江苏省高考数学模拟题(压题卷)苏教版

1、请学生考前做一遍江苏省高考数学模拟题(压题卷)一、填空题1已知函数y1xx3 的最大值为M，最小值为m，则M的值为2 m2已知函数ylog a ( ax2x) 在区间 2 ，4 上是增函数，则实数a 的取值范围是(1,) 3已知点O 为 ABC 的外心，且 AC4 ， AB2 ，则 AO BC的值等于64已知， b 是 平 面 内 两 个 互 相 垂 直 的 单 位 向 量 ， 若 向 量 ac 满 足(ac) (bc)0 ，则c 的最大值是2 5若f (x)x23x4 ，x 3,6 ，则对任意x0 3,6 ，使f ( x0 )0 的概率为5 96.已知 xn，函数14的最小值是8.2sin

2、2 xcos2x7.当 x (1，3)时，不等式 x2+mx+4<0 恒成立，则 m 的取值范围是 (- ，- 5 .已知 1 、F2 分别是椭圆x2y21，(a b0)的左、右焦点，以原点 O 为8Fa2b2圆心， OF1为半径的圆与椭圆在y 轴左侧交于 A、B 两点，若 F2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率等于31 二、三角、立几、概率题1已知在 ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边，向量 mn(cos B,sin B) ， m n3sin BcosC (cos A,sin A) ，(1)求角 A 的大小；(2)若 a=3，求 ABC 面积的最大值解： (1) m

3、 ncos Acos Bsin Asin B ，又 mn3sin Bcos(AB)3sin Bcos A cosBsin Asin B ，3 s i nB2 sBi nAsi，nsin A3 ，2A2或 A33(2) a2b2c22bc cos A ，当 A3时， b2c2bc9bc ，s1A3b c93b cs i n44；2当 A2时， 9b2c2bc3bc ，故 bc3 ，3S1 bc sin A33 242如图，四边形 ABCD 为矩形，BC平面 ABE，F 为 CE 上的点，且 BF 平面 ACE(1)求证： AEBE；(2)设点 M 为线段 AB 的中点，点 N 为线段 CE 的中

4、点，求证：MN /平面 DAE 解： (1)因为 BC平面 ABE，AE平面 ABE，所以 AEBC，又 BF 平面 ACE， AE 平面 ACE，所以 AE BF，又 BF BC=B，所以 AE 平面 BCE，又 BE 平面 BCE，所以 AE BE(2)如图所示，取 DE 的中点 P，连结 PA，PN，因为点 N 为线段 CE 的中点所以PN/DC，且PN1 DC，2又四边形 ABCD 是矩形，点 M 为线段1所以 AM/DC，且 AMDC ，AB 的中点，2所以 PN/AM，且 PN=AM，故 AMNP 是平行四边形，所以 MN/AP，而 AP 平面 DAE， MN 平面 DAE，所以

5、MN/平面 DAE3从一副扑克牌的红桃花色中取 5 张牌，点数分别为 1，2，3，4，5 甲、乙两人玩一种游戏：甲先取一张牌，记下点数，放回后乙再取一张牌， 记下点数 如果两个点数的和为偶数就算甲胜，否则算乙胜(1)求甲胜且点数的和为6 的事件发生的概率；(2)这种游戏规则公平吗？说明理由解： (1)设 “甲胜且点数的和为6”为事件 A，甲的点数为 x，乙的点数为 y，则(x， y)表示一个基本事件，两人取牌结果包括(1，1)， (1，2)，(1 ，5)，(2，1)，(2，2)， (5，4)，(5，5)共 25 个基本事件； A 包含的基本事件有 (1，515)，(2， 4)，(3，3)，(4

6、，2)， (5，1)共 5 个，所以 P(A)= 25 =5 1所以，编号之和为6 且甲胜的概率为5 (2)这种游戏不公平设 “甲胜 ”为事件 B，“乙胜 ”为事件 C 甲胜即两个点数的和为偶数， 所包含基本事件数为以下 13 个： (1， 1)，(1，3)， (1，5)， (2，2)，(2，4)，(3，1)，(3， 3)，(3，5)，(4，2)， (4，4)，(5，1)， (5， 3)，(5， 5)；P(B)=13P(C)=1-1312所以甲胜的概率为25；乙胜的概率为25= 25，P(B) P(C)，这种游戏规则不公平三、解析几何题1已知过点 A( 1,0) 的动直线 l 与圆 C : x

7、2( y3)24 相交于 P,Q 两点， M 是PQ 中点， l 与直线 m : x 3 y60相交于 N (1)求证：当 l 与 m 垂直时， l 必过圆心 C ;(2)当 PQ 23 时，求直线 l 的方程 ;(3)探索 AMAN 是否与直线 l 的倾斜角有关 ?若无关，请求出其值；若有关，请说明理由解： (1) l 与 m 垂直，且 km1 ,k13,3故直线 l 方程为 y3(x 1), 即 3xy30.圆心坐标（ 0， 3）满足直线 l 方程，当 l 与 m 垂直时， l 必过圆心 C (2)当直线 l 与 x 轴垂直时，易知 x1符合题意当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l

8、的方程为 yk( x1), 即 kx y k0 ，PQ 23, CM4 31，则由 CMk31，得 k4 ，k 213直线 l : 4x 3y 40.故直线 l 的方程为 x1 或 4x 3 y 4 0.(3) CM MN, AM AN (AC CM) AN AC AN CM AN AC AN.当 l 与 x 轴垂直时，易得 N ( 1,5), 则 AN(0,5), 又 AC(1,3)，33AM ANAC AN5 当 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk( x1),yk( x1),6 ,5k ),则 AN(5,5k ).则由3y6得 N ( 3k1x0,13k3k13k13kAM AN

9、AC AN515k3k15.13k综上所述， AMAN 与直线 l的斜率无关，且 AMAN5 2已知 A、B 是椭圆 x2y21的左、右顶点，直线 xt (2t 2) 交椭圆于 M 、4N 两点，经过 A、M、N 的圆的圆心为 C1 ，经过 B、M、N 的圆的圆心为 C2 (1)求证 C1C2 为定值；(2)求圆 C1 与圆 C2 的面积之和的取值范围解： (1)由题设 A（-2，0），B（2，0），x，tt2t 2由解出x22M (t , 14 ), N (t ,14 ) y，14设 C1( x1,0), C2 (x2 ,0) ，由 x12(t x1)2t 2解出 x13(t2)184同理，

10、 2x2(x 2t )21t解出 x23(t2)， C1C2x2x13 (定值 )482(2)两圆半径分别为 x1 23t10 及2x2103t ，88两圆面积和 S(3t10)2(10 3t )2(9t 2 100)，6432所以 S 的取值范围是2578,43已知圆 F1 :( x 1)2y216 ，定点 F2 (1,0), 动圆过点 F2 ，且与圆 F1 相内切(1)求点 M 的轨迹 C 的方程；(2)若过原点的直线 l 与（1）中的曲线 C 交于 A，B 两点，且 ABF1 的面积为3 ，2求直线 l 的方程解： (1)设圆 M 的半径为 r ，因为圆 M 与圆 F1 内切，所以 MF

11、2r ，所以 MF1 4 MF2 ，即 MF1 MF24 所以点 M 的轨迹 C 是以 F1, F2 为焦点的椭圆，设椭圆方程为 x2y21(ab0) ，其中 2a 4, c1，所以 a2,b3a2b2所以曲线 C 的方程 x2y2143(2)因为直线 l过椭圆的中心，由椭圆的对称性可知，S ABF12S AOF1因为 S ABF13 ，所以 S AOF13 24不妨设点 A( x1, y1 ) 在 x 轴上方，则 S AOF 11 OF1y13 ，所以 y13 , x13 ，242即： A 点的坐标为 ( 3,3) 或 (3,3) ，22所以直线 l 的斜率为1 ，故所求直线方程为 x2y0

12、 24已知圆 C 的圆心在抛物线 x22 py( p0) 上运动，且圆C 过 A(0, p) 点，若MN 为圆 C 在 x 轴上截得的弦 .(1)求弦长 MN ；(2)设 AMl1 , AN l 2，求 l1l2的取值范围l 2l1解： (1)设 C(x0 , y0 ) ，则圆 C 的方程为：(x x0 ) 2( y y0 )2x02( y0p) 2 令 y0，并由 x022 py0 ，得 x22x0 xx02p20 ，解得 x1x0p, x2x0p, 从而 MNx 2 x12 p ，(2) 设MAN，因为112S MAN2l1 l2 sin2OA MNp ，所以2 p2，因为222，l1l2

13、l1 +l2- 2 l1l2cos =4psin所以 l 12+l 22= 4 p24 p2cos4 p2 (11 ) .sintanl1l 2224 p2 (11)sin所以l1 l2tan2(sincos ) 2 2 sin(45 )l 2l1l1l 22 p2因为 0900，所以当且仅当45时，原式有最大值22 ，当且仅当90时，原式有最小值为2，从而 l1l2的取值范围为 2,22 l2l1四、导数题1 汶川大地震后，为了消除某堰塞湖可能造成的危险，救授指挥部商定，给该堰塞湖挖一个横截面为等腰梯形的简易引水槽 （如图所示）进行引流，已知等腰梯形的下底与腰的长度都为 a ，且水槽的单位时

14、间内的最大流量与横载面的面积为正比， 比例系数 k 0 (1)试将水槽的最大流量表示成关于的函数 f ( ) ；(2)为确保人民的生命财产安全，请你设计一个方案，使单位时间内水槽的流量最大（即当 为多大时，单位时间内水槽的流量最大） 解： (1)设水槽的横截面面积为 s ，则 s1 a (a 2acos ) asina2 sin(1cos ).2所以 f ( )ksa2k sin(1 cos ),(0,).2(2)因为 f ()a2k(2cos 2cos1)，令 f ()0 ，则 2cos 2cos10 解得 cos1或 cos1 ，21由02知 cos1，所以 cos,.23当03时， f(

15、 )0 ，即 f ( ) 在 (0,) 上递增，3当3时， f( )0 ，即 f () 在 (3,) 上递减，22所以当时，水槽的流量最大，3即设计成的等腰梯形引水槽，可使单位时间内水槽的流量最大32某直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2m(1)过点 p 的一条直线与走廊的外侧两边交于A, B 两点，且与走廊的一边的夹角为(0) ，将线段 AB 的长度 l 表示为的函数；2(2)一根长度为 5m 的铁棒能否水平 （铁棒与地面平行） 通过该直角走廊？请说明理由（铁棒的粗细忽略不计） 解： (1)根据图得 l ()BP22(0,).AP,sincos2(2)解法 1：铁棒能水平通过该直

16、角直廊，理由如下：l ( ) (2) (2)sincos0 sin2 cos0 cos2 sin2(sin 2cos2) .sin 2cos2sin 2cos2令 l ( )0 得，4当 0时， l ()0, l ( ) 为减函数；4当时， l ()0, l ( ) 为增函数；42所以当时， l ()有最小值 4 2，4因为 425 ，所以铁棒能水平通过该直角走廊解法 2：铁棒能水平通过该直角走廊，理由如下： l ( )2 2(sincos) 24(1 2sin cos)sincossin 2cos2(sin484(11)244(21)24 ，cos ) 2sincossincossin 2因

17、为(0, ) ，所以 2(0, ) ，所以当 2,时，2有最小值 2sin 2224所以 l ( ) 2 有最小值 32， l ( ) 有最小值 4 2 ，因为 425 ，所以铁棒能水平通过该直角走廊3已知函数 f ( x)x24x(2a)ln x ，( aR ，且 a0 )(1)当 a18 时，求函数f (x) 的单调区间；(2)求函数 f ( x) 在区间 e,e2 上的最小值解： (1)当 a18 时 f(x) x24x16ln x(x0) ，f ( x)2x162( x2)( x4)4x.x由 f ( x)0 ，解得 x4 或 2x0.注意到 x0 ，所以函数 f (x) 的单调递增区

18、间是 (4, ).由 f ( x)0，解得 0x4 或 x2 ，注意到 x0 ，所以函数 f (x) 的单调递减区间是 (0,4).综上所述，函数 f (x) 的单调递增区间是 (4,) ，单调递减区间是 (0,4).(2)当 xe,e2 时， f ( x)x24x(2 a)ln x,f (x) 2x 42 a 2x24 x 2 a ，xx设 g (x)2x24x 2a ，当 a0 时，有1642(2a)8a0 ，此时 g(x)0 恒成立，所以 f( x)0, f ( x) 在 e,e 2 上单调递增，所以 f ( x)minf (e)e24e2 a.当 a0 时，1642(2a)8a 0，令

19、 f ( x)0 ，即2x24x2a0 ，解得 x12a或 x12a ；22令 f ( x)0 ，即2x24x2a0，解得 12ax12a .22当 12ae2 , 即 a2(e21)2 时 f ( x) 在区间 e,e2 上单调递减，2所以 f ( x)minf (e2 )e44e242a ；当 e12ae2 ，即 2(e1)2a 2(e21)2 时， f (x) 在区间 e,12a 上单22调递减，在区间 12a,e 2 上单调递增，2所以 f ( x)minf (12a )a2a 3 (2a)ln(12a ) ；222当 12a0a2时， f ( x) 在区间2e ，即2(e 1)e,

20、e 上单调递增，所以2f ( x)minf (e)e24e2a.综上所述，当 a2(e21)2 时， f ( x) mine44e242a ；当 2(e1)2a2(e21)2 时， f ( x)mina2a3(2a)ln(12a ) ；22当 a0 或 0 a2(e1)2 时， f ( x) mine24e 2a.4函数 f ( x)x33x (1)求函数 f ( x) 的极值；(2)已知 f (x) 在 t,t2 上是增函数，求t 的取值范围；(3) f ( x) 在 t, t2 上最大值 M 与最小值 m 之差 Mm 为 g (t ) ，求 g(t) 的最小值解： (1)f(x) 3x23

21、 ，令 f (x)0 ， x1 ，x(,1)1(1,1)1(1,)f ( x)+00+f ( x)2- 2所以， f (x) 极大 = f ( 1)2，f (x) 极小 = f (1)2.(2) f ( x) 在 t,t2 上是增函数，必须有 t21或 t1，所以 t 的取值范围是 (- ,-31， ).(3)当 t3 时， mf (t) ， Mf (t2) ， g(t )Mm6t 212t2 ，令 f (t2)f (t) ， 6t 212t20 ， t16 ，3当3t16 时， mf (t ) ， M2， g(t)t 33t2 ，3当16t1 时， mf (t2)，M2， g(t )t36t

22、 29t ，3当1t16 ， m2， Mf (t ) ， g(t )t 33t2，3当 16t1 时， m2， Mf (t2) ， g (t )t36t 29t 4 ，3当 t1时， mf (t) ， Mf (t2) ， g(t)6t212t2 6t 212t2(t3),t 33t2(3t16 ),3t36t29t( 16t1),g(t)36 ),t 33t2(1t13t36t 29t 4( 16t 1),6t 2312t2(t1),g(t) 最小值为 g(16 )g(16 )22 6 339五、数列题1已知等差数列 AN的首项为 a，公差为 b，等比数列 BN 的首项为 b，公比为a，其中

23、a,b 都是大于 1 的正整数，且 a1<b1，b2<a3(1)求 a 的值；(2)若对于任意的 nN* ，总存在 m N* ，使得 am 3bn 成立，求 b 的值；(3)令 cnan 1bn ，问数列 cn 中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由解：(1)由已知，得 ana ( n1)b, bnb an 1 由 a1 b1,b2a3 ，得 aba, a b 2.因 a,b 都为大于 1 的正整数，故 a2 又 ba ，故 b3 再由 aba 2b，得 (a 2)ba. 由 ba ，故 (a2)bb ，即 (a 3)b0.由 b3

24、，故 a3 0 ，解得 a3.于是2a3 ，根据 aN* ，可得 a2 (2)由 a2 ，对于任意的 nN* ，总存在 mN* ，使得 b(m 1) 5b 2n 1 ，则 b(2 n 1m 1)5 又 b3, b N* ，由数的整除性，得b 是 5 的约数故 2n 1m11,b 5所以 b5 时，存在正自然数 m 2n1 满足题意(3)设数列 cn中， cn , cn 1, cn 2成等比数列，由 cn2 nbb 2n 1,( cn 1 )2cn cn 2 ，得 (2nbbb 2n )2(2 nbb 2n 1)(2nb 2bb 2n 1) 化简，得 b2n( n2) b 2n1 当 n1时，

25、b1，等式成立，而 b3，不成立当 n2时， b4，等式成立当 n3时,b2n(n 2) b 2n 1(n2)b 2n 14b ，这与 b3矛盾这时等式不成立综上所述，当 b4 时，不存在连续三项成等比数列；当 b4 时，数列cn 中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，502已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，数列 Sn1 是公比为 2 的等比数列(1)证明：数列an 成等比数列的充要条件是a13 ；(2)设 bn5n( 1)n an (nN* )若 bnbn 1 对 nN* 恒成立，求 a1 的取值范围解： (1)因为数列 Sn1 是公比为 2 的等比数列，所以 Sn 1

26、S1 1 2n 1 ，即 Sn 1 (a1 1) 4n 1 因为 ana1, n 1,所以 aa1 , n 1,SnSn 1 , n2,n3(a1) 4n 2 ,n 2,1显然，当 n2 时， an14 an充分性：当 a1 3时， a24 ，所以对 nN* ，都有 an 14 ，即数列 an 是等a1an比数列必要性：因为an是等比数列，所以 a24 ，即 3(a11)4 ，解得 a13 a1a1(2)当 n1 时， b15a1 ；当 n2时， bn5n( 1)n3(a11) 4n2 (a11) 当 n 为偶数时，5n3(a11)4n25n 13(a11)4n 1 恒成立即 15(a1 1)

27、 4n24 5n 恒成立故 a1(1,) 当 n 为奇数时，b1b2 且 bnbn1( n3) 恒成立由 b1b2 知， 5a1253(a11) ，得 a117 4由 bnbn1 对 n3 的奇数恒成立，知5n3(a11) 4n 25n1 3(a11)4n 1 恒成立，即 15(a11)4n245n 恒成立，所以 a1120 ( 5 )n2 恒成立34因为当对 n3的奇数时， 20 ( 5) n2 的最小值为 25 ，所以 a122 3433又因为 1722，故 1a117 434( 1,17)综上所述， bnbn1 对 nN*恒成立时， a143已知等差数列 an的首项为 a ，公差为 b

28、，等比数列 bn的首项为 b ，公比为a （其中 a, b 均为正整数）(1)若 a1b1 , a2b2 , 求数列an 、 bn 的通项公式；(2)在 (1)的条件下，若 a1 , a3 ,an 1 ,an 2 , an k ,(3n1n2nk) 成等比数列，求数列nk的通项公式；(3)若 a1b1a2b2a3 , 且至少存在三个不同的b 值使得等式 amtbn (tN)成立，试求 a 、 b 的值解： (1)由 a1b1, a2b2 ,得：ab,bab,a解得， a b0或 ab 2 ，a, b N* ,ab2, 从而 an2n,bn 2n.(2)由(1),得 a12, a3 6,a1 ,

29、a3 , an 1, an 2 , , an k ,构成以 2为首项， 3 为公比的等比数列，即 an k2 3k 1 ，又 an k2nk , 故 2nk2 3k 1,nk3k1 (3)由 a1b1a2b2a3 ,得 abab aba 2b, 由 abab ,得 a(b 1) b;由 aba2b，得 a(b1) 2b,而 a,b N* , ab, 即 ba1,从而得 111ba2b24,a2或 3，b1b12b 1b 1当 a3时， b2不合题意，故舍去，所以满足条件的a 2 又 am2b(m1),bnb 2n 1 ，故 2b(m1)tb 2n 1 ,即 (2n1m1)b 2t 若2n1m1

30、0 ，则 t2N，不合题意；若2n1m10 ，则 b2t，由于2n 1m1 可取到一切整数值，且2n 1m1b 3，故要至少存在三个 b 使得 amt bn (tN) 成立，必须使整数 2+t 至少有三个大于或等于 3的不等的因数，故满足条件的最小整数为12，所以 t 的最小值为10，此时 b=3 或 4 或 124设数列 S1 , S2 ,是一个严格递增的正整数数列(1)若 SS1 ,SS是该数列的其中两项，求证 :SS1SS ;kk 1kk 1(2)若该数列的两个子数列 SS和 S1S1,都是等差数列，求证 :这两S 1, S 2S 1, S 2个子数列的公差相等 ;(3) 若(2)中的公差为 1，求证 : SSk 1 SSk 1 ,并证明数列 Sn 也是等差数列证： (1)由条件知 : Sk1Sk 1SSk 1SSk 1 (2)设两子数列的首项分别为a, b, 公差分别为 d1 , d2 SSSSk1SSkk 1a ( k1)d1b (k 1)d2 a kd1即 a b(k 1)(d2 d1 ) a b d1上式左，右端皆为常数 ,中间的 kN,故必须 d2d10 ，d1d2(3)公差为 1,SSk 1SSk1 又数列Sn 是严格递增的正整数数列,SSk1SSk 1SSk 1 SSk 1又由 (1)知SSk 1 SSk