数值分析考试复习总结

1、第一章1 误差相对误差和绝对误差得概念例题 :当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时 , 一般要经历哪几个阶段 ? 在哪些阶段将有哪些误差产生 ?答: 实际问题 - 数学模型 - 数值方法 - 计算结果在这个过程中存在一下几种误差 :建立数学模型过程中产生 : 模型误差 参数误差选用数值方法产生 : 截断误差计算过程产生 : 舍入误差 传播误差6设 a0.937 关于精确数 x 有 3 位有效数字，估计 a 的相对误差 .对于 f ( x)1x ，估计 f (a) 对于 f ( x) 的误差和相对误差 . 解 a 的相对误差：由于| E(x) | x a1103.Er (x)x a ,2

2、xEr ( x)1102110 2.（ Th1）2918f ( a) 对于 f ( x) 的误差和相对误差 .| E( f ) | | 1 x1 a | =a x1210 3=1031 x1 a 20.25| Er ( f ) | 10 31 a 4 10 3 .2 有效数字基本原则 :1两个很接近的数字不做减法:2:不用很小得数做分母 ( 不用很大的数做分子 )例题 :4改变下列表达式使计算结果比较精确：（ 1）111x,对 | x |1;2 x1x（ 2）x1x1,对 x1;xx（ 3）1 cos x ,对 x0,| x | 1 .x解 (1)2x2(1x) (12x) .(2)2 x.(

3、x 1 xx 1 x )(3)1cos xsin 2 xsin xxx(1cos x).1 cos x第二章拉格朗日 插值公式 （即公式（ 1）插值基函数（因子） 可简洁表示为nn其中 :n ( x)( x x j ),nxi(xix j ) .j 0j 0j i例 1 n=1时，线性插值公式P1( x) y0(x x1)y1(xx0 )，( x0x )( xx )110例 2 n=2 时，抛物插值公式牛顿（ Newton）插值公式由差商的引入，知（1） 过点 x0 , x1 的一次插值多项式 为其中（2） 过点 x0 , x1 , x2 的二次插值多项式 为其中重点是分段插值 :例题 :1.

4、 利用 Lagrange 插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：（ ）-101/211-3-1/201（ ）-101/212-3/2001/2解(2) ：方法一 .由 Lagrange插值公式可得：L3 ( x)x2 (x1 2)方法二 .令由 L3(1)3， L3 (1)1，定A，B（称之为待定系数法）15. 设 f ( x)22x2 ，求 f (x) 在区间 0,1 上的分段线性插值函数fh ( x) ，并估计误差，取等距节点，且 h 1/10.解f ( x)x2 ， xiih ， i 0, 1, 10 ， h110设xixxi 1，则：误差估计：fmax (x ih) (x

5、 (i 1)h) .| f (x) f h ( x) |2!ix x (i 1) h第三章最佳一致逼近 :( 了解 )最佳平方逼近主要分两种情形：1. 连续意义下在空间 L2 a,b 中讨论2. 离散意义下在 n 维欧氏空间 Rn 中讨论，只要求提供 f 的样本值1. 最佳逼近多项式的 法方程组设2, 的维子空间P=span2n,L a bn 1, x n1, x, x其中 1, x, x 2, xn 是 L2 a,b 的线性无关多项式系 .L2 a, b ，设其最佳逼近多项式* 可表示为 :n对f*iai* xi0由( f* ,) 0,Pnn即j( xi , x j )a*j ( f ,xi

6、),i 0(1)n（*2）0其中称(*2)式为最佳逼近多项式的法方程组（或正规方程组） .由 xi in0 的线性无关性，可证明 G 正定，即上述法方程组的解存在且唯一.11、 求f ( x)cosx ，x 0, 1 的一次和二次最佳平方逼近多项式 .解： 设P* ( x)a0ax，P*( x) b0b x b x211212分别为 f ( x) 的一次、二次最佳平方逼近多项式。( f , g )1内积f ( x) g(x)dx0计算如下内积：(1, 1)1,1,21(1, x)(1, x )3213 ,21221(x, x)( x, x )(x , x )4 ,5(1, f )0,( x,

7、f )22 ,( x2 ,f )2 2建立法方程组：a01 a101224(1)2，得： a0， a11 a022(1) a12 223*(x)1224x于是P122b0( 1)b110b223(2)1b01b11b2223421b01b11b223452解得： b012， b124， b2 0 ,于是： P2 ( x)12242222 x .第四章1 为什么要进行数值积分 ?常用哪些公式 , 方法 ? 答: 梯形复化求积公式和 simpson 复化求积公式 .2: 方法好坏的判断 : 代数精度误差分析1. 代数精度的概念bn定义若求积公式wi f (xi ) （ * ）对所有次数m 的多项式

8、是精确的，但对f ( x)dxai 0m 1 次多项式不精确，则称（ * ）具有 m 次代数精度。等价定义若求积公式（ * ）对 1, x, x2 , xm 是精确的，但对xm 1 不精确，则（ * ）具有 m 次代数精度。3: 误差1 等距剖分下的数值求积公式：公式特点：节点预先给定 ，均匀分布, 系数wi, i0(1)n待定利用插值多项式pn ( x) 近似代替f ( x) ，即得插值型求积公式Newton-Cotes公式2 给定节点 数下的具有最佳逼近性质 （具有最高次代数精度） 的数值求积公式： Gauss 求积公式公式特点：系数 wi,i0(1)n和节点xi , i0(1)n均待定3

9、 分段插值多项式n ( x)近似代替f (x)（分段求积） 复化求积公式复化求积公式通过高次求积公式提高精度的途径不行，类似函数插值分而治之：分段低次求积公式 -称为复化求积法两类低次（ n4 ）求积公式：1. NewtonCotes 型：矩形、梯形、 Simpson、Cotes 公式分别称为复化矩形、梯形、辛甫生、柯特斯公式2. Gauss型： 一点、两点、三点 Gauss 求积公式称为复化一点、两点、三点 Gauss 公式复化梯形公式（ Tn ）Tnh f ( x 0 )f ( x1 )f ( x1 )f ( x 2 )f ( x n 1 ) f ( x n )2n1复化辛甫生公h f (

10、 a )ba2f ( x k )f (b ),h2k1n式:（每个 ek 上用辛甫生公式求积）S nh f ( x0 )4 f ( x 1 )f ( x1 ) f ( x1 )4 f ( x 3 )f ( x 2 )622f( x n 1 )4f ( x n1)f ( x n )2h f ( a )nn141f ( x k1 )21f ( x k )f ( b )6k2k其中hba ， xk1/ 2 为 ek的中点n复化辛甫生公式是最常用的数值求积方法。常采用其等价形式：复化柯特斯公式ba为 x , x 的中点，其中， h， xk1n2k 1 kxk 41， xk43 为 xk 1 , xk

11、的四等分的分点自适应复化求积法计算时，要预先给定n 或步长 h ，在实际中难以把握因为， h 取得太大则精度难以保证，h 太小则增加计算工作量 .自适应复化梯形法的具有计算过程如下：步 1n1, hba , T1h f ( a ) f ( b )2步 2步 3判断 |T2T1 |？若是，则转步 5；步 4n2n, hh / 2, T1T2 ，转步 2；步5输出T2.第五章1: 常用方法 :(1). 直接解法：Gauss 逐步（顺序）消去法、Gauss主元素法、矩阵分解法等；(2). 迭代解法：构造某种极限过程去逐步逼近方程组的解. 经典迭代法Jacobi 迭代法、 Gauss Seidel迭代

12、法、逐次超松弛（ SOR）迭代法等； . Krolov 子空间的迭代法根据 A的对称性，又分为：A对称正定 -共轭梯度法A非对称 - BICG、 GMRes(最小残量法 ) . 解一类特定背景问题的迭代法多重网格法2: 几类迭代法优缺点比较 :3: 迭代方法目标：求解 Axb其中， A非奇异。基本思想 ：把线性方程组 Axb 的解 x ，化为一个迭代序列极限解关键：构造迭代序列所满足的公式：迭代格式。构造迭代格式基本步骤：1将 A分裂： A:BC， 其中， B非奇异2构造迭代格式其中 GB 1 C ，称之为 迭代矩阵 ,gB 1b其中， bAx( k ) 为 x( k ) 的残余向量此时， G

13、IB 1 A ,gB 1b常用的迭代方法将 A( aij ) 分裂为ADL U其中000a12a210，U0La n 1a n , n 1 00Jacobi 迭代方法若 aii0 ，迭代格式a1 n,a n1,n0x(k 1)GJx( k )g其中Jacobi迭代矩阵： GJD 1(LU )式可写为分量形式xi( k 1) 1 binaij x(j k ) , k0 .（*1）aiij1ji方法（ *1 ）或称为 Jacobi 迭代方法 .Gauss Seidle 迭代方法若 aii0 ，迭代格式x (k 1)GG x (k )g其中，Gauss-Seidel迭代矩阵： GG( DL) 1U其

14、分量形式xi( k 1)1i1nbiaij x(j k 1)aij x(jk ) , i1,2, n .（*2 ）aiij1j i 1即，在计算新分量 xi( k 1)时，利用新值 x(j k 1) ， j1,2, ,i1。迭代法（ *2 ）或称为 GaussSeidel 迭代方法 。超松弛方法 (SOR)方法定义 SOR方法的迭代格式如下：1i1zi( k 1) b ia ij x (j k 1 )a iij1x i( k 1 )zi( k 1)(1) xi( k )称为松弛因子，1即为 GS方法.其矩阵形式其中，SOR法的迭代矩阵： G(DL)g(DL) 1b .n( k )a ij x

15、j ,i1,2, n（*3 ）1(1)DU 第七章1: 解非线性方程与方程组的方法 :1. 准确方法如：用求根公式对n4 次的代数多项式求根。但： 绝大多数的方程并无准确方法可用。如：n5 次的代数多项式并无求根公式。2. 数值方法（实际中大多采用）基本思想：设法找到一个能收敛到方程的解的序列。(1). 区间套法二分法。(2). 迭代法：. 简单迭代法；. Newton 迭代法 ;3.割线法 ;4. 加速算法。2: 收敛条件 : 二分法无条件简单迭代法条件 :定理 1如果(x) 满足以下条件 :1)x a, b ,( x) a, b ;2)常数L:0 L1,使得对任意两点 x x2 a,b都有

16、1,( x1 )( x2 )L x1x2 ,则 :方程 (*)在 a, b上的解存在唯一 , 且对任给的初值 x0 , 由迭代过程 (* *)所产生的序列 xk收敛到 .例题 :2. 为求方程 x3x 210 在 x01.5 附近的一个根， 设将方程改写为下列等价形式， 并建立相应的迭代公式：（1） x11/ x2 ，迭代公式xn 111/ xn2（2） x31x2 ，迭代公式 xn 1(1xn2 )1/ 3 ，（3） x21/( x1) ，迭代公式xn1 1 ( xn 1)1/ 2 ，试分析每一种迭代公式的收敛性，并问哪一种迭代收敛得快？解：取 x01.5 的邻域 1.3, 1.6 来考察(

17、1)( x)1 1/ x2，(x)2 / x32/1.330.9011 ，故迭代公式 (1) 收敛 .(2)( x)(113 ,x2 )( x) 2x / 3(1 x2 )2 / 3 2 1.6 / 3(1 1.32 ) 2 / 30.5515 ，故迭代公式（ 2）也收敛。(3)( x)1/( x1)1 / 2 ,故迭代公式（ 3）发散 .由于( x0 ) 越小，越快地收敛于根，故（ 2）式收敛最快。第八章解一阶常微分方程的常用方法: Euler方法Runge-Kutta方法2 阶常微分方程边值问题的差分方法1 三类边值问题1 ）第一类边值问题：y ( x) f ( x, y( x), y (

18、 x), a x b ，（3.1 ）y(a),y(b)。(3.2)2 ）第二类边值问题：y ( x) f ( x, y( x), y ( x), a x b ，（3.3 ）y (a),y(b)。(3.4)3 ）第三类边值问题：y ( x) f ( x, y( x), y ( x), a x b ，（3.5 ）y (a)0 y(a)1 ,y (b)0 y(b)1，(3.6)其中，0,00,000。2差分格式的建立针对方程（ 3.1 ）而言 .Step 1取 a,b的离散节点 :a x0x1xNb , 第 m 步步长 hmxm xm 1 , 一般可取等步长 :hmh ,m1,2, N.Step 2将y ( xm )用二阶差商、y ( xm ) 用一阶差商近似：y ( xm )y(xm 1 )2 y( xm )y(xm 1 ) ,m1,2, N ，h2y ( xm )y( xm 1 )y( xm 1 ) ,m 1,2,N .2h理由：由 Taylor 展开，有y (xm )y( xm 1 )2 y(xm )y(xm 1 )h2y( 4 ) (m ),m1,2,N 1h212xm 1mxm .y (xm )y( xm