计量?1 , ?2 是参数的两个无偏估计量，D( ?1)D( ?2 ) ，则称 ?1为比 ?2有效的估计量?1 , ?2 是参数的两个无偏估计量，D( ?1)D( ?2 ) ，则称 ?1为比 ?2有效的估计量3设 ?是参数的估计量，且D( ?) 0 ，则有（）?2不是2 的无偏估计?2是2 的无偏估计?2不一定是2 的无偏估计?2不是2 的估计量4下面不正确的是（）u1u22(n)1 (n)t1 ( n)t (n)F1 (n, m)1F( m, n)5母体均值的区间估计中，正确的是（）置信度置信度置信度置信度1111一定时，子样容量增加，则置信区间长度变长；一定时

7、，子样容量增加，则置信区间长度变短；增大，则置信区间长度变短；减少，则置信区间长度变短。6对于给定的正数，01是标准正态分布的上侧分位数， 则有（），设 u3精选文库P(Uu)1P(|U |u)22P(Uu)1P(|U |u)227某工厂所生产的某种细纱支数服从正态分布N( 0, 02),0 ,02 为已知，现从某日生产的一批产品中随机抽取16 缕进行支数测量，求得子样均值和子样方差，要检验细纱支数的均匀度是否变劣，则应提出假设（） H0：0H 1 ：0 H0：0H 1 ：022H 1 ：22H 0 ：22H 1 ：22H 0 ：00008设子样 X1,X 2 ,X n 抽自母体 X ， Y1

8、 ,Y2 ,Ym 来自母体 Y ， X N (1 ,2 )n1 ) 2( X i/ nYN( 2,2) ，则i 1的分布为m2 ) 2(Yi/ mi 1F (n,m)F (n1, m1) F ( m,n)F (m1, n1)9设 x1 , x2 , xn为来自 X N (,2 ) 的子样观察值，,2 未知， x1nxin i 1则2 的极大似然估计值为（） 1 n( xix) 2 1 n(xix)1n( xix )21n( xix)n i 1n i 1n 1 i 1n 1 i 110子样 X1,X 2 ,X n 来自母体 X N(0,1) ，X1 nX i，S21n( X iX ) 2n i

9、1n 1 i 1则下列结论正确的是（） nX N (0,1)X N (0,1)nX i22 ( n)X t (n1)i 1S11假设随机变量 X N (1,2 2 ), X 1 , X 2 , , X 100 是来自 X 的子样， X 为子样均值。已知Y aXb N (0,1)，则下列成立的是（）4精选文库 a5,b5 a5, b 5 a1, b15 a1, b155512设子样 X 1, X 2 , X n 来自正态母体 N (,2)，X与S2分别是子样均值和子样方差，则下面结论不成立的是（）X 与 S2 相互独立X 与 ( n1) S2 相互独立X1n( X iX )2 X 与1n( X

10、i)2与 2i 1相互独立2i 1相互独立13子样 X1,X 2, X3, X 4, X5取自正态母体N (, 2)，已知，2 未知。 则下列随机变量中不能作为统计量的是（）X X1X 2215215( X i22( X iX )3X )i 1i 114设子样 X 1, X 2 , X n 来自正态母体 N (,2)，X与S2分别是子样均值和子样方差，则下面结论成立的是（）2X 2X1N(,2 )n( X) 2 F (1, n1)S2S22( n1)Xn1 t (n 1)2 S15设子样 X1 , X 2 , X n 来自母体 X ，则下列估计量中不是母体均值的无偏估计量的是（）。X X 1X

11、 2X n 0.1(6X14 X n ) X 1X 2X 316假设子样 X 1, X 2, X n 来自正态母体N ( , 2 ) 。母体数学期望已知，则下列估计量中是母体方差2 的无偏估计是（） 1 n( X iX)21n( X iX)21n( X i) 21n( X i) 2n i 1n 1 i 1n 1 i 1n 1 i 117 假设母体X 的数学期望的置信度是0.95 ，置信区间上下限分别为子样函数5精选文库b( X1 ,X n ) 与a( X1 , X n ) ，则该区间的意义是（）P(ab)0.95P(aXb)0.95P(aXb)0.95P( aXb)0.9518假设母体X 服从

12、区间 0, 上的均匀分布，子样X1 , X 2 , X n 来自母体 X 。则未知参数的极大似然估计量?为（）2 Xmax( X 1 , X n )min( X1 , X n )不存在19在假设检验中，记H 0 为原假设，则犯第一类错误的概率是（）H0成立而接受H0H0成立而拒绝H0H0 不成立而接受H0H0 不成立而拒绝H020假设子样X 1 , X 2 , X n 来自正态母体N (,2 ) ， X 为子样均值，记21n( X i221nS1n iX) S2n1 i( X11S321n( X i)2 S421n( Xn i1n1 i1i X )2i ) 2则服从自由度为n1t分布的随机变量

13、是（）的X1X1XXnnnnS1S2S3S4三、计算题1设母体X N (12,4) ，抽取容量为5 的子样，求（ 1） 子样均值大于 13 的概率；（ 2） 子样的最小值小于 10 的概率；（ 3） 子样最大值大于 15 的概率。2假设母体X N (10,2 2 ) ， X 1 , X 2 , X 8 是来自 X 的一个子样，X 是子样均值，求6精选文库P(X11) 。3母体 X N(10,22) ， X1,X2,X8是来自 X 的子样， X 是子样均值，若P( Xc)0.05 ，试确定 c 的值。4设 X 1, X 2 , X n 来自正态母体N (10,2 2 ) ， X 是子样均值，满足

14、 P(9.02X10.98)0.95 ，试确定子样容量n 的大小。5假设母体X 服从正态母体N (20,32 ) ，子样 X 1 , X 2 , X 25 来自母体X ,计算1625PX iX i182i1i176假设新生儿体重X N (,2 ) ，现测得 10 名新生儿的体重， 得数据如下：3100348025203700252032002800380030203260（ 1）求参数和2 的矩估计；（ 2）求参数2 的一个无偏估计。7设随机变量e ( x )X 的概率密度函数为 f ( x)0母体 X 的一个子样，求的矩估计和极大似然估计。x, X n 来自，设 X1,X2,x8在测量反应时

15、间中，一位心理学家估计的标准差是0.05秒，为了以 0.95的置信度使平均反应时间的估计误差不超过0.01秒，那么测量的子样容量n 最小应取多少9设随机变量 X N ( ,1) ， x1 , x2 , x10 是来自 X 的 10 个观察值， 要在0.01的水平下检验H 0 ：0， H1：0取拒绝域 J| X | c（ 1） c?（ 2）若已知 x1, 是否可以据此推断0 成立？(0.05)（ 3）如果以 J| X |1.15 检验 H0：0 的拒绝域，试求该检验的检验水平。10假设按某种工艺生产的金属纤维的长度X （单位 mm）服从正态分布 N (5.2,0.16) ，7精选文库现在随机抽出

16、 15 根纤维，测得它们的平均长度 x 5.4 ，如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的金属纤维的长度仍为 5.2mm11某地九月份气温X N (,2 ) ，观察九天，得x300 C ， s*0.90 C ，求（ 1）此地九月份平均气温的置信区间；（置信度95%）（ 2）能否据此子样认为该地区九月份平均气温为31.50 C （检验水平0.05)（ 3）从（ 1）与（ 2）可以得到什么结论？t 0.025 (8)2.30612正常成年人的脉搏平均为72 次 /分，今对某种疾病患者10 人，测得脉搏为54686577706469726271，假设人的脉搏次数X N (,2 ) ，试就检验水平0.

17、05 下检验患者脉搏与正常成年人的脉搏有无显著差异？13设随机变量X i N (i ,i2 ), i ,i2 均未知， X1 与 X 2 相互独立。现有5 个 X1 的观察值，子样均值 x119，子样方差为s127.505 ，有 4 个 X 2 的观察值，子样均值 x218 ，子样方差为s222.593，（ 1）检验 X1 与 X 2 的方差是否相等？0.1, F0.05 (4,3)9.12, F0.05 (3,4)6.59（ 1）在（ 1）的基础上检验X 1 与 X 2 的均值是否相等。（0.1）14假设某厂生产的缆绳，其抗拉强度X 服从正态分布N (10600,82 2 ) ，现在从改进工

18、艺后生产的缆绳中随机抽取10 根，测量其抗拉强度，子样方差s26992 。当显著水平为0.05 时，能否据此认为新工艺生产的缆绳的抗拉强度的稳定性是否有变化？15某种导线的电阻X N (,0.0052 ) ，现从新生产的一批导线中抽取9 根，得 s 0.009 。（ 1）对于0.05 ，能否据此认为新生产的一批导线的稳定性无变化？（ 2）求母体方差2 的 95%的置信区间16、某厂用自动包装机包装糖，每包糖的重量XN( ,2 ) ，某日开工后，测得 9 包糖的重量如下： 99.398.7 100.5 101.2 98.3 99.7 102.1100.5 99.5 (单位：千克 ) 试求母体均值

19、的置信区间，给定置信水平为0.95。8精选文库17、设有甲、乙两种安眠药，现在比较它们的治疗效果，X 表示失眠患者服用甲药后睡眠时间的延长时数，Y 表示失眠患者服用乙药后睡眠时间的延长时数，随机地选取20 人，10 人服用甲药，10 人服用乙药，经计算得x2.33, s1*21.9; y 1.75, s2*22.9，设XN(1 ,2),YN(2 ,2)；求 12 的置信度为95%的置信区间。18、研究由机器A 和 B 生产的钢管的内径，随机地抽取机器A 生产的管子 18 根，测得子样方差 s1*20.34 ，抽取机器B 生产的管子13 根，测得子样方差s2*20.29，设两子样独立，且由机器A

20、 和 B 生产的钢管的内径服从正态分布N (1,12), N(2 ,22 ) ，试求母2体方差比1的置信度为90% 的置信区间。2219、设某种材料的强度XN( ,2)， ,2未知，现从中抽取20 件进行强度测试，以kg/cm 2 为强度单位，由20 件子样得子样方差s*20.0912 ，求2 和的置信度为 90%的置信区间。20、设自一大批产品中随机抽取100 个样品，得一级品 50 个，求这批产品的一级中率p 的置信度为95%的置信区间。21、一家广告公司想估计某类商店去年所花的平均广告费有多少。经验表明，母体方差约为 1800000 ，如果置信度为 95% ，并要使估计值处在母体均值附近

21、 500 元的范围内，这家广告公司应取多大的子样？22、设电视机的首次故障时间 X 服从指数分布， EX ，试导出 的极大似然估计量和矩估计。23、为了比较两位银行职员为新顾客办理个人结算账目的平均时间长度，分别给两位银行职员随机地安排了 10 个顾客，并记录下为每位顾客办理账单所需的时间（单位：分钟）相应的子样均值和方差为：x122.2, x 228.5; s*2116.63, s*2218.92 。假设每位职员为顾客办理账单所需的时间服从正态分布，且方差相等，求母体平均值差的置信度为95%的区间估计。24、某饮料公司对其所做的报纸广告在两个城市的效果进行了比较，他们从两个城市中分别随机地调

22、查了1000 个成年人，其中看过该广告的比例分别为0.18 和 0.14，试求两个城市成年人中看过该广告的比例之差的置信度为95%的置信区间。25、电视机显像管批量生产的质量标准为平均寿命1200 小时，标准差为300 小时。某电视机厂宣称其生产的显像管质量大大超过规定标准。为了进行验证，随机抽取100 件为子样，测得其平均寿命为1245 小时。能否据此认为该厂的显像管质量大大高于规定标准？26、某机器制造出的肥皂厚度为5cm，今欲了解机器性能是否良好，随机抽取10 块为子9精选文库样，测得其平均厚度为 5.3cm ，标准差为 0.3cm ，试分别以 0.05 和 0.01 的显著水平检验机器

23、性能是否良好？（假设肥皂厚度服从正态分布）27、有两种方法可用于制造某种以抗拉强度为重要特征的产品。根据以往的资料得知，第一种方法生产的产品的抗拉强度的标准差为8kg ，第二种方法生产的产品的抗拉强度的标准差为10kg。从两种方法生产的产品各抽取一个子样，子样容量分别为32 和 40，测得x150kg, x244kg 。问这两种方法生产的产品的平均抗拉强度是否有显著差别0.05, z0.0251.9628、一个车间研究用两种不同的工艺组装产品所用的时间是否相同，让一个组的10 名工人用第一种工艺组装产品，平均所需的时间为26.1 分钟，子样标准差为12 分钟；另一组的 8 名工人用第二种工艺组

24、装产品，平均所需的时间为17.6 分钟，子样标准差为10.5 分钟，已知用两种工艺组装产品所需的时间服从正态分布，且方差相等，问能否认为用第二种工艺组装产品所需的时间比用第一种工艺组装产品所需的时间短？0.05,t 0.05 (16)1.745929、某地区小麦的一般生产水平为亩产250kg ，其标准差为30kg。现用一种化肥进行试验，从 25 个小区抽样结果为平均产量为270kg。问这种化肥是否使小麦明显增产？0.0530、某种大量生产的袋装食品， 按规定不得少于 250kg 。今从一批该食品中任意抽取 50 袋，发现有 6 袋低于 250kg。若规定不符合标准的比例超过 5%就不得出厂，该

25、批食品能否出厂？0.0531、某种电子元件的寿命服从正态分布。现测得 16 只元件的寿命如下： 159280101212224379179264222362168250149260485170，问是否有理由认为元件的平均寿命大于225 小时。0.05, t 0.05 (15)1.753132、某电器经销公司在6 个城市设有经销处，公司发现彩电销售量与该城市居民户数多少有很大关系，并希望通过居民户数多少来预测其彩电销售量。下表是有关彩电销售量与城市居民户数的统计数据：城市编号销售量户数 (万户 )154251892631919336827197477432025836520668916209要求

26、： (1)计算彩电销售量与城市居民户数之间的线性相关系数；（ 2）拟合彩电销售量对城居民户数的回归直线；(3)计算判定系数R210精选文库(4) 对回归方程的线性关系和回归系数进行显著性检验(0.05 )，并对结果作简要分析。33、在每种温度下各做三次试验，测得其得率(%)如下：温度A1A2A3A4得率868690848588888383879288检验温度对该化工产品的得率是否有显著影响。34、测量 9 对做父子的身高，所得数据如下(单位：英父亲身高 x606264666768707274儿子身高 y63.665.26666.967.167.868.370.170(1) 试建立了儿子身高关于

27、父亲身高的回归直线方程(2) 检验儿子身高关于父亲身高的回归直线方程是否显著成立？t0 .025 (8) 2.306（ 3）父亲身高为 70，试对儿子身高进行置信度为95%的区间预测35、某商店采用四种不同的方式推销商品。为检验不同的方式推销商品的效果是否有显著差异随机抽取子样，得到如下数据：（0.05,F0.05 (3,16)3.24 ）方式 1方式 2方式 3方式 47795728086927784808268798891827084897582计算 F 统计量，并以0.05的显著水平作出统计决策。四、证明题1设 X1, X2, X n (n2) 来自正态母体X ，母体 X 的数学期望及方

28、差2 均存在，求 证 ： ?1, ?2, ?3, ?4均是母体X的数学期望的无偏估计。其中?1X1, ?21(X1X n )12?X12X23X? X3(3 ),462假设随机变量X 服从分布 F (n, n) 时，求证： P( X 1)P X1 0.511精选文库3设 X1, X2, X n (n2) 来自正态母体 X ，母体 X 的方差2 存在， S2为子样方差，求证： S2 为2的无偏估计。4假设母体 X 的数学期望和方差2 均存在， X1,X2, X n来自母体 X ，求证： X与W都是母体期望的无偏估计，且DXDW 。其中 X1 nX i ，n i 1nnWai X i , (ai

29、1)i 1i 15已知 T t( n) ，证明 T 2 F (1, n)6设母体 X 的 k 阶矩kE( X ik ) 存在， X1 , X 2 , X n来自母体 X ,证明子样 k 阶矩Ak1nX ik 为母体的 k 阶矩 kE ( X ik ) 的无偏估计。n i11 e1 xx07设母体 X 的密度函数为f ( x)x试证 X 是 的无偏估计008设母体 X U (0,?2X ,?nmax( X1 , X 2 , X n ) 均是的无偏估)，证明 12n1计（ X1,X2, X n来自母体 X 的子样）9假设随机变量X 服从分布 F (n, n) 时，求证： P( X1)P X1 0.

30、5附加 :5 1 从正态母体N (3.4,62 ) 中抽取容量为n 的子样，如果要求其子样均值位于区间(1.4,5.4) 内的概率不小于0.95，问子样容量n 至少应取多大？12精选文库x1t 2附表：标准正态分布表(z)e 2 dt2z1.281.6451.962.33(z)0.9000.9500.9750.99052 设母体 X 服从正态分布 N( ,2 )(0) ，从该母体中抽取简单随机子样X 1 , X 2 , ， X 2n (n2) ，其子样均值为 X12nX i，求统计量2n i 1n2X )2Y( X iX n i的数学期望 E (Y) 。i15 3 设随机变量 X t(n)(n

31、 1),Y1，则X2(A)Y 2 (n) .(B)Y 2 (n1).(C)Y F (n,1) .(D)Y F (1, n) .54 设随机变量 X1,X2, X n ( n 1) 独 立 同 分 布 ， 且 其 方 差 为20 ， 令Y1 nX i ，则n i 122（ A ）Cov( X 1, Y).( B )Cov ( X1 , Y).n( C )D( X1Y)n 22( D )D(X1Y)n1 2.n.n5 5设 X1, X 2,L, X n (n2) 为来自母体 N (0,1) 的简单随机子样， X 为子样均值， S2 为子样方差，则(A)nX N (0,1)(B)nS2 2 (n)13精选文库(C) ( n 1) X t (n 1)(D)(n n1) X12 F ( n1,1)SX i2i 25 6 设母体 X 的概率密度为f X (x)(1) x0 x110,其它，其中是未知参数，X1 ，, X n 是来自母体X 的一个容量为n 的简单随机子样。 分别利用矩估计法和极大似然估计法求的估计量。6xx), 0 x5 7 设母体 X 的概率密度为 f ( x)3 (0,其它X1, X 2 ,L , X n 是取自母体 X 的简单随机子样。（ 1）求 的矩估计量?； （2）求 ?的