单因素方差分析在数理统计中的应用

1、单因素方差分析在数理统计中的应用摘要:在详细阐述单因素方差分析原理的基础上，通过两个具体的数学建模案例，说明单因素 方差分系的应用及与假设检验的关系,并利用Mat lab实现了两个案例的求解。在数理统汁 的授课过程中，这种结合不仅能激发学生的学习兴趣，而且能培养学生自己动手、解决问题的 能力。关键词:单因素方差分析;数理统讣;数学建模;应用;假设检验0引言方差分析又称“变异数分析”或“F检验”，是由RA. Fisher发明的，用于对两个及两个 以上样本均数差别的显著性检验。单因素方差分析是检验在一种因素影响下，两个以上总体 的均值彼此是否相等的一种统汁方法。由于单因素方差分析的原理抽彖、计算繁

2、琐、导致教 学枯燥无味。基于此，文中详细阐述了单因素方差分析的原理，通过两个具体的数学建模案例, 说明单因素方差分系的应用及与假设检验的关系，并利用Mat lab实现了两个案例的求解。 在数理统计的授课过程中，这种从理论到应用，再从应用到上机实现的过程,让学生体会到“学以致用”的真正含义，激发了学生的学习兴趣，同时也提高了学生的动手能力。1单因素方差分析原理设单因素A具有r个水平，分别记为Ai, A：,A：,在每个水平A： (i =1, 2, r)下，要考察 的指标可以看成一个总体Xi (i =1,2,r)且Xi N(“ i, 02),水平Ai (i =1,2,r)下， 进行m次独立试验，样本

3、记为Xu, i =1,2，,r, j =1,2,m, Xi广N(“ i, ©2)且相互独立。1. 1建立假设假设检验为Ho： “ 1二112 二“ x，备择假设为Hi： “ 1,心, “ x不全相等。由于 Xh - “ i 二记“二丄 2m 1, n =丄，at = “ i 一 , i =1, 2, , r,则nn数学模型为：X：.i = “ + at + £ i.i, i =1, 2, ,r, j =1, 2, , m2 n； ct i =0£ * 2 N(O, O 3),各个£ ij相互独立，“ i和or 2未知故原假设改写为:Ho： ai = a：

4、= = ar=0 (1)1. 2构造统计量为了构造检验假设的统计星首先，需要找到引起Xij波动的原因。从质二“+ ai+ 中可以看岀，若检验假设为真，则总的波动纯粹是随机性引起的;若检验假设为假则 X；j的波动是由第i个水平和随机性共同引起的。因而，需要构造一个量来刻画X；j之间的波 动,并把引起波动的上述两个原因用另外两个量表示，这就是方差分析中的平方和分解法。1 1idX；-.二一Xi儿 x= - Snn引入 Si 二 SS(Xu-X)= E S (Xu -Xi-) + S S(Xi-X)= SE+ Sa又因为 Sa 二艺(X 十-X)二 S(ai+ s i- e )Se= S)= S S

5、 ( s u -.)。若H。成立,Sa只反映随机波动，若H。不成立,Sa还反映了 A的不同水平效应a 单从数值 上看，当H。成立时,9/ (r -1) Se/ (n - r)l,而当H。不成立时，这个比值将远大于1。可 以证明：St/ a 2%2 (n -1) ;Se /% 2 (n- r) ; Sa / a 2%：(r -1),且 Se 与Sa 相互独立。故构造统计量 F = (n - r) Sa/ (r - 1)Se F(r -1, n - r) 1. 3对于给定的水平a,确定拒绝域由于H。不真时,Sa值偏大，导致F值偏大。因此，1) 若F > Fx-a (r -l.n - r)时，

6、拒绝H。,表示因素A的各水平下的效应有显著差异；2) 若F < Fi-a (r -l.n - r)时，则接受H。,表示因素A的各水平下的效应无显著差异。1. 4将实际数据代入统计量F中，计算F值(如表1)并对Ho作出接受或拒绝的判断 表1収因素方差分析表方差來源平方和自由度均方和F值因素ASar -1MSa = Sa/v -1F = MSa/HSe误差ESen - rMSe = SE/n - r总和TStn -11. 5 Mat lab 实现处理均衡数据的用法为:p = anoval (x);处理非均衡数据的用法为:p = anoval (x, group), 返回值p是一个概率，当p

7、> a时接受Ho2数学建模案例在概率论与数理统计中的应用2. 1案例1让4名学生前后做3份测验卷，得到如表2的分数，推断3份测验卷测试的效果是否有显著 性差异表2学生测试分数表序号试卷A试卷B试卷C学生171.773.472.3学生271.572.672. 1学生370. 172.370.8学生470.672.271.6解:编写程序如下:clc,.clearX =71.773.472. 371.572.672.170.172.370.870.672.271.6;P =anoval(x)xl = x(:, 1) ;x2 = x(:. 2);x3 = x(:, 3);hl, pl = tte

8、st2(xl, x2, 0. 05, 0)h2, p2 = ttest2(xl, x3, 0. 05, 0)hl, p3 = ttest2(x2, x3, 0. 05, 0)求得0. 01 < P =0. 0198 <0. 05,所以拒绝原假设，说明3份测验卷至少有2份测试的效 果有显著性差异。通过双正态总体假设检验的分析，得到hl二1,拒绝原假设,说明第1份测 验卷与第2份测试卷测试的效果有显著性差异,h2二0,h3二0,接受原假设,说明第1份测验 卷与第3份测试卷、第2份测验卷与第3份测试卷测试的效果没有显著性差异，又因为p2 二0. 2003, P3 =0. 0754,说明第

9、1份测验卷与第3份测试卷测试的效果更相似。这个案例 为同一时间需要区分A, B卷的出题老师，提供了较好的选择。2. 2案例2从某学校同一年级中随机抽取20名学生，再将他们随机分成4组，在2周内4组学生都用 120分钟复习同一组概率公式,第一组每个星期一复习一次60分钟；第二组每个星期一和 三两次各复习30分钟；第三组每个星期二、四、六三次各复习20分钟;第四组每天(星期天 除外)复习10分钟。2周复习之后，相隔2个月再进行统一测验，其结果如表3所示。推断 这4种复习方法的效果之间有没有显著性差异？表3测试成绩表序号第一组第二组第三组第四组1242930272262528313202132324

10、282730335222826630解:编写程序如下:clc, clearX =;x = x (1:5), x (6:10), x (20), x (11:15), x (16:19);g = iones(l, 5), 2*nes(l, 6), 3*nes (1, 5), 4*nes(l, 4);p = anoval (x, g)xl = x(l:5);x2 = x(6:ll);x3 = x(12:16);x4 = x(17:20)l;hl, pl = ttest2(xl, x2, 0. 05, 0)h2, p2 = ttest2(xl, x3, 0. 05, 0)h3, p3 = ttest

11、2(xl, x4, 0. 05,0)h4, p4 = ttest2 (x2, x3, 0. 05, 0)h5, p5 = ttest2(x2, x4, 0. 05, 0)h6, p6 = ttest2(x3, x4, 0. 05, 0)求得0. 01 < P =0. 0140 <0. 05,所以拒绝原假设,说明这4种复习方法中至少有2种复 习方法的效果之间有显著性差异。通过双正态总体假设检验的分析，得到hl二h4二h5二h6 二0,接受原假设,说明第1种与第2种、第2种与第3种、第2种与第4种、第3种与第 4种复习方法的效果之间没有显著性差异。而h2 =h3=l,拒绝原假设,说明第1种与第3种. 第1种与第4种复习方法的效果之间有显箸性差异。案例2说明，复习方法应该采用重复 记忆的方式，一次的复习时间也不能太短。3结语在实际授课过程中，将理论知识条理化，扩充一些理论与实际相结合的例子,对于较复杂的ir 算方法利用mat lab实现，不仅可以促进学生对理论知识的理解，让学生深刻体会到理论在 实际中的应用，而且可以加强学生的动手操作能力，从而激发学生学习兴趣，更有利于实现应 用型人才的培