数一20年考研试题-多元积分学

1、2003 年考研数学（一）真题1.（本题满分10 分）过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及 x 轴围成平面图形D.(1) 求D的面积 A;(2)求 D绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积V.2.（本题满分10 分）已知平面区域 D( x, y) 0x,0 y ，L 为 D 的正向边界 . 试证：(1)xesin ydyye sin x dxxe sin ydyyesin x dx ;LL(2)xesin ydyye sin xdx22 .L3.（本题满分12 分）设函数 f(x) 连续且恒大于零，f ( x2y 2z2 )dvf ( x 2y2 ) dF (t)(

2、t )， G (t)D (t )，f (x 2y 2 )dt2 )dxf ( xD(t )1其中 () (,)2y2z2t2， D (t) ( x, y) x2y22.tx y z xt(1) 讨论 F(t) 在区间 (0, ) 内的单调性 .(2) 证明当 t>0 时， F (t)2 G (t).2005 年考研数学（一）真题评注1. 设是由锥面zx 2y 2 与半球面 zR 2x 2y2 围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则xdydzydzdx zdxdy 2(12 )R3.22. 解答题（本题共 9 小题，满分94 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（ 15）（本题

3、满分11 分）设 D( x, y) x 2y22 , x0, y 0 ，1x 2y 2 表示不超过 1x 2y 2 的最大整数 . 计算二重积分xy1x 2y 2 dxdy.D3.（本题满分12 分）设函数( y) 具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分( y)dx2xydy 的值恒为同一常数 .L2x2y41（ I）证明：对右半平面 x>0 内的任意分段光滑简单闭曲线C，有( y)dx 2ydyx0 ；24C2xy（ II ）求函数( y) 的表达式 .2008 年考研数学（一）真题评注1. 设曲面是 z4x2y2 的上侧，则xydydzxdzdxx2 dxdy

4、.2. （本题满分 10 分）计算曲线积分Lsin 2xdx2x21ydy ，其中 L 是曲线 ysin x 上从点0,0 到点,0的一段 .1994 年考研数学（一）真题评注1.设区域 D 为 x2y22(x2y2R ，则a22 )dxdy。Db2.计算曲面积分xdydzz2 dxdy，其中 S是 由 曲 面 x2y2R2及两平面Sx2y2z2zR, zR( R0)所围成立体表面的外侧。3. 已知点 A 与 B 的直角坐标分别为（ 1,0,0 ）与（ 0,1,1）。线段 AB 绕 z 轴旋转一周所成的旋转曲面为 S，求由 S 及两平面 z 0, z 1所围成的立体体积。1995 年考研数学（

5、一）真题评注1.计算曲面积分zds，其中是由锥面 zx2y2在柱体 x2y22x 内的部分。2.设函数 Q(x,y) 在 xoy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分2xydxQ( x, y)dy 与路径L无关，并且对任意t 恒有( t ,1)(1,t )2xydxQ ( x, y)dy2 xydxQ (x, y) dy(0,0)(0,0)求 Q(x,y)1996 年考研数学（一）真题评注1. 计算曲面积分(2 x z)dydzzdxdy ，其中 S 是有向曲面 z x2y 2 (0 z 1) ，其法S向量与 z 轴正向的夹角为锐角。21997 年考研数学（一）真题评注1.计算 I(x2y2 )

6、dv ，其中为平面曲线y22z 绕 z 轴旋转一周形成的曲面与平x0面 z 8 所围成的区域。2.计算曲面积分(z y)dx ( xz)dy ( x y)dz ，其中x2y21C 是曲线y z从 z 轴Cx2正向往 z 轴负向看C 的方向是顺时针的。1998 年考研数学（一）真题评注1.设 L 为椭圆 x2y21，其周长记为a,则 ?(2 xy3x24 y2 ) ds。43L1999 年考研数学（一）真题评注1.求 I(ex sin yb( xy) dx(ex sin y ax)dy ，其中 a，b 为正的常数， L 为从点 A(2a,0)L沿曲线 y2ax x2 到点 O（ 0,0）的弧。2

7、.设 S 为椭球面 x2y2z21的上半部分， 点 P(x, y, z)S ，为 S在点 P处的切平22面，(x, y, z) 为点 O(0,0,0)到平面的距离 ,求zds 。S( x, y, z)2000 年考研数学（一）真题评注1.设 S : x2y2z2a2 ( z0) ， S1 的 S 在第一卦限中的部分，则有（）Axds4xdsByds4xdsSS1SS1Czds4xdsDxyzds4xyzdsSS1SS1xdyydx1,0 为中心， R 为半径的圆周R 1 取2.计算曲线积分I?L 4x2y2 ，其中 L 是以点逆时针方向 .x0 内任意的光滑有向封闭曲面3.设对于半空间都有S,

8、òxf ( x)dydzxydzdx e2 x zdxdy 0S3其中函数f ( x) 在 (0,) 内具有连续的一阶导数，且lim f ( x) 1，求 f ( x) 。x 02001 年考研数学（一）真题评注1. 计算 I? ( y 2 z2 )dx (2 z2 x2 )dy (3x 2 y2 )dx ，其中 L 是平面 x y z 2与柱L面 xy1 的交线，从z 轴正向看去，L 为逆时针方向。2006 年考研数学（一）真题评注1.设是锥面 zx2y2 (0z1) 的下侧， 则xdydz2 ydzdx3( z1)dxdy。412.设 f(x,y) 连续函数，则f (r cos

9、,r sin)rdr 等于d0021x221x2A2f ( x, y)dyB2dxf (x, y)dydxx00021y221y2C2f ( x, y) dxD2dyf ( x, y) dxdyy0003.设区域 D ( x, y) | x2y21, x0 ，计算二重积分I12 xy2 dxdy 。D 1 xy4.设在上半平面 D( x, y) | y0 内，函数 f (x, y) 有连续偏导数，且对任意的t 0都有f (tx,ty)t 2 f ( x, y) 。证明：对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有 ?Lyf ( x, y) dxxf (x, y)dy02009 年考研数学（一）真题评注1