最新中考数学二次函数与四边形综合专题

1、二次函数与四边形综合专题一二次函数与四边形的形状例 1. 如图，抛物线 y x22x3 与 x 轴交 A、 B 两点（ A 点在 B 点左侧），直线 l 与抛物线交于 A、 C 两点，其中 C点的横坐标为 2（ 1）求 A 、 B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（ 2） P 是线段 AC 上的一个动点，过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段 PE 长度的最大值；（ 3）点 G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点 F，使 A 、 C、 F、 G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由解：（ 1）令 y=0，解

2、得 x11 或 x2 3 A（ -1，0）B（ 3，0）；将 C 点的横坐标 x=2 代入 y x22x 3得 y=-3 ， C（ 2， -3）直线AC 的函数解析式是 y=-x-1（ 2）设 P 点的横坐标为 x（-1 x 2）则 P、 E 的坐标分别为：P（ x， -x-1 ）， E（ ( x, x2 2x 3) P 点在 E 点的上方， PE= ( x 1) ( x22 x 3)x2x 2当 x19A时， PE 的最大值 =24（ 3）存在 4 个这样的点F，分别是 F1 (1,0), F2 ( 3,0), F3 (47，0), F4 (47,0)7的抛物线经过点 A（ 6，0）和 B（

3、 0， 4）练习 1.如图，对称轴为直线 x2（ 1）求抛物线解析式及顶点坐标；（ 2）设点 E（ x ， y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形求平行四边形OEAF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；当平行四边形OEAF 的面积为24 时，请判断平行四边形 OEAF 是否为菱形？是否存在点 E，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由y7x2B(0,4)FOA(6,0)xE练习 1.解：（ 1）由抛物线的对称轴是x7，可设解析式为ya(x7)2k 把 A 、B 两点坐标代入

4、上22式，得y7a(67)2k0,x25 .22解之，得 a 2 ,ka(07)2k4.362B(0,4故抛物线解析式为y2 (x7)225 ，顶点为 (7 ,25 ).32626F（ 2）点 E(x, y) 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合xOA(6,2 (x7) 225 ， y<0 ，即 y>0, y 表示点 E 到 OA的距离yE326OA 是OEAF 的对角线， S2S OAE21OA y6 y4(7)225 22因为抛物线与x轴的两个交点是（1， 0）的（ 6， 0），所以，自变量x的取值范围是 1 x 6根据题意，当S = 24 时，即 4( x7 )22524化简

5、，得 (x7)21 .解之，得 x13,x24. 故所224求的点 E 有两个，分别为E1（ 3， 4）， E2（4， 4）点 E1（ 3， 4）满足 OE = AE，所以OEAF 是菱形；点 E （ 4， 4）不满足 OE = AE，所以OEAF 不是菱形2 当 OA EF，且 OA = EF 时， OEAF 是正方形，此时点E 的坐标只能是（ 3， 3）而坐标为（ 3， 3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使OEAF 为正方形练习 2.如图，已知与x轴交于点A(10)， 和 B(5，0) 的抛物线C(3 4)l2l1xl1的顶点为与关于轴对， ，抛物线称，顶点为 C （ 1）求抛物线

6、 l 2 的函数关系式；（ 2）已知原点 O ，定点 D (0，4) ， l2 上的点 P 与 l1 上的点 P 始终关于 x 轴对称，则当点P 运动到何处时，以点 D， O，P，P 为顶点的四边形是平行四边形？（ 3）在 l2 上是否存在点 M ，使 ABM 是以 AB 为斜边且一个角为30 的直角三角形？若存，求出点M的坐标；若不存在，说明理由yyl 2l255EE4433221AB1ABx11234515xOO12341212334C45l1C5l1练习 3. 如图，已知抛物线 C1 与坐标轴的交点依次是A( 4，0) ， B( 2，0) ， E(0，8) （ 1）求抛物线 C1 关于原

7、点对称的抛物线 C2 的解析式；（ 2）设抛物线 C1 的顶点为 M ，抛物线 C2 与 x 轴分别交于 C，D 两点（点 C 在点 D 的左侧） ，顶点为 N ，四边形 MDNA 的面积为 S 若点 A ，点 D 同时以每秒 1 个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点 N 同时以每秒2 个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点 D 重合为止求出四边形MDNA 的面积 S 与运动时间 t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；（ 3）当 t 为何值时，四边形MDNA 的面积 S 有最大值，并求出此最大值；（ 4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成

8、矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由二二次函数与四边形的面积例 1. 如图 10，已知抛物线P： y=ax2+bx+c(a 0)与 x交于点 C，矩形 DEFG的一条边 DE在线段 AB 上，顶点坐标对应的纵坐标如下：轴交于 A、B 两点 ( 点 A 在 x 轴的正半轴上 ) ，与 y 轴F、G分别在线段 BC、AC上，抛物线 P 上部分点的横x-3-212y- 5-4- 5022(1) 求 A、B、 C 三点的坐标；(2) 若点 D的坐标为 (m， 0) ，矩形 DEFG的面积为 S，求 S 与 m的函数关系，并指出 m的取值范围；(3) 当矩形 DEFG的面积 S 取最大值时，

9、连接 DF 并延长至点 M，使 FM=k·DF，若点 M不在抛物线 P 上，求 k 的取值范围 .图 10练习 1.如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点 H的坐标为（ 8，0），点 N的坐标为（ 6， 4）（ 1）画出直角梯形 OMNH绕点 O旋转 180°的图形 OABC，并写出顶点 A，B，C的坐标（点 M的对应点为 A，点 N的对应点为 B， 点 H的对应点为 C）；（ 2）求出过 A， B，C三点的抛物线的表达式；（ 3）截取 CE=OF=AG=m，且 E， F，G分别在线段 CO， OA，AB上，求四边形 BEFG的面积 S 与 m之间的函数关系式，并写

10、出自变量 m的取值范围；面积 S 是否存在最小值 ?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（ 4）在（ 3）的情况下，四边形是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指BEFG出相等的邻边；若不存在，说明理由练习 2.如图，正方形 ABCD 的边长为 2cm ，在对称中心 O 处有一钉子动点P ， Q同时从点A 出发，点P沿A BC 方向以每秒 2cm 的速度运动， 到点 C 停止，点 Q 沿 AD 方向以BC每秒 1cm 的速度运动， 到点 D 停止 P ，Q 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设 xPO秒后橡皮筋扫过的面积为2AQDycm BPC（ 1）当 0 x 1

11、时，求 y 与 x 之间的函数关系式；O（ 2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x 值；（ 3）当 1 x 2 时，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动AQDy停止时 POQ 的变化范围；3（ 4）当 0 x 2时，请在给出的直角坐标系中画出y 与 x 之间的函数图象21O12 x练习 3. 如图，已知抛物线 l1： y=x2-4 的图象与x 轴相交于 A、 C 两点， B 是抛物线 l1 上的动点 (B 不与 A、C 重合 )，抛物线 l 2 与 l1 关于 x 轴对称，以 AC为对角线的平行四边形 ABCD 的第四个顶点为 D.(1) 求 l2 的解析式；(2) 求证：

12、点 D 一定在 l 2 上；(3) ABCD 能否为矩形？如果能为矩形， 求这些矩形公共部分的面积 (若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积 )；如果不能为矩形，请说明理由 . 注：计算结果不取近似值.三二次函数与四边形的动态探究例 1.如图 1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知 O(0 ，0)， A(4， 0)， C(0， 3)，点 P 是OA 边上的动点 ( 与点 O、A 不重合 )现将 PAB 沿 PB 翻折，得到 PDB ；再在 OC 边上选取适当的点 E，将 POE 沿 PE 翻折，得到 PFE ，并使直线 PD、PF 重合(1) 设 P( x， 0)， E(0， y)，求 y 关于 x 的函数关系式，并求y 的最大值；(2) 如图 2，若翻折后点 D 落在 BC 边上，求过点 P、B、 E 的抛物线的函数关系式；(3) 在 (2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使 PEQ 是以