华杯赛小高组专题下

1、华杯赛小高组第一讲等差数列知1、数列定义：若干个数排成一列，像这样一串数，称为数列。数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首项（我们将a用来表示），第二个数叫做第二项 以此类推，最后一个数叫做这1个数列的末项（我们将a用 来表示，）数列中数的个数称为项数，我们n将来用表示。如2：，4，n6，8，1002、等差数列：从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。我们将这个差称为公差（我们用d 来表示），即： da2a1a3a2an 2an 1anan 1例如：等差数列3：、6、9 96，这是一个首项3为，末项为96，项数为32，公差为3的数列（。省略号表示什么？）练习1：试举

2、出一个等差数列，并指出首项、末项、项数和公差。3、 计算等差数列的相关公式：（1）通项公式：第几项首项（项数1）×公差即：ana1(n1)d（2）项数公式：项数（末项首项÷公）差1即：n(ana1 )d1（3）求和公式：总和（首项末项×）项数÷2即：a1a2a3ana1ann2在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。求总和时，应先求出项数，然后再利用等差数列求和公式求和。例 1、计算 2+4+6+96+98+100。练习： 1、计算 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10。2 、计算 12+13+14+29+30+31。3 、试用两种方法计算以下题目：

3、（1）、 73+77+81+85+89+93（2）、995+996+997+998+9991华杯赛小高组4 、求出所有的两位数的和。例 2、计算：（1）100+95+90+15+10+5。练习： 1、计算： 1+2+3+4+5+99+100+99+98+3+2+1。2 、有 10 只盒子， 44 只乒乓球，把这 44 只乒乓球放到盒子中，能不能使每个盒子中的球数都不相同（每个盒子中至少要放一个球）？例 3、小红读一本长篇小说，第一天读了 30 页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多 4 页，最后一天读了 70 页，刚好读完。问：这本小说共有多少页？练习： 1、影剧院有座位若干排，第一排有 2

4、5 个座位，以后每排比前一排多 3 个座位，最后一排有 94 个座位。问：这个影剧院共有多少个座位？2 、有一堆木材堆在一起，一共 25 层，第一层有 3 根，第二层有 4 根，下面每一层比上一层多 1 根，这堆木材共有多少根？3、时钟每逢几时就敲几下，每半点时钟敲 1 下。问：一昼夜该时钟总共敲了多少下？2华杯赛小高组例 5、计算（ 2+4+6+18+20） （1+3+5+17+19）。练习： 1、20132012+20112010+32+1。2 、（1+3+5+79） （2+4+6+78）。3 、100 98+9694+92 90+86+42。巩固练习：1、在12 与 60 之间插入3个数

5、，使这5个数成为一个等差数列。2、在6和38 之间插入7个数，使他们成为等差数列，9求个这数的和是多少？3、省工人体育馆的 12 区共有 20 排座位，呈梯形，第 1 排有 10 个座位，第 2 排有 11 个座位，第 3 排有 12 个座位 这个体育馆的 12 区共有多少个座位？3华杯赛小高组第二讲求因数个数有的时候我们只需要知道某数的因数有多少而不需要找出这些因数具体是那些。对一些数来说因数很少很容易就能一一列举出来， 数一数有多少。 但是有些数因数比较多， 一一列举的话比较麻烦， 并且也不一定能够全都找出来。 在这种情况下，我们可以先分解质因数，在通过计算求出因数的个数。一、求 8 和

6、243 的因数有多少个首先分解质因数8=2×2×2243=3 ×3×3×3 ×3这样，把一个合数写成几个质数 （也叫素数）相乘的形式，就叫做分解质因数。3几个相同的因数相乘， 如 2×2×2 可以记作 2 ，读作：2 的 3 次方。3×3×3×3×35的 5次方。记作 3 ，读作： 3注：任何一个大于0 的数的 0 次方都等于 1。我们知道 8 的因数有 4个：1,2,4,8 。0123的因数个数刚好是 3+1=4。可以写成 1= 2 ，2=2 ，4=2，8= 2 ,8用同样

7、的方法计算2435的因数个数 243= 3 ，因数的个数为： 5+1=6 个。二、求 72 的因数有多少32因为 72=8 × 9=2 ×3 ,所以 72 的因数有（ 3+1）×（ 2+1） =4×3=12 个。练习：1、144 的全部因数有多少个？ 4500 共有多少个因数？2、筐里共有 96 个苹果，如果不一次拿出，也不一个个地拿，要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少。共有多少种不同的拿法？3、自然数 9 的因数有 1、3、9 三个，自然数 16 的因数有 1、2、4、8、16 五个，那么， 9 ×16 的因数共有多少个？4、已知

8、自然数 A 只有两个因数，那么5A 有多少个因数？5、有八个不同因数的自然数中，最小的一个数是多少？4华杯赛小高组6、自然数 A 的所有因数两两求和，又得到若干个自然数，在这些自然数中，最小的是 4，最大的是 900，那么数 A 是多少？7、求不大于 200 的只有 15 个因数的所有自然数？8、在所有含九个因数的自然数中，最小的一个是多少？9、在 100 至 300 之间，只有三个因数的数是多少？10、写出从 360 到 630 的自然数中有奇数个因数的数。11、恰好有 6 个因数的两位数共有多少个？12、有一个小于 2000 的四位数，它恰有 14 个因数，其中有一个质数的末位数是1，求此

9、四位数？13、求不大于 100 的只有八个因数的一切自然数的和是多少？5华杯赛小高组14、A、B 两数都只含有质因数3 和 5，它们的最大公因数是75，已知 A 数有12 个因数， B 数有 10 个因数，那么， A 、B 两数的和等于多少？15、在 12345678987654321的所有因数中，除去它本身外，因数最大是多少？16、写出三个小于 20 的自然数，它们的最大公因数是 1，但两两均不互质，一共可以写出几组？17、144 的全部因数之和是多少？360 的全部因数之和是多少？18、右图中一共有多少个长方形（含正方形）？所有长方形（含正方形）的面积和是多少？（单位：厘米）（第十五届华杯

10、赛初赛试题）恰有 20 个因子的最小自然数是。(A) 120(B) 240(C) 360(D) 4326华杯赛小高组第三讲同余问题知识概要：1. 同余的表达式和特殊符号37 和 44 同除以 7，余数都是 2，把除数 7 称作 “模 7”，37、44 对于模 7 同余。记作：（ mod7）“ ”读作同余。一般地，两个整数 a 和 b，除以大于 1 的自然数 m 所得的余数相同，就称 a、 b 对于模 m 同余，记作：2. 同余的性质（ 1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。）（ 2）若，那么（这称作同余的对称性）（3）若，则（这称为同余的传递性）（ 4）若，则（）（这称为同余的可加性、

11、可减性）（称为同余的可乘性）（ 5）若，则，n 为正整数。（6）如果，那么的差一定能被 k 整除同余问题解题口诀：“ 差同减差，和同加和，余同取余”1、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数。例：“一个数除以 4 余 1，除以 5 余 2，除以 6 余 3”，因为 4-1=5-2=6-3=3 ，所以取减 3，表示为 60n-3 。2、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数。例：“一个数除以 4 余 3，除以 5 余 2，除以

12、 6 余 1”，因为 4+3=5+2=6+1=7，所以取 +7，表示为 60n+7。3、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数。例：“一个数除以 4 余 1，除以 5 余 1，除以 6 余 1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为 60n+1。【例题一】例 1. 用 412、133 和 257 除以一个相同的自然数， 所得的余数相同， 这个自然数最大是几？例 2.除以 19，余数是几？7华杯赛小高组例 3. 有一个 1997 位数，它的每个数位都是2，这个数除以 13，商的第 100 位是几？最后余数是几？【练习】1.

13、求下列算式中的余数。（1）（2）2. 6254 与 37 的积除以 7，余数是几？3. 如果某数除 482，992，1094 都余 74，这个数是几？【例题二】例 1. 一个自然数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 1，这个自然数最小是几？例 2. 在求 51173526 被 7 除的余数时，小明这样做：所以余数是 5刘老师说，小明的算法不仅正确，而且巧妙迅速，你知道其中的道理吗？例 3.除以 3 的余数是几？为什么？8华杯赛小高组【综合练习】1. （1）今天是星期日，再过天又是星期几？（ 2）求除以 3 所得的余数。2. 某数除 680，970 和 1521，余数相同，这个数最

14、大是几？3. 有一列数排成一行，其中第一个数是 3，第二个数是 7，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么，第1997 个数被 3 除，余数是几？4. 若将一批货物共千克装入纸箱，每箱装 10 千克，最后余多少千克？5.（ 1） 1309 被一个质数除，余数是21，求这个质数；（ 2） 1796 被一个质数相除，余数是24，求这个质数。6.（1）求 2001×2000 除以 7 的余数。 （ 2）求 123×345+234×456 除以 11 的余数。7、（1）两个自然数相除，商 15，余 3，被除数、除数、商、余数的和是 853，求被除数。（ 2）两数相

15、除商 40 余 7，被除数、除数、余数和商的和是710，求被除数。9华杯赛小高组8、（1）有一个数除以 3 余 1，除以 4 余 2，问这个数除以 12，余数是几？（ 2）一个数除以 5 余 1，除以 6 余 3，除以 7 余 4，这个数最小是几？9、（1）当 2002 和 1781 除以某一个自然数，余数分别是 2 和 1，那么这个数最大是多少？（ 2）有一个数用它去除 100，余数是 1，用它去除 50，余数是 6，求这个数。（ 3）有一个整数，用它去除 45，53，143 得到的 3 个余数的和是 20，这个数是多少？10、写出除以 8 所得的商和余数（不为0）相同的所有的数。11、（

16、1）3867×4253 1644 351，求 里的数。（ 2） 4937×68453379765，求 里的数。数的整除特征：能被 2 整除的数的特征：个位数字是0、2、4、 6、 8 的整数 .能被 5 整除的数的特征：个位是0 或 5。能被 3（或 9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或 9）整除。能被 4（或 25）整除的数的特征：末两位数能被4（或 25）整除。能被 8（或 125）整除的数的特征：末三位数能被8（或 125）整除。能被 11 整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上能被 7（ 11 或 13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与

17、末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被 7（ 11 或 13）整除。10华杯赛小高组课后练习：1、有一个数加上 22 的和被 9 除余 3，这个数加上 35 的和被 9 被余几？2、把几十个苹果平均分成若干份，每份 9 个余 8 个，每份 8 个余 7 个每份 4 个余 3 个。这堆苹果共有多少个？3、五年级两个班的学生一起排队出操，如果 8 人排一行，多出一个人；如果 11 人排一行，同样多出一个人。这两个班最小共有多少人？4、求被 4 除余 2，被 6 除余 2，被 9 除余 5 的两位数。5、小红收数学学习小组买奥数练习本的钱， 她只记下四组各交的钱， 第一组 6.3 元，第二组

18、 7.7 元，第三组 6.3 元，第四组 9.1 元，又知道每本练习本价格都超过 1 角，求数学学习小组共有多少人？竞赛题精选1、若 2836，4582，5164，6522 四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为（）。2、一个自然数除以 3 余 2，除以 5 余 2，除以 7 余 5，除以 9 余 5，除以 11 余 4，则满足这些条件的最小自然数是（）。3、某数除以 11 余 8，除以 13 余 10，除以 17 余 12，那么这个数的最小可能值是（）。4、在一道有余数的除法算式中，被除数、除数，商和余数的和是 599，已知商是 15，余数是 12，请问，题

19、目中的除数是多少？11华杯赛小高组第四讲计数原理加法原理 ：完成一件工作共有 N 类方法。在第一类方法中有 m1 种不同的方法，在第二类方法中有 m2 种不同的方法， ，在第 N 类方法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件工作共有 Nm1m2 m3 mn 种不同方法。运用加法原理计数， 关键在于合理分类， 不重不漏。 要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同 (即分类不重 )；完成此任务的任何一种方法， 都属于某一类 (即分类不漏 )。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点， 不同的问题， 分类的标准往往不同， 需要积累一定的解题经验。乘法原理 ：完

20、成一件工作共需 N 个步骤：完成第一个步骤有 m1 种方法，完成第二个步骤有 m2 种方法， ，完成第 N 个步骤有 mn 种方法，那么，完成这件工作共有 m1×m2× ×mn种方法。运用乘法原理计数，关键在于合理分步。完成这件工作的 N 个步骤，各个步骤之间是相互联系的， 任何一步的一种方法都不能完成此工作， 必须连续完成这 N 步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。例 1、用 1 角、 2 角和 5 角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成 1 元钱，有多少种方法？例 2、各数位的数字之和是24 的三

21、位数共有多少个？练习（ 1）一把钥匙只能开一把锁，现在有 10 把钥匙和 10 把锁全部都搞乱了，最多要试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙？（ 2）某人到食堂去买饭菜，食堂里有 4 种荤菜， 3 种蔬菜， 2 种汤。他要各买一样，共有多少种不同的买法？12华杯赛小高组例 3、用数字 0，3，8，9 能组成多少个数字不重复的三位数？练习右图中共有 16 个方格，要把 A 、B、C、 D 四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子，问共有多少种不同的放法？例 4、用 4 种不同的颜色给下图的这幅地图染色，使相邻的两块颜色不相同，共有多少种不同的染法？例 5、如下图，一只小甲虫要从 A

22、 点出发沿着线段爬到 B 点，要求任何点和线段不可重复经过，问这只甲虫有多少种不同的走法？13华杯赛小高组练习（1）从 5 幅国画，3 幅油画，2 幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种不同的选法？（ 2）如下图，要从 A 点沿线段走到 B 点，要求每一步都是向右、向上或向斜上方，问有多少种不同的走法？（ 3）如下图，用红、绿、蓝、黄四种颜色涂编号为 1，2， 3，4 的长方形，使任何相邻的两个长方形的颜色都不同。一共有多少种不同的涂法？（ 4）有两个相同的正方体，每个正方体的 6 个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6。将两个正方体放在桌面上， 向上的一面数字之和为偶数的有多少

23、种情形？（ 5）某市电话号码从 7 位升至 8 位。由于特殊需要，电信部门一直有这样的规定：普通市内电话号码的首位数字不使用 0，1，9。升位前南京市普通电话号码的容量为多少门？升位后，南京市内电话号码的容量增加了多少门？14华杯赛小高组第五讲抽屉原理桌上有十个苹果， 要把这十个苹果放到九个抽屉里， 无论怎样放， 我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。抽屉原理的一般含义为 ：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有 n+1 个元素放到 n 个集合中去，其中必定至少有一个集合里有两个元素。” 抽屉原理有时也被称为 鸽巢原理 。课

24、堂例练：1、长江小区有 367 名儿童在 2000 年出生的，至少有两人在同一天过生日，这是因为把（）当作抽屉，有（）个，把（）当作元素，有（）个。2、盒子里有红、白两种颜色的贺卡若干张，现在有4 个小朋友每人从盒子里任取两张，则必须有两个小朋友取出两张颜色完全相同的贺卡，其中抽屉数为（）个，元素（）个。3、现在 37 个苹果，至少有（）个篮子，才能保证每个篮子的苹果数不超过 11个。4、太平小学有 369 名小朋友，在这些小朋友中，至少有（）人同一天过生日，至少有（）个小朋友不单独过生日。5、一个盒子里有10 个红球、 8 个蓝球、 6 个绿球、 4 个白球，如果闭上眼睛，从盒子中摸球，每次

25、只许摸一个球，至少要摸出（）个，才能保证摸出的这几个球中至少有两个颜色相同。6、纸盒里大小完全相同的小球若干，其中红球20 个，蓝球 15 个，绿球 2 个，白球 8 个，一次至少取（）个能保证有 4 个相同颜色的。7、红星小学四年级（ 1）班有 54 个同学，至少有几人在同一星期内过生日？8、参加数学竞赛的有 210 名同学，能否保证有 18 名或 18 名以上的同学在一个月出生，为什么？9、盒子里放着红色、黄色、蓝色、白色、黑色五种手套各 6 只，如果闭上眼睛，让你在盒子中拿手套，至少拿多少只能可以保证拿到一副颜色相同的手套？10、在 1 米长的线段上任意点六个点，请证明，这六个点中至少有

26、两个点的距离不大于 20 厘米。15华杯赛小高组11、口袋中有 16 个白球， 4 个黄球， 6 个黑球。请你闭上眼睛从口袋中摸球，至少取出多少个球，才能保证取出的球有黄球？12、袋子里有红、黄、黑、白袜子各10 双，要想闭上眼睛摸出颜色相同的4 双袜子，至少要摸出几双袜子，才能保证达到目的？13、公交集团有 51 辆客车，各种座位数不同，最少的有18 座，最多的有 60 座，那么在这些客车中，至少有几辆的座位数是相同的？14、某袋内装有 70 只球，其中 20 只是红球， 20 只是绿球 20 只是黄球，其余是黑球和白球，为确保取出的球中至少包含有10 只同颜色的球，问：最少必须从袋中取出几

27、只球？15、从 1、2、3、 、 2004 这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得每两个数的差不等于4？课后作业：1、一个正方体，给它的每个面涂上蓝色，黄色、红色，则至少有两个面颜色相同，其中把（）当成抽屉，有（）个，把（）当作元素，有（）个。2、有 31 个小朋友同在 9 月份出生，至少有（）个小朋友同一天出生。3、61 人当中，至少有（）个人属相相同。4、彩笔盒中有 60 支彩色铅笔，每15 支是同一颜色，为了保证一次取出3 只颜色相同的彩笔，至少取出（）支。5、期中考试，五年级一班的数学成绩最低分89 分，最高分 98 分， 32 名同学的成绩从 89 分到 98 分，各分数均有，在这

28、些同学中，至少有（）名同学的数学成绩是相同的。16华杯赛小高组第六讲几何问题一、容斥法例 1 下图的两个正方形 , 边长分别为 8 厘米和 4 厘米 , 那么阴影部分的面积是 _平方厘米 .二、等量代换法例 2 如图，已知三角形 ABC 的面积为 56 平方厘米，是平行四边形 DEFC 的 2 倍。求阴影部分的面积。三、转化法例 3 如图，四边形 ABCD 为长方形， BC=15 厘米， CD=8 厘米，三角形 AFB 的面积比三角形 DEF 的面积大 30 平方厘米，求 DE 的长。F练习 如图，三角形ABC 是直角三角形，已知阴影()的面积比阴影 ()的面积小 23 平方厘米， BC 的长

29、度是多少 ?( =3.14)三、假设法例 3 图中长方形的面积为 35 平方厘米，左边直角三角形的面积为 5 平方厘米，右上角三角形的面积为 7 平方厘米，那么中间三角形 (阴影部分 ) 的面积是 _平方厘米。17华杯赛小高组四、参数法（比）例 4 将图 (a)中的三角形纸片沿着虚线折叠，折叠后对的图形面积 (图 b)与原三角形的面积比为2 3，已知图 (b)中三个画阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为 _。练习1、在ABC 中 , BD2DC , AEBE , 已知ABC 的面积是18 平方厘米 , 则四边形 AEDC 的面积等于 _平方厘米 .2、下图是由 9 个等边三角形拼成的

30、六边形，已知中间最小的等边三角形的边长是 1，问：这个六边形的周长是多少 ?3、如图，在平行四边形 ABCD 中， E、F 分别是 AC、 BC 的三等分点，且平行四边形的面积为 54 平方厘米，求 SBEF。4、右图中， AC=4AD，三角形 CDE的面积是三角形 ABC的一半。问： BE的长是 BC 的几分之几 ?5、下图是边长为 4 厘米的正方形 , AE =5 厘米、 OB 是_厘米 .18华杯赛小高组第七讲最大公约数和最小公倍数性质 1：如果 a、b 两数的最大公约数为d，则 a=md,b=nd,并且（ m,n） =1。例如：（24,54 ）=6,24=4 ×6,54=9

31、× 6，（4,9 ） =1。性质 2：两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。a×b=a,b ×（ a,b ）。巩固练习1. 将 72 和 120 的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。2. 现在有香蕉 42 千克，苹果 112 千克，桔子 70 千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等， 那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了三种水果各多少千克？3、有一盘水果， 3 个 3 个地数余 2 个， 4 个 4 个数余 3，5 个 5 个数余 4 个，问这个盘子里最少有多少个水果？4、拖拉机前轮周长 64 厘米

32、，后轮周长 96 厘米，拖拉机开动后，前轮至少转多少圈，才能使前、后轮同时着地的两点重新同时着地？5、两个自然数的最大公约数是 12，最小公倍数是 72。满足条件的自然数有哪几组？6已知两个自然数的和为 42，它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为 432，求这两个自然数。19华杯赛小高组7、五年一班去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6 个，如果减少一条船，正好每船坐9 人，这个班有多少人？8、已知 A 与 B 的最大公约数为 6，最小公倍数为84，求 B。9、已知 A 和 B 的最大公约数是 31，且 A× B 5766，求 A 和 B。10、有一队同学去野炊，吃饭时，

33、他们两人一个饭碗，三个人一个菜碗，四个人一个汤碗，一共用了 91 个碗。参加野炊的至少有多少同学？11、一块长方形地面，长 120 米，宽 42 米，要在它的四周和四角种树，每两棵之间的距离相等，最少要种树苗多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少米？12、（ 1）A、B 两数的乘积是 216，它们的最小公倍数是 36。 A 、B 两数的最大公因数是多少？ （2）甲乙两数的最小公倍数是 288，最大公因数是 4，甲数是36，乙数是多少？20华杯赛小高组第八讲行程问题在人们的生活中离不开 “行”，“行”中有三个重要的量：路程、速度、时间。研究这三个量的典型应用题叫做行程问题。 这三个量之间的关系可以用

34、下面的公式来表示：路程 =速度 ×时间速度 =路程 ÷时间时间 =路程 ÷速度相遇问题和追及问题是行程问题的两个重要的类型。相遇问题是指两个物体在行进过程中 相向而行，然后在途中某点相遇的行程问题。其主要数量关系式为：总路程 =速度和 ×相遇时间追及问题是指两个物体在行进过程中 同向而行，快行者从后面追上慢行者的行程问题。其主要数量关系式为：路程差 =速度差 ×追及时间例 1 姐姐放学回家，以每分钟 80 米的速度步行回家， 12 分钟后妹妹骑车以每分钟 240 米的速度从学校往家中骑，经过几分钟妹妹可以追上姐姐？例 2 一辆公共汽车和一辆小轿

35、车同时从相距 360 千米的两地相向而行，公共汽车每小时行 35 千米，小轿车每小时行 55 千米，几小时后两车相距 90 千米？例 3 兄弟两人骑自行车同时从学校出发回家。哥哥每小时行 15 千米，弟弟每小时行 10 千米。出发半个小时后哥哥因事返回学校， 到学校后又耽搁了 1 小时，然后动身去追弟弟。当哥哥追上弟弟时，距学校多少千米？例 4 小张、小明两人同时从甲、乙两地出发相向而行，两人在离甲地 40 米处第一次相遇，相遇后两人仍以原速继续行驶， 并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回，途中两人在距乙地 15 米处第二次相遇。甲、乙两地相距多少米？21华杯赛小高组例 5 在周长为 40

36、0 米的圆形跑道的一条直径的两端，甲、乙两人分别以每秒 6 米和每秒 4 米的速度骑自行车同时顺时针出发沿圆周行驶，（ 1）经过多长时间，甲第二次追上乙？（ 2） 12 分钟内他们相遇多少次？（ 3）若甲乙两人同时 同向出发 12 分钟内两人相遇多少次？例 6 客车、货车、卡车三辆车， 客车每小时行 60 千米，货车每小时行 50 千米，卡车每小时行 55 千米。客车、货车从 A 市，卡车从 B 市，同时相向而行，卡车遇上客车后， 10 小时后又遇上了货车。 AB 两市相距多少千米？例 7. 甲、乙、丙三辆车同时从 A 地去 B 地，甲车的速度是 60 千米 /时，乙车的速度是 48 千米 /

37、时。于此同时，一辆卡车从 B 地去 A 地，卡车在出发 6 小时、 7 小时、 8 小时的时刻分别与甲、乙、丙三车相遇。求：（ 1）甲车与卡车相遇时，甲车与乙车的距离；（ 2）卡车的速度；（ 3）丙车的速度。阅读材料轮船相遇斯图姆是法国数学家， 在数学的许多领域都作出了开创性的工作。 一次，斯图姆去参加一个国际学术会议，一位朋友向他请教了如下一个问题：每天中午有一艘轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛，轮船在途中均要航行七天七夜，试问，每条从哈佛开出后的轮船在到达纽约前能遇上几艘从纽约开来的轮船？你能试着给出解答吗？22华杯赛小高组练习1一辆货车以每小时65 千米的速度

38、前进，一辆客车在它的后面1500 米处，以每小时 80 千米的速度同向行驶，客车在超过货车前2 分钟，两车相距多少米？2哥哥以每分钟 50 米的速度从学校步行回家， 12 分钟后弟弟从学校出来骑车追哥哥，结果在距学校 800 米处追上哥哥。求弟弟骑车的速度。3东、西两镇相距 100 千米，甲、乙两车分别从两镇同时出发相向而行，4 小时后相遇。已知甲比乙每小时快 3 千米，甲、乙两车的速度是多少？4A 、B 两城相距 450 千米，甲、乙两辆汽车同时从 A 城开往 B 城 ，甲车每小时行 52 千米，乙车每小时行 38 千米，甲车到达 B 城后立即返回，两车从出发到相遇共需多少小时？5甲乙两人骑

39、车同时从南北两地相向而行，甲每小时行23 千米，乙每小时行18 千米，两人在距两地中点10 千米处相遇，南北两地相距多少千米？6小红和小蓝练习跑步， 若小红让小蓝先跑 20 米，则小红跑 5 秒就可追上小蓝。若小红让小蓝先跑 4 秒钟，则小红 6 秒钟追上小蓝，小红、小蓝的速度各是多少？23华杯赛小高组7甲乙两站相距 360 千米，客车与货车同时从甲站开往乙站。客车每小时行 60 千米，货车每小时行 40 千米，客车到达乙站后停留半小时， 又以原速返回甲站，两车相遇的地点离乙站多少千米？8甲、乙两人同时从东、西两地分别出发，如果两人同向而行，甲 28 分钟追上乙；如果两人相向而行， 8 分钟相

40、遇。已知乙每分钟行 50 米，东西两地相距多少米？9甲乙两人从相距 50 千米的两地同时出发，相向而行。甲每小时行 6 千米，乙每小时行 4 千米，甲带着一只狗，狗每小时跑 12 千米，这只狗同甲一道出发， ；碰到乙的时候，它就掉头朝甲这边跑，碰到甲时又往乙那边跑，直到两人相遇，这只狗一共跑了多少千米？10甲乙两人同时从 A 、 B 两地出发相向而行，两人在离 A 地 90 米处第一次相遇，相遇后两人仍以原速继续行驶， 并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回，途中两人在距 B 地 70 米处第二次相遇。两人从第一次相遇到第二次相遇恰好经过了 5 分钟，甲、乙两人的速度是多少？24华杯赛小高组

41、第九讲勾股定理内容概述1.勾股定理 (毕达哥拉斯定理 ):直角三角形中的两直角边平方后的和等于斜边的平方公元前 500 年古希腊的毕达哥拉斯发现了勾股定理后 ,曾宰牛百头 ,广设盛筵以示庆贺2. 公元前 11 世纪的周髀算经中提到 :故折矩 ,以为勾广三 ,股修四、径修五既方之 .外半卿一矩 ,环而共盘 .得成三、四、五三国时期的赵爽注解道 :勾股各自乘 ,并之为弦实 ,开方除之 ,即弦 .案:弦图又可以勾股相乘为朱实二 ,倍之为朱实四 ,以勾股之差自相乘为中黄实 ,加差之 ,亦成弦实汉朝张苍、狄昌寿整理的九章算术第九卷为勾股 .其中解释到 :短面曰勾，长面曰股，相与结角曰弦 .勾短其股，股短

42、其弦勾股各自乘，并而开方之，即弦中国科学院数学与系统科学研究院的徽标 (右图所示 )采用的就是赵爽的弦图 .2002 年在北京举行的国际数学家大会的徽标也是如右图 ,在弦图中有： S四边形 EFGH1S矩形 ABCDS矩形 MNPQ23. 伽菲尔德证法 :美国第 20 任总统伽菲尔德对数学有浓厚的兴趣 ,在还是中学教师时曾给出一种勾股定理的证明方法：梯形面积 = 1上底下底)×高=1×12(a+b) (a+b)=(a+b)222三个直角三角形的面积和 = 1 ab+ 1 ab+ 1 c2222梯形面积 =三个直角三角形面积和1(a+b)2=1ab+1ab+1c2,所以 a2+b2=c2 .222225华杯赛小高组4. 公元前 3 世纪的欧几里得在几何原本中给出一种证明 ,简叙如下：如图 ,作出三个正方形 ,它们的边长分别为直角三角形 ABC 的三边长 .连接图中的虚线段对应的点；过 C 作 CK 平行于 AF,交 AB 、FG 分别于 J、K 点易证 AFC BAE,有S FAC1 AF.FK= 1S矩形 AFKJ , S BAE1 EA.CA= S正方形 AC