勾股定理学习知识重点情况总结归纳

1、精心整理第18章勾股定理复习知识归纳1 .勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a， b，斜边为c ,那么a2 b2 c2勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角 形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数学家商高 就提出了勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关 系为：两直角边的平方和等于斜边的平方2 .勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是ba 图形进过割补拼接后，

2、只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股 定理常见方法如下：A方法一:4SS正方形 EFGH S正方形 ABCD， 4 ab (b a)2 c2，化简可证.方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S 4 ab c2 2ab c22大正方形面积为S (a b)2 a2 2ab b2所以a2 b2 c2、111斤方法三：S梯形(a b) (a b) ， S梯形2S ade S abe 2 ab c，化间得222证3 .勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数

3、量关系， 它只适用于直角三角形，对于锐角三角 形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角 三角形4 .勾股定理的应用 已知直角三角形的任意两边长，求第三边在 ABC 中，C 90，则 c . a2 b2 ， bc2 a2， a . c2 b2 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 可运用勾股定理解决一些实际问题5、利用勾股定理作长为的线段作长为/、厂、“的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于,直角边为/和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作精心整理作法：如图所示1的直角解必。斜边为昭;朋具，这样斜边丿月、肋

4、1、虫耳、£tiACB，使AB为斜边;（1）作直角边为1 （单位长）的等腰直角（2）以AB为一条直角边，作另一直角边为（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形 耳的长度就是举一反三【变式】在数轴上表示 ：|的点。解析：可以把严|看作是直角三角形的斜边，门一 I ， 为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是 3和1作法：如图所示在数轴上找到 A点，使0A=3，作AC丄OA且截取AC=1，以0C为半径，以0为圆心做弧，弧与数轴的交点 B即为/ - o注：逆命题与勾股定理逆定理可以判断真假的陈述句叫做 命题，写出下列原命题的逆命题并判断是否

5、正确1 原命题：猫有四只脚.（正确）2原命题：对顶角相等（正确）3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.（正确）4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等.（正确）思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。解析：1逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.？（正确）4逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.（正确）总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。6. 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理的证明方法要掌握，书 74页如果三角形三边长a， b， c满足a2 b2 c2，那么这

6、个三角形是直角三角形，其中c为斜边 要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2= a2+b2，则 ABC是以/C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2,则厶ABC是以/ C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2,则厶ABC为锐角三角形）。（定理中a，b，c及a2 b2 c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b， c满足a2 c2 b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角

7、三角形，但是 b为斜边） 3:勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。4 :互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。规律方法指导1 勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。2 勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题 目。3勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中

8、易犯的主要 错误。4勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长 a，b，c有下列关系：a2+b2= c2，?那么这个三角形是 直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法.5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学 习加深对数形结合”的理解.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫 做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 a2 b2与较

9、长边的平方c2作比 较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若a2 b2 c2，时，以a，b，c为 三边的三角形是钝角三角形；若a2 b2 c2，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形； 定理中a，b，c及a2 b2 c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b， c满足a2 c2 b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是 b为斜边 勾股定理的逆定理在用问题描述时， 说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形7. 勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2 b2 c2中，a， b， c为正整数时

10、，称a，b， c为一组勾股数 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25等 用含字母的代数式表示n组勾股数：n2 1,2n,n2 1 （ n 2, n为正整数）；2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1 （ n 为正整数）m2 n2,2mn,m2 n2 （ m n, m， n 为正整数）8 勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是 什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂

11、线） ，构造直角三角形，以便正 确使用勾股定理进行求解.9勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形， 在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.10.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中， 是密不可分的一个整体.通常既要 通过逆定理判定一个三角形是直角三角形， 又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对 问题的解决.常见图形：题型一：直接考查勾股定理例1 .在 ABC中， C 90 已知 AC 6 ,

12、 BC 8 求AB的长 已知AB 17, AC 15，求BC的长解： AB . AC BC 10 BCAB AC 8分析：直接应用勾股定理a2 b2 c2题型二：应用勾股定理建立方程例2 .在 ABC 中， ACB 90 , AB 5 cm , BC 3 cm , CD AB于 D , CD =_已知直角三角形的两直角边长之比为 3:4 ,斜边长为15 ,则这个三角形的面积为已知直角三角形的周长为30 cm，斜边长为13 cm，则这个三角形的面积为 分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高 的乘积有时可根据勾股定理列方程求解解： AC、AB2 BC2 4 ,

13、CD AC BC 2.4AB设两直角边的长分别为3k , 4k2 2 2(3k)(4k)15 ,k 3, S 54亠2 2AC 4 AC 3例4.如图Rt ABC ,C 90 AC 3,BC4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理 例5.如图有两棵树，一棵高8cm,另一棵高2 cm ,两树相距8 cm , 一只小鸟从一棵树的 树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了m分析：根据题意建立数学模型，如图AB 8 m , CD 2 m , BC 8 m，过点 D 作DE AB，垂足为 E，贝U AE 6 m , DE 8 mDC在Rt ADE中，由勾股定理得 AD .

14、AE2 DE2 10答案：10 m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形 例6.已知三角形的三边长为a , b , c,判定ABC是否为Rt a 1.5, b 2 , c 2.5 a 5, b 1, c -43设两直角边分别为a , b，则a b 17 , a2 b2 289，可得ab 60 S -ab 30cm22例 3 .如图 ABC 中， C 90 ,12 , CD 1.5, BD 2.5，求 AC 的长分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB于E ,Q 12 , C 90在 BDE中在 Rt ABC 中， C 902 2 2 2AB AC BC

15、 , (AE EB)解： Qa2 b2 1.52 226.25 , c22.526.25ABC是直角三角形且 C 90Qb2 c2 13 , a2 25 , b2 c2 a2ABC不是直角三角形916例7.三边长为a , b , c满足a b 10 , ab 18 , c 8的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形理由：Qa2 b2 (a b)2 2ab 64，且 c264a2 b2 c2 所以此三角形是直角三角题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知 ABC中，AB 13cm，BC 10 cm，BC边上的中线 AD 12 cm，求证:AB AC经典例题透析类型一：勾股定理的

16、直接用法1、在 RtAABC 中，/ C=90°(1)已知 a=6，c=10,求 b，(2)已知 a=40, b=9，求 c； (3)已知 c=25，b=15，求 a.思路点拨：写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用举一反三【变式】：如图/ B=Z ACD=90° ,AD=13,CD=12,BC=3侧AB的长是多少类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，一匸一：，丄-二1 .求：BC的长举一反三【变式1】如图，已知:ZC = 90°，倔丄AB 于 p.求证：加 "0十虻【变式2】已知：如图，/ B=Z D=90

17、76;，Z A=60 °，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC ,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60方向走了：到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了 500m到达目的地C点。（1）求A、C两点之间的距离。（2）确定目的地C在营地A的什么方向。举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5米，宽1.6米，

18、要开进厂门形 状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 ？（二）用勾股定理求最短问题举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为 20cm,高AE为4cm,EC是上底面的直径一只蚂蚁从 点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C,试求出爬行的最短路程.解:类型四：利用勾股定理作长为斤的线段5、作长为'、广的线段。举一反三【变式】在数轴上表示 * 的点。7、如果 ABC的三边分别为 a b、c,且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断 ABC 的形状。【变式2】已知: ABC的三边分别为m2 n2,2mn,m2+n2（m,n为正整数，且m> n）,判断 ABC是否为

19、直角三角形96分析:本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明：a2+b2=c2即可丄【变式3】如图正方形ABCD , E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB < 请问FE与DE是否垂直？请说明。类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是 3： 4,斜边长是20，求此直角三角形的面积。 举一反三【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积。'【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm,求直角三角形的面积。6（cm2）【变式3】若直角三角形的三边长分别是 n+1，n+2，n+3,求n。n = 2【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、

20、8, 15, 17B、4, 5, 6C、5, 8, 10D、8, 39, 40【变式 5】四边形 ABCD 中, / B=90°, AB=3 , BC=4, CD=12, AD=13 , 求四边形ABCD的面积。2、如图，公路 MN和公路PQ在点P处交汇，且/ QPN= 30°，点A处有一所中学，AP二160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉 机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？此FA Q常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角答：拖

21、拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为 24秒。 总结升华：勾股定理是求线段的长度的很重要的方法，若图形缺少直角条件，则可以通过作辅助垂线 的方法，构造直角三角形以便利用勾股定理。举一反三【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了 路（假设2步为1m）,却踩伤了花草。【答案】4类型三：数学思想方法 （一）转化的思想方法 我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时, 三角形问题来解决.3、如图所示， ABC是等腰直角三角形，AB=AC , D是斜边BC的中点，E、F分别 是AB、AC边上的点，且 DE丄DF，若BE=12 , CF=5.求线段EF的长。解：连接AD .所以EF=13。总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可 以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。（二）方程的思想方法4、如图所示，已知 ABC中，/ C=90°,/ A=60°,门：/，求；、®、二的值"