《推理与证明》知识点

1、精品文档、推理1.1. 推理：前提、结论2.2. 合情推理：合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：(1) 归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或 者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理(2 2 )类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具 有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理3.3. 演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎

2、推理的形式进行证明题型 1 1 用归纳推理发现规律1 1、观察：7152 11；5.516.52 11；,3.19.32 A1; - -. .对于任意正实数a,b,试写出使4a Jb 2師成立的一个条件可以是 _ . .点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为2 2、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂 巢的截面图. .其中第一个图有 1 1 个蜂巢，第二个图 有 7 7 个蜂巢，第三个图有 1919 个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数. .则f(4)=_; ;f(n)=_推理与证明知识结构2222,精品文档【名师指引】

3、处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系1-，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是 _3解析原问题的解法为等面积法，即S丄ah 31ar2 21111V Sh 4 Sr rh即正四面体的内切球的半径是高一3344【名师指引】(1 1)不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比(2(2 )类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性 质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等二、直接证明与间接证明三种证明方法：综合法、分析法、反证法反证法：它是一种间接的证明方法用这种方法证明一个命题的一般步骤：(1)(1) 假设命题的结论不成立；(2)(

4、2) 根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止(3)(3) 断言假设不成立(4)(4) 肯定原命题的结论成立重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并运用 三种证明方法分析问题或证明数学命题考点 1 1 综合法在锐角三角形ABC中，求证: :si nA si nB si nC cosA cosB cosC解析ABC为锐角三角形，AB A B，2 2y sinx在(0,)上是增函数，同理可得sinB cosC，sinCsin A sin(B) cosB2cosAsin A sinB sinC cosAcosB cosC考点 2 2 分析法已知a b

5、0, ,求证,a .ba b【解题思路】 找出f(n) f(n 1)的关系式解析f(1) 1, f (2)16, f (3)16 12,f (4)16 12 1837f(n )16 12186(n1) 3n23n 1题型 2 2 用类比推理猜想新的命题例已知正三角形内切圆的半径是高的r h，类比问题的解法应为等体积法,3精品文档解析要证a ,b a b，只需证C-a . b)2(、a b)2即a b 2 ab a b，只需证b . ab，即证b a显然b a成立，因此,a b a b成立【名师指引】注意分析法的“格式”是“要证-只需证-”，而不是“因为-所以-”考点 3 3 反证法x 2已知f

6、(x) ax-(a 1)，证明方程f(x) 0没有负数根x 1【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾x 2解析假设X。是f(x) 0的负数根，贝y X。0且X。1且ax0 xo10 ax。10土2 1，解得x。2，这与X。0矛盾，X。12故方程f (x)0没有负数根【名师指引】否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多三、数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 N N 的所有正整数 n n 都成立时，可以用以下两个步骤：(1)(1)证明当 n=nn=n。时命题成立； 假设当 n=kn=k( ()时命题成立，证明 n=k+1n=k+1 时

7、命题也成立. .在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n n0的所有正整数都成立. .这种证明方法称为 数学归纳法. .考点 1 1 数学归纳法题型：对数学归纳法的两个步骤的认识例 1 1 已知 n n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=kn=k (k 2且为偶数)时命题为真，则还需证明()A.n=k+1A.n=k+1 时命题成立B.B. n=k+2n=k+2时命题成立C.C. n=2k+2n=2k+2 时命题成立D.D. n=2n=2( k+2k+2)时命题成立解析因 n n 是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k k 的下一个偶数是 k+2k+2,故选 B B【名师指

8、引】用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面：(1 1) n n 的范围以及递推的起点(2 2)观察首末两项的次数(或其它)，确定 n=kn=k 时命题的形式f(k)(3 3)从f(k 1)和f(k)的差异，寻找由 k k 到 k+1k+1 递推 中，左边要加(乘)上的式子考点 2 2 数学归纳法的应用题型 1 1:用数学归纳法证明数学命题精品文档用数学归纳法证明不等式1 1 2 22 2 3 3. . n(nn(n 1)1)1(n(n 1)1)2解析( (1 1)当 n=1n=1 时，左= =，右=2=2，不等式成立(2)假设当 n=kn=k 时等式成立，即1 2 2 3 . k(k 1) *(k 1)2则.1 2.2 3,k(k 1),(k 1)(k 2)你俨.(k 1)(k 2)12- (k 2)2- (k 1) (k 2)2(k 1) (k 1)( k 2)(k 1)(k 2)1 22 3. k(k 1). (k 1)(k 2) -(k 1) 12当 n=k+1n=k+1 时， 不等式也成立 综合(1 1) (2 2),等式对所