理论力学Y07第七章点的运动学

1、第七章第七章 点的运动学点的运动学第七章第七章 点的运动学点的运动学 中国矿业大学力学与工程科学系力学与工程科学系二一年二月第七章第七章 点的运动学点的运动学运运 动动 学学引言：引言：运动学是研究物体运动几何性质的科学。运动学是研究物体运动几何性质的科学。（轨迹、运动方程、速度、加速度轨迹、运动方程、速度、加速度）从几何的角度研究物体在空间的位置随时间变化的性质。从几何的角度研究物体在空间的位置随时间变化的性质。（不考虑物理因素不考虑物理因素）1、运动的相对性。、运动的相对性。2、参考、参考(物体物体)坐标系。坐标系。4、轨迹、位移、速度、加速度。、轨迹、位移、速度、加速度。5、研究对象：点

2、、刚体。、研究对象：点、刚体。3、瞬时、瞬时 t 和时间间隔和时间间隔 。t第七章第七章 点的运动学点的运动学第第7 7章章 点的运动学点的运动学第七章第七章 点的运动学点的运动学运动方程运动方程xzyOrPrPrP7-1 7-1 矢径法矢径法r (t)矢矢径径第七章第七章 点的运动学点的运动学vxzyOPPrrrrvtttddlim0速速 度度第七章第七章 点的运动学点的运动学xzyOPvPrvvvatttddlim0rra 22ddt第七章第七章 点的运动学点的运动学xzyx = f1(t)y = f2(t)z = f3(t)直角坐标下的点的运动方程直角坐标下的点的运动方程也是点的轨迹的也

3、是点的轨迹的参数方程参数方程第七章第七章 点的运动学点的运动学xzykjirzyx)()(kjikjirvzyxzyx0ddddddtktjtikjikjirvzyxvvvzyxzvyvxvzyx,速度的大小：速度的大小：222zyxvvvv222zyx速度的方向：速度的方向：,),cos(vxvvivx,),cos(vyvvjvyvzvvkvz),cos( 动点的速度在直角坐标轴上的投影等动点的速度在直角坐标轴上的投影等于动点各相应的于动点各相应的坐标对时间的一阶导数坐标对时间的一阶导数。第七章第七章 点的运动学点的运动学xzykjikjivazyxaaatztytxt222222ddddd

4、ddd222222dd,dd,ddtzatyatxazyx 即动点的加速度在直角坐标轴上的即动点的加速度在直角坐标轴上的投影等于动点各相应速度的投影对时间投影等于动点各相应速度的投影对时间的一阶导数，的一阶导数，或等于其相应坐标对时间或等于其相应坐标对时间的二阶导数。的二阶导数。加速度的大小：加速度的大小：222zyxaaaa,),cos(axaaiax ,),cos(ayaajay azaakaz ),cos(222zyx 第七章第七章 点的运动学点的运动学1、运动方程、运动方程zkyjxitrr)(2、点的速度在直角坐标轴上的投影、点的速度在直角坐标轴上的投影dtdrv kzj yi xk

5、vjvivzyx, xdtdxvx, ydtdyvyzdtdzvz速度的大小：速度的大小：222zyxvvvv222zyx3、点的加速度在直角坐标轴上的投影、点的加速度在直角坐标轴上的投影dtdva kzj yi x kajaiazyx加速度的大小：加速度的大小：222222zyxaaaazyx ),(1tfx ),(2tfy )(3tfz 若已知运动方程求速度、加速度，直接若已知运动方程求速度、加速度，直接求导数求导数。若已知速度、加速度求运动方程，若已知速度、加速度求运动方程，求积分求积分（需要初始条件）。（需要初始条件）。第七章第七章 点的运动学点的运动学dBPlACABOA,，常常数数

6、第七章第七章 点的运动学点的运动学dBPlACABOA,，常常数数解：解：cos)(BPCBxtdlcos)2(sinBPy tdsinP点的运动方程：点的运动方程：tdlx)cos(2 tdysin消去时间消去时间 t ，得到轨迹方程：，得到轨迹方程：1222dydlxP点的速度：点的速度：tdlxvx)sin(2 22yxvvvtdtdlv222222cossin)2(tdtdl2222cossin)2(tdyvycos 第七章第七章 点的运动学点的运动学dBPlACABOA,，常常数数解：解：P点的运动方程：点的运动方程：tdlx)cos(2 tdysin轨迹方程：轨迹方程：1222dy

7、dlxP点速度：点速度：tdyvtdlxvyxcos)sin(2P点的加速度：点的加速度：tdyaysin2 tdtdlv2222cossin)2(22yxaaatdtdl22222sincos)2(vvivx),cos(vvjvx),cos(aaiax),cos(aajay),cos(tdlxax)cos(22 第七章第七章 点的运动学点的运动学xOyCMvo解：建立图示直角坐标系解：建立图示直角坐标系)sin(trvrtvxootrvo)cos1 ()cos(ddooooxvtrvvvtxv运动方程运动方程:速度速度:2222sin)cos1 (oyxvvvvEv2sin),cos(vvx

8、iv轮心速度轮心速度vo，半径，半径r，只滚不滑。，只滚不滑。)cos(trvrryosin)sin(ddoooyvtrvvtyv)cos1 (2ov2sin2ov2cos),cos(vvyjv求：求：M点的运动方程、速度、加速度。点的运动方程、速度、加速度。第七章第七章 点的运动学点的运动学速度速度:加速度加速度:sinsindd22rvtrvrvtvaoooxxrvaaaoyx222sin),cos(aaxia),(,90),(jaiaxOyCMvoa)cos1 ()cos(ddooooxvtrvvvtxvsin)sin(ddoooyvtrvvtyvcoscosdd22rvtrvrvtva

9、oooyycos),cos(aayja第七章第七章 点的运动学点的运动学曲柄连杆机构曲柄连杆机构CBOC ,lABrOAt求：滑块的运动方程、速度和加速度求：滑块的运动方程、速度和加速度解：解：OBx sinsinlr222sin1sin1coslr按二项式定理展开，得到：按二项式定理展开，得到：4422sin2112121sin211coslrlr4422sin81sin211lrlr41lr20481814lr22sin211coslrcoscoslr第七章第七章 点的运动学点的运动学coscoslrx22sin211coslr22cos12112lr2cos4141122lrlr2cos

10、41411cos22lrlrlrx即：即：tlrtrlrlx2cos41cos4112tlrtrv2sin21sintlrtra2coscos2第七章第七章 点的运动学点的运动学7-3 7-3 自然法自然法 如果点沿着已知的轨迹运动，则点的运动方如果点沿着已知的轨迹运动，则点的运动方程，可用点在已知轨迹上所走过的程，可用点在已知轨迹上所走过的弧长随时间弧长随时间变化的规律变化的规律描述。描述。弧坐标具有以下要素：弧坐标具有以下要素：1、有坐标原点、有坐标原点(一般在轨迹上任选一一般在轨迹上任选一参考点作为坐标原点参考点作为坐标原点)；2、有正、负方向、有正、负方向(一般以点的运动方一般以点的运

11、动方向作为正向向作为正向)；3、有相应的坐标系、有相应的坐标系(自然轴系自然轴系)。s = f (t)(ts是时间是时间t 的单值连续函数。的单值连续函数。第七章第七章 点的运动学点的运动学s-s+T()N(主法线主法线)自然轴系自然轴系B(副法线副法线)PT N B ebetenPP密切面：密切面：P的极限平面。的极限平面。第七章第七章 点的运动学点的运动学()N(主法线主法线)(副法线副法线)基矢量基矢量eteneb跟随动点在轨迹上作空跟随动点在轨迹上作空间曲线运动。间曲线运动。eb=eten第七章第七章 点的运动学点的运动学第七章第七章 点的运动学点的运动学tsstddddddrrv1l

12、imdd0sstrr所以所以srddtserdd而而vsts ddtvev 0tdsrsstsvdd 若若0s 0v,则则，即点沿着即点沿着s+的方向运动；的方向运动；反之点沿着反之点沿着s的方向运动；的方向运动； tvev 中中 v 和和 et 分别表示速度的大小与方向。分别表示速度的大小与方向。te第七章第七章 点的运动学点的运动学tevvav, ttvveeatssttddddddddtteee 1vs ?te 第七章第七章 点的运动学点的运动学etetet122sinlim0etetetetetenneeddtttee0limdd2sin2lim0tetsstddddddddtttee

13、e nvetssttddddddddtteee 1vs tetetete的极限方向：的极限方向：22, 0第七章第七章 点的运动学点的运动学ntvtveea2ddttvveeatsstddddddddttteee nvebbnnttaaaeeeastvat dd切向加速度切向加速度2van法向加速度法向加速度0bantaaannttaaeea第七章第七章 点的运动学点的运动学stvat dd切向加速度切向加速度表示速度矢量大小的变化率；表示速度矢量大小的变化率；2van法向加速度法向加速度表示速度矢量方向的变化率；表示速度矢量方向的变化率；0ba即即表明加速度表明加速度在副法线在副法线方向没有

14、分量；方向没有分量；还表明速度矢量还表明速度矢量和加速度矢量和加速度矢量都位于密切面内。都位于密切面内。ntn2taaaaatan,2atana第七章第七章 点的运动学点的运动学nteea2vdtdv22dtsddtdvat当当0, 0dtdvv或或0, 0dtdvv 加速运动；加速运动； 当当0, 0dtdvv或或0, 0dtdvv 减速运动；减速运动； 法向加速度：法向加速度：2van为曲率半径，为曲率半径，02van指向曲率中心。指向曲率中心。切向加速度：切向加速度：全加速度全加速度22222vdtdvaaant第七章第七章 点的运动学点的运动学5、几种特殊情况：、几种特殊情况：（1）直

15、线运动：）直线运动： 曲率曲率dtdvaaatn, 0, 0（2）匀速曲线情况：）匀速曲线情况：v =常数常数, 0dtdv, 0tana2vvtss0（3）匀变速曲线运动：）匀变速曲线运动：constdtdvatttvvdtadv00tavvt0dtdsv ttvvssdttavvdtds00)(0020021tatvsst消去时间消去时间 t ，得到：，得到：)(20202ssavvt自然法用于轨迹已知的情况；自然法用于轨迹已知的情况；直角坐标法用于轨迹未知或已知的情况。直角坐标法用于轨迹未知或已知的情况。第七章第七章 点的运动学点的运动学s解：建立图示弧坐标解：建立图示弧坐标OMAB2C

16、tRRs2)2(Rtsv2dd加速度加速度:速度速度:运动方程运动方程:0ddtvatva已知：已知：R， = t ( 为常数为常数）求：求：(1)小环小环M 的运动方程、速度、加速度的运动方程、速度、加速度(2)小环小环M 相对于相对于 AB 杆的速度、加速度杆的速度、加速度224RRvan第七章第七章 点的运动学点的运动学OMAB2C(2) 建立图示直角坐标系建立图示直角坐标系tRRxMcos2cos2tRtxvMMsin2ddtRtvaMMcos2dd2运动方程运动方程:速度速度:加速度加速度:xy第七章第七章 点的运动学点的运动学例题例题7-5已知点在平面中的运动方程为：已知点在平面中

17、的运动方程为：)(),(21tfytfx证明：证明：22yxyyxxa 22yxxyyxan xyyxyx 2322解：解：22yxv 22yxa 22yxyyxxdtdva 222naaa22aaan22222yxyyxxyx 22yxxyyx 2vannav2nayx22 xyyxyx 2322第七章第七章 点的运动学点的运动学结果简明，具有概括性，且与坐标选择结果简明，具有概括性，且与坐标选择 无关。对于实际问题需将变矢量及其导无关。对于实际问题需将变矢量及其导 数表示成标量及其导数的形式。数表示成标量及其导数的形式。实际问题中，一种广泛应用的方法。实际问题中，一种广泛应用的方法。应用于运动轨迹已知的情形，其最大特应用于运动轨迹已知的情形，其最大特 点是将速度矢量大小的变化率和方向变点是将速度矢量大小的变化率和方向变 化率区分开来，使得数学表达式的含义化率区分开来，使得数学表达式的含义 更加清晰。更加清晰。第七章第七章 点的运动学点的运动学已知运动轨迹，确定速度与加速度；已知运动轨迹，确定速度与加速度；给定约束条件，确定运动轨迹、速度、加速度。给定约束条件，确定运动轨迹、速度、加速度。 已知加速度以及运动的初始条件，确定速度和已知加速度以及运动的初