数理统计试题及答案

1、一、填空题（本题 15 分，每题3 分）1、总体 X N (20,3)的容量分别为10， 15 的两独立样本均值差 X Y _；2、设 X1, X 2,., X16为取自总体X N (0,0.52 ) 的一个样本，若已知0.201 (16)32.0 , 则16PX i28 =_ ；i13、设总体 X N(, 2)，若和2均未知， n 为样本容量，总体均值的置信水平为1的置信区间为 ( X, X) ，则的值为 _；4、设 X1 , X 2 ,., X n 为取自总体 X N (,2 ) 的一个样本， 对于给定的显著性水平，已知关于222(n1) ，则相应的备择假设 H 1 为_；检验的拒绝域为1

2、5、设总体 X N( ,2 ) ，2 已知，在显著性水平0.05 下，检验假设 H 0 :0,H1:0 ，拒绝域是 _。13、 t( n1)S；4、22z0.05 。1、 N (0， ) ； 2、 0.01；n0 ； 5、 z22二、选择题（本题15 分，每题3 分）1、设 X1,X2,X3是取自总体 X 的一个样本，是未知参数，以下函数是统计量的为（）。（A） (X1X 2X 3 )（B） X1X 2X 31X2 X313)2（C） X1（ D）(X i3 i12、设 X 1, X 2,.,X n 为取自总体 X N (,2 ) 的样本， X 为样本均值， Sn21 n(X iX)2，n i

3、 1则服从自由度为n1 的 t 分布的统计量为（）。（A ）n ( X）n ( X)n 1( X）n 1( X)（ B ）（C）（ D）SnSn3、设 X1, X2, X n 是来自总体的样本，D(X)2 存在，S21n(X iX)2,n1 i 1则（）。（A） S2是2 的矩估计（B） S2 是2的极大似然估计（C） S2是2 的无偏估计和相合估计（D）S2 作为2 的估计其优良性与分布有关、设总体 X N(1,2),Y N(2,2 )相互独立，样本容量分别为n ,n，样本方差分别4121222下，检验 H 0:2222）。为 S1, S2 ，在显著性水平12,H1:12 的拒绝域为（精品文

4、库（ A ）s22F(n21, n11)s22F( n21, n11)2（ B）21s1s12（ C）s22F(n11,n21)s22F( n11, n21)2（ D）21s1s12、设总体 X N(,2 ) ，2已知，未知，x , x, xn是来自总体的样本观察值，已512知 的置信水平为0.95 的置信区间为（4.71， 5.69），则取显著性水平0.05 时，检验假设H0:5.0, H1 :5.0 的结果是（）。（ A ）不能确定（B）接受 H0（C）拒绝 H0（D ）条件不足无法检验1、B； 2 、D； 3 、C； 4 、A； 5 、B.三、（本题14 分）设随机变量 X 的概率密度为

5、：f ( x)2x, 0x，其中未知2其他0,参数0， X1, X n 是来自 X 的样本，求（1）的矩估计；（ 2）的极大似然估计。解： (1)E(X )x f ( x)d x2x 2202d x，3?X2，得?3的矩估计量。令 E(X)3X 为参数2(2)似然函数为： L (xi , )n2 xi2 nnxi, (i1,2, , n) ，i 122 nxi ，0i 1而 L() 是的单调减少函数，所以的极大似然估计量为?max X 1 , X 2 , X n 。四、（本题14 分）设总体 X N (0,2 ) ，且 x1 , x2x10 是样本观察值，样本方差s22 ，2 的置信水平为 0

6、.95 的置信区间；（2）已知 YX22 (1)，求D X2（1）求23的置信水平为0.95 的置信区间； （22.70 ，219.023）。0.975 (9)0.025 (9)解：（1）2 的置信水平为0.95 的置信区间为18,18，即为（ 0.9462， 6.6667）；220.025 (9)0.975 (9)X 2=1DX 21D2 (1)2；（2） D32222欢迎下载2精品文库由于 DX 2222,2，32 是的单调减少函数，置信区间为22即为（ 0.3000，2.1137）。五、（本题 10 分）设总体 X 服从参数为的指数分布， 其中0未知， X1, X n 为取自总体 X 的

7、样本，若已知 U2 nX i 2 (2n) ，求：i 1（ 1） 的置信水平为 1的单侧置信下限；（2）某种元件的寿命（单位：h）服从上述指数分布，现从中抽得容量为16 的样本，测得样本均值为5010 （ h ），试求元件的平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下限。( 02.05 ( 31)44.985, 02. 10 (32)42.585)。解： (1)P 2nX2 ( 2n)1,P2nX1,2 (2n)即 的单侧置信下限为2nX；（ 2）2 16 50103764.706 。242.585( 2n)六、（本题14 分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度X N (10,1)，今阶

8、段性抽取 10个水样，测得平均浓度为10.8（ mg/L ），标准差为1.2（ mg/L ），问该工厂生产是否正常？（0.05, t0.025 (9)2.2622,0.2025 (9)19.023,0.2975 (9)2.700 ）解：（ 1）检验假设H 0：2=1， H1：22(n1)s 2 1； 取统计量：2；022( n1)2=2.70 或22(n1)2拒绝域为：10.975 (9)0.025 =19.023，22经计算：2( n1)s291.2 212.96，由于212.96(2.700,19.023)221，0故接受 H 0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为2=1。（2）检

9、验假设 H 0：10， H 1：10；X10(9) ；取统计量： t tS /102拒绝域为 t t0 .025 ( 9)2.2622 ；10.8102.1028 <2.2622，所以接受 H 0 ，t101.2 /即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（ mg/L ）。综上，认为工厂生产正常。七、（本题 10 分）设 X 1, X 2 , X 3, X 4 为取自总体X N ( ,4 2 ) 的样本，对假设检验问题欢迎下载3精品文库H 0 :5, H 1 :5 ，（ 1）在显著性水平0.05 下求拒绝域；（ 2）若=6 ，求上述检验所犯的第二类错误的概率。(1) 拒绝域为zx5x51.96 ;解：4 /42z0. 025（2）由 (1) 解得接受域为（1.08， 8.92），当=6 时，接受 H 0 的概率为P1.08X8.928.9261.086220.921。八、（本题 8 分）设随机变量X 服从自由度为 ( m, n) 的 F 分布， (1)证明：随机变量1 服从X自由度为 (n, m) 的 F 分布； (2) 若 mn，且 P X 0.05 ，求 P X1 的值。证明：因为 X F ( m,n) , 由 F 分布的定义可