单因素方差分析方法.

1、单因素方差分析方法首先在单因素试验结果的基础上，求出总方差v、组内方差Vw、组间方差Vb总方差V八xj - x 22组内方差Vw订匕-x)组间方差VB=b' X*从公式可以看出，总方差衡量的是所有观测值Xj对总均值x的偏离程度，反映了抽样随机误差的大小，组内方差衡量的是所有观测值Xj对组均值x的偏离程度，而组间方差则衡量的是组均值 Xi对总均值X的偏离程度，反映系统的误差。 在此基础上，还可以得到组间均方差和组内均方差：组间均方差Sb2a -1组内均方差 VwSw ab - a在方差相等的假定下，要检验 n个总体的均值是否相等，须首先给定原假设和备择假设。原假设Ho :均值相等即-12

2、 =备择假设H1 :均值不完全不相等则可以应用F统计量进行方差检验:VbF=卄 a 一1= SbVw ab -b2Sw该统计量服从分子自由度a-1，分母自由度为ab-a的F分布。给定显著性水平a，如果根据样本计算出的F统计量的值小于等于临界值 f a - 1,ab - a，则说明原假设 h。不成立，总体均值不完全相等，差异并非仅由随机因素引起。下面通过举例说明如何在 Excel中实现单因素方差分析。例1单因素方差分析某化肥生产商需要检验三种新产品的效果，在同一地区选取3块同样大小的农田进行试验，甲农田中使用甲化肥，在乙农田使用乙化肥，在丙地使用丙化肥，得到6次试验的结果如表2所示，试在0.05

3、的显著性水平下分析甲乙丙化肥的肥效是否存在差异。表2 三块农田的产量甲504649524848乙495047474649丙515049465050要检验三种化肥的肥效是否存在显著差异，等同于检验三者产量的均值是否相等：给定原假设H。：三者产量均值相等；备择假设h“ ：三者的产量均不相等，对于影响产量的因素仅化肥种类一项，因此可以采用单因素方差分析进行多总体样本均值检验。新建工作表“例1”，分别单击B3: D8单元格，输入表2的产量数值。计算组均值，对应甲的均值，单击B9单元格，在编辑栏输入“ =AVERAGE ( B3: B8) ”,再次单击B9单元格，拖曳鼠标至 D9单元格，求出乙和丙的组均

4、值。计算总均值，单击 B10单元格，在编辑栏输入“ =AVERAGE ( B9 : D9) ”。计算机结果如 图1所示ABCD1单因素方差分析2甲乙丙350495144650505494749652474643465084S49509组均值10总均值11图1计算，Xij Xi '，并求各组的组内方差 Vw的值。求甲组Xij xJ的值，单击B14单元格，在编辑栏输入“ =(B3-$B$9 ) A2”。再次单击 B14单元格，拖曳鼠标至 B19单元格。求乙组,耳一 Xi '的值，单击 C14单元格，在编辑栏输入“ =(C3-$C$9) A2 ”。再次单 击C14单元格，拖曳鼠标至

5、C19单元格。求丙组,耳一 Xi'的值，单击 D14单元格，在编辑栏输入“ =(D3-$D$9 ) A2 ”。再次单 击D14单元格，拖曳鼠标至 D19单元格。计算Vw的值，单击C20单元格，在编辑栏输入“ =SUM ( B14 : D19”。计算结果如图 2所示。ABICDE748465084849509组均值48. 8348. 0049. 3310总均值48. 7248. 6749. 331112求组间方差13甲乙丙14L36111112.77777815&02777840.444444160. 02777810.1111111710, 02778111.11111180.

6、 69444440. 444444190. 69444410. 44444420%48.1721图3根据组均值和总均值求 兀-乂的值，单击B24单元格，在编辑栏输入“ =(B9- $ B$ 10)A2”。再次单击B24单元格，拖曳鼠标至 D24单元格，求出三个组的值。计算组间方差 V B，单击C25单元格，在编辑栏输入“ =6*SUM(B24:D24) ”。计算结果如图3所示。2122求组间方差23甲乙丙240,. 010. 520. 3725Vb5. 4426图3计算 F统计量的值，单击C28单元格，在编辑栏输入“=C25/ ( C27-1 ) / ( C20/(C27*E27-C27 )

7、”。计算 Fa的值，单击 C30单元格，在编辑栏输入“ =FINV ( C29, C27-1 , C27*E27-C27 ) ”。根据临界值给出的检验结果，单击C31单元格，在编辑栏输入“=IF (C28>C30, ”三者产量均值不完全相等”,”三者产量均值相等”)”。最终结果如图4所示。从图4中可以看出，运用单因素方差分析，接受了原假设Ro，因此在0.05的显著性水平F可以认为三者的均值相等，即三者的肥效无显著差异。20vw48.172122求组间方差23甲乙丙240. 01a 526 3725Vb5*442627a3b628F0.84775129a0. 0530E3 6823231检

8、验结果三者产量均值相等32图4二、方差分析表在实际工作中，常常将上面的方差分析的过程归纳为一张表格，通过这张表格可以直观地显示出方差分析过程中各个参数的值。方差分析表作为一种默认的方差分析形式，被许多软件作为方差分析的结果输出。后面介绍的Excel单 因素分析工具的结果输出中，最终便是以方差分析的形式给出分析结果。对应方差分析的结构如表3所示，其中对于组间方差v 的计算可直接根据公式wVw=v- Vb 给出。表3 方差分析表方差自由度均方差F统计值组间方差vBa-1A2=JVA 2Vb =b（X - X）Sa 1f=Sb f=Ls组内方差vV wAb-aA2-VwVw=v- Vb9ab a总方

9、差vAb-1V二无（x.- X fXij下面通过举例说明如何采用方差分析表给出单因素方差分析的结果。 例2 方案分析表某公司研制出了 A、B、C、D4种新型生产设备，让 6个熟练工人分别操作相同的 时间，统计他们生产的零件的数量如表4所示，试在0.01的显著水平下检验这 4种设备单位时间生产的零件数是否存在显著差异。4种机器生产的零件数量A754650567348B475065724649C485052464965D684849635170需要检验4中设备单位时间内生产的零件数是否存在显著差异，对应原假设H。： 4种设备生产的零件数均值相等；备择假设H1 : 4种设备生产零件数均值不相等，可采

10、用单因素方差分析予以检验。新建一工作表“例 2”，分别单击B3: E8单元格，输入表4中的零件数。计算组均值。对应 A组的均值，单击 B9单元格，在编辑栏输入“ =AVERAGE(B3:B8) ”， 再次单击B9单元格，拖曳鼠标至 D9单元格，求出B、C、D的组均值。计算总均值。单击 B10单元格，在编辑栏输入“ =AVERAGE(B9 : D9)”。计算结果如图5 所示。1ABCDE1 F方差分析表2ABCD3754768446504S55065496567263773465184849709组均值58. 0054. 8358,1710总均值57,0011.二根据组均值和总均值计算组间方差V

11、b。求(X 一X f的值，单击B14单元格，在编辑栏输入“ =(B9- $ B$ 10) A2”。再次单击 B14单元格，拖曳鼠标至 E14单元格，求出三个组的值。计算Vb的值，单击C15单元格，在编辑栏输入“ =SUM ( B14 : E14) *6 ”。计算结果 如图6所示。9组均值58. 0054. S36758.1710总均值55. 671112求组间方差13ACD145. 440. 6900& 2515VB170. 3316图6根据总均值计算方差 v。2求*9 X)的值，单击B19单元格，在编辑栏输入“ =(B3- $ B$ 10) A2 ”。再次单 击B19单元格，拖曳鼠标

12、至 E24单元格，求出所有的值。计算v的值，单击 C25单元格，在编辑栏输入“ =SUM( B19: E24)”。计算结果如图 7 所示。1617求总方差18ACD19373. 7875,1158. 78152.112093. 4432,1132.115& 782132.1187.1113. 4444. 44220.11266. 7893. 4453. 7823300. 4493. 4444. 4421. 7824弦7844. 4487.11205. 4425V2323. 3326方差分析表结构，根据总方差和组间方差计算组内方差，单击C33单元格在编辑栏输入“ =C34-C32”分别给

13、出自由度，单击D32单元格，在编辑栏输入“ =C27-1 ”；单击D33单元格，在编辑栏输入“ =C27*E27-C27 ”；单击D34单元格，在编辑栏输入“ =C27*E27 1”。计算方差分析表中的均方差。组间均方差，单击 E32单元格，在编辑栏输入“ =C32/D32”。组内均方差，单击 E33单元格，在编辑栏输入“ =C33/D33”。计算F统计量的值，单击F32单元格，在编辑栏输入“ =E32/E33”。结果如图9所示。aFa4b628a0. 0.12930方差分析表31方差自由度均方差F值P值32组间方差Vb170. 33356,. 776670.52741933组内方差V,215

14、320107. 6534总方差¥2323. 33233536图926 II I I III根据F值计算p值，单击 G32单元格，在编辑栏输入“ =FDIST (F32, D32, D33)”。说明：1-p值反映了可以以多大的把握认为原假设成立。如果计算的p值小于给定的显著性水平0.05则应该接受原假设，否则应拒绝原假设。(11)给出检验结论，单击C36单元格，在编辑栏输入“ =IF (G32<C28, “四种设备生产的零件数均值相等”，“四种设备生产零件数均值不相等”)”。结果如图10所示30方差分析表31方差自由度均方差F值P值32组间方差170. 33356. 7777S0

15、. 5274290. 66852333组內齐差215320107.6534总方差甲2323. 33233536检验结论四种设备生产的零件数均值不相等37从图10可以看出，运用方差分析表，拒绝原假设H 0，因此在0.01的显著性水平下图10认为三者均值不相等，即四种设备单位时间内生产的零件数的均值不相等。在Excel运用方差分析-单因素方差分析工具进行方差分析。例3 方差分析：单因素方差分析仍采用例2中的数据，某公司研制出了A、B C D4种新型设备，让 6个熟练工人分别操作相同的时间，统计生产的零件数量如表4所示，试应用方差分析：单因素方差分析在0.01的显著性水平下检验这 4种设备单位时间生产的