数列与数学归纳法

1、专题 39数列与数学归纳 法【热点聚焦与扩展】数学归纳法是一种重要的数学方法，其应用主要体现在证明等式、证明不等式、 证明整除性问题、归纳猜想证明等本专题主要举例说明利用数学归纳法证明数列问题.1、数学归纳法适用的范围：关于正整数n 的命题（例如数列，不等式，整除问题等），则可以考虑使用数学归纳法进行证明2、第一数学归纳法：通过假设 nk 成立，再结合其它条件去证nk1 成立即可 . 证明的步骤如下：（1）归纳验证：验证nn0 （ n0 是满足条件的最小整数）时，命题成立（2）归纳假设：假设 nk kn0 ,nN 成立，证明当 nk 1 时，命题也成立（3）归纳结论：得到结论：nn0 ,nN

2、时，命题均成立3、第一归纳法要注意的地方：（1）数学归纳法所证命题不一定从n1 开始成立，可从任意一个正整数n0 开始，此时归纳验证从 nn0 开始（2）归纳假设中，要注意kn0 ，保证递推的连续性（3）归纳假设中的nk ，命题成立， 是证明 nk1 命题成立的重要条件. 在证明的过程中要注意寻找nk1与 nk 的联系4、第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设nk 命题成立时，可用的条件只有nk ，而不能默认其它nk 的时依然成立 . 第二数学归纳法是对第一归纳法的补充，将归纳假设扩充为假设nk ，命题均成立，然后证明nk1 命题成立 . 可使用的条件要比第一归纳法多，证明的

3、步骤如下：（1）归纳验证：验证nn0 （ n0 是满足条件的最小整数）时，命题成立（2）归纳假设：假设nk kn0 ,nN 成立，证明当nk1时，命题也成立（3）归纳结论：得到结论：nn0 ,nN 时，命题均成立.5. 注意点：对于归纳猜想证明类问题，有三个易错点. 一是归纳结论不正确；二是应用数学归纳法，确认n 的初始值n0 不准确；三是在第二步证明中，忽视应用归纳假设.【经典例题】例 1. 【 2018 届重庆市第一中学5 月月考】已知为正项数列的前项和，记数列的前项和为，则的最小值为 _.【答案】【解析】分析：由题意首先求得，然后利用题意结合函数的性质确定最小值即可.详解：由题意结合，以

4、下用数学归纳法进行证明：当时，结论是成立的，假设当时，数列的通项公式为：，则，由题意可知：，结合假设有：，解得：，综上可得数列的通项公式是正确的.据此可知：，利用等差数列前n 项和公式可得：，则，结合对勾函数的性质可知，当或时，取得最小值，当时，当时，由于，据此可知的最小值为.点睛：本题的关键在于合理利用归纳推理得到数列的通项公式. 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法例 2.设 Sn 为数列 a n 的前 n 项和，满足Sn2an2 (n N* )（1

5、）求的值，并由此猜想数列a n 的通项公式（2）用数学归纳法证明（）中的猜想【答案】（ 1）；（ 2）见解析 .an；当 n 4 时， a1 a2 a3 a4 S42×a42，a4 16.*由此猜想：(n N) (2) 证明：当 n1 时， a1 2，猜想成立*，假设 nk(k 1 且 kN) 时，猜想成立，即那么 n k 1 时，ak 1 Sk 1 Sk 2ak 1 2akak 1=2ak，这表明 nk 1 时，猜想成立，由知猜想成立点睛： 数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，论写明莫忘掉 .归纳假设要用到，结例 3已知数列（）试求数列（）请猜想【答案】（）（）

6、满足：，的值；的通项公式，并运用数学归纳法证明之，证明见解析 .由此猜想.下面用数学归纳法证明之：当时，假设时，结论成立，即有则对于时，结论成立；，当时，结论成立.综上，可得对，成立点睛：运用数学归纳法证明数学问题的步骤及其需要注意的问题：1、第一步：归纳奠基（即验证时成立）；第二步：归纳递推（即假设时成立，验证时成立）；3、两个条件缺一不可，在验证时成立时一定要用到归纳假设时的结论，最后得到的形式应与前面的完全一致.例 4. 【 2018 届浙江省温州市高三9 月一模】已知数列中，（）（1）求证：；（2）求证：是等差数列；（3）设，记数列的前项和为，求证：【答案】 (1) 证明见解析；（ 2

7、）证明见解析； （ 3）证明见解析 .【解析】 试题分析：（ 1）利用数学归纳法可证明； （ 2）化简，由可得是等差数列；（ 3）由（ 2）可得，从而可得，先证明，利用放缩法及等比数列求和公式可证结论.（2）由，得，所以，即，即，所以，数列是等差数列（3）由（ 2）知，因此，当时，即时，所以时，显然，只需证明，即可当时，例 5. 已知函数 fxaxb2ln x, f10x（1）若函数 fx 在 x1处切线斜率为0， an 1f '1n2 1 ，已知 a14 ，an n1求证： an 2n2（2）在（ 1）的条件下，求证：11121 a11L1an5a2【答案】见解析下面用数学归纳法证明

8、：an2n2当 n1时， a14 2n 2 成立假设 nk kN成立，则 nk1 时ak 1ak ak2k1Q ak2k2ak 12k2214k52 k12nk1时，不等式成立nN ,an2n2（2） Q aa22na1aa2n1n 1nnnn由（ 1）可知 an2n 2an12an1an1 12 an1111an 112an111111L11an1 2 an 11 22 an 212n 1 a1111111nL111 a11 a2L21 an1 a12n111221n2111a115252例 6【浙江省绍兴市2018 届 5 月调测】已知数列中.（1）证明：；（2）设数列的前项和为，证明：【

9、答案】（ 1）见解析；（ 2）见解析详解：（ 1）数学归纳法：当时，显然有.假设当，结论成立，即，那么，即，综上所述（2）由（1）知：成立 .，即，；点睛： 解决数列与函数、不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条件，函数与不等式的知识求解；数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点例 7【福建省南平市2018 届 5 月检查】己知函数.（）求函数的单调区间；（）若函数的最小值为 -1 ，数列满足，综合，记【答案】（）见解析;，表示不超过（）见解析 .的最大整数证明：详解：（）函数的定义域为.1、当时，即在上为增函数；2

10、、当时，令得，即在上为增函数；同理可得在上为减函数 .（）有最小值为 -1 ，由（）知函数的最小值点为，即，则，令，当时，故在上是减函数所以当时，. （未证明，直接得出不扣分）则. 由得，从而. ，.猜想当时，.下面用数学归纳法证明猜想正确 .1、当时，猜想正确 .2、假设时，猜想正确 .即时，.当时，有，由（）知是上的增函数，则，即，例 8. 已知函数，在原点处切线的斜率为，数列满足为常数且，（1）求的解析式；（2）计算，并由此猜想出数列的通项公式；（3）用数学归纳法证明你的猜想【答案】（ 1）；（ 2）；（ 3）证明见解析（2），则，由此猜想数列的通项公式应为（3）当时，猜想显然成立，假设

11、时，猜想成立，即，则当时，即当时，猜想成立由知，对一切正整数都成立例 9. 已知数列是等差数列，.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的通项( 其中且) 记是数列的前 项和，试比较 与的大小，并证明你的结论 .【答案】（ 1）；（ 2）当时，, 当时，证明见解析 .详解： (1)设数列 b n 的公差为d,由题意得, bn=3n2 .(2) 证明：由bn=3n 2 知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+loga(1+)=loga (1+1)(1+)(1+) 而logabn+1=loga, 于是，比较Sn 与log abn+1的大小比较 (1+1)(1+)(1+) 与的大小取 n=1，有

12、 (1+1)=取 n=2，有 (1+1)(1+推测(1+1)(1+)(1+) (* )当n=1 时，已验证 ( * ) 式成立假设 n=k(k 1) 时 ( * ) 式成立，即则当 n=k+1 时，(1+1)(1+)(1+) ,即当 n=k+1 时， ( * ) 式成立由知， ( * ) 式对任意正整数n 都成立于是，当 a 1时， Sn log abn+1, 当 0 a 1时， S logbna n+1 .例 10. 【 2018 年浙江省高考模拟】已知数列xn 满足： x11, xn xn 1xn 1 1 1 .证明：当 nN *时，（1） 0 xn 1xn ；（2） 3xn 12xnxn

13、 xn 1；3n 1n2（3） 2xn2.33【答案】（ 1）见解析；（ 2）见解析；（ 3）见解析由数列的递推式，以及（113110，根据等比数列的通项2）的结论可得32xn3xn 13n 23 xn 1 ，即可证明不公式即可证明 xn，再结合已知可得xnxn1xn 11 122等式成立 .详解：（ 1）数学归纳法证明：xn0当 n 1时， x11 0成立假设 nk 时 xk0 ，成立，那么nk1时，假设x0 ，k 1则 xkxk1xk1110，矛盾所以 xk10 ，故 xn0 得证所以 xnxn 1xn 11 1 xn 1 ，故 0 xn 1xn（2）由 xxn 1xn 111n得 xn

14、xn 19xn 16xnxn 12xn 1 6 xn1 4xn 16设 f xx2x6x14x6(x0)2 x 1 12则 f ' x2xx 12x 645x 11149x 12x48113 110，则 1n 1n 2（3）由（ 2）得111 33xn 13 2 xn3xn3x13 223n2所以 xn2又x 111 x x0，所以xn 11 11 xn 1 ，所以2322xnxn 1xn 1 1 1xn 1 ，故 xn 1xn232n1n 1n 2所以 xn223，所以3xn3【精选精练】1用数学归纳法证明“”时，由时等式成立推证时，左边应增加的项为_ .【答案】点睛： 项数的变化规

15、律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点， 要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.2用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为_【答案】【解析】试题分析：由题意得： “金鱼”图需要火柴棒的根数依次构成一个等差数列，为 8，公差为6，因此第n 项为x+kw首项3已知数列中，且.（1）求，；（2）根据（ 1）的结果猜想出（3）若，且【答案】（ 1）；（ 2）的一个通项公式，并用数学归纳法进行证明；，求.，证明见解析； （ 3）.（2）由此猜想.下面用数学归纳法加以证明：当时，由（ 1）知假设，结论成立

16、，即成立；成立 .则当时，有，即即 时，结论也成立；由可知， 的通项公式为.（3）由（ 2）知，.4已知数列的前项和为，且满足（1）计算，根据计算结果，猜想（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.【答案】 (1) 答案见解析；(2) 证明见解析 .，的表达式；.【解析】分析： （1）计算，根据计算结果，猜想. （2）用数学归纳法证明猜想的结论 .由此猜想，（2）下面用数学归纳法证明，当时，显然成立，假设当时猜想成立，即，由题意得，当时猜想也成立，由和，可知猜想成立，即.点睛：（ 1）在利用数学归纳法证明数学问题时，一定要注意利用前面的时的假设，否则就是伪数学归纳法，是错误的. （ 2）看到或，要注

17、意联想到项和公式解题 .5已知数列满足，.（1）计算，根据计算结果，猜想（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.【答案】 (1) 答案见解析；(2) 证明见解析 .的表达式；由此猜想；（2）下面用数学归纳法证明，当时，显然成立，假设当时猜想成立，即，由题意得，当时猜想也成立；由和，可知猜想成立，即.6已知数列满足且（1）计算、的值，由此猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法对你的结论进行证明【答案】（ 1），；（ 2）证明见解析 .【解析】试题分析： （ 1）由,，将代入上式计算出、的值，根据共同规律猜想即可；（ 2）对于，用数学归纳法证明即可 . 当时，证即当时，结论也成立，由得，数列的通项公式

18、为.7在数列中，（）计算，的值（）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明【答案】（ 1），；（ 2），证明见解析.（）由（）可猜想：，证明：当时，等式成立，假设时，等式成立，即，则当时，即当时，等式也成立，综上所述，对任意自然数，8已知数列数列a n 的通项公式an ( 1) n(2n 1)(n N* ) ， Sn 为其前n 项和(1) 求 S1， S2， S3， S4 的值；(2) 猜想 Sn 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论【答案】 (1)S 1 1，S2 2， S3 3， S4 4；(2) 答案见解析 .【解析】 试题分析： ( ) 根据 an1 n 2n1 ，代入 n1,2,3

19、,4 计算，可求 S1, S2 , S3 , S4的值； ( ) 由( ) 猜想Sn 的表达式，再根据数学归纳法的证题步骤进行证明，检验n1 时等式成立，假设nk 时命题成立，证明nk1 时命题也成立即可.试题解析： (1) 依题意可得S1 1， S2 1 3 2，S3 1 3 5 3， S4 13 57 4；(2) 猜想： Sn ( 1) n·n.证明：当n 1 时，猜想显然成立；假设当n k 时，猜想成立，即Sk ( 1) k·k，那么当 n k 1 时，Sk 1 ( 1) k ·k ak 1 ( 1) k·k ( 1) k 1(2k 1) ( 1)

20、 k 1·(k 1) 即 n k 1 时，猜想也成立故由和可知，猜想成立 .【方法点睛】本题考查归纳推理以及数学归纳法的应用，属于中档题. 由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有用, 观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一 . 通过不完全归纳法发现的规律，用数学归纳法加以证明才能应用.9设 t 0 ， f xtx ，令 a11 ，n 1n ， n N .txaf a（1）写出 a2 ， a3 ， a4 的值，并猜想数列an的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的结论 .12t13t2

21、2t4 t 3t3nt n 1【答案】 (1)a 1， a t， a t 2；a3t 2，猜想 a t n 1n 1 t n 2（nN+）； (2) 证明见解析 .试题解析：（1）a1 1，a f （ a ） f （ 1）t，21t1a3f （ a2）t 22t ； a4 f （ a3）t 3t 2t 33t 2 ，猜想 an t n 1t n1（nN+）；n 1 t n 2（2）证明：易知， n 1时，猜想正确 .假设 nk 时猜想正确，即a t k1t k12 ，k1 t kktt k1t akt k 1k 1 t k 2t k=则 ak 1f （ ak）t ak =tt k 1tk 1t

22、k 2t kkt k 1 .k1这说明 nk 1 时猜想正确 .+ntn11 tn 2 .由知，对于任何nN，都有 a t n 1n点睛： 数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题证明时步骤 (1) 和 (2)缺一不可，步骤 (1)是步骤 (2)的基础，步骤(2) 是递推的依据10. 【 2017浙江， 22】已知数列 x n 满足： x1=1， xn=xn+1+ln(1+xn+1) （ nN ）证明：当 nN 时，（） 0 xn+1 xn；（） 2xn+1- x n xn xn 1 ；2（）1xn12n 12n2【答案】（）见解析；（）见解析；（）见解析【解析】

23、（）由 xnxn 1ln(1xn 1 )xn 1 得xn xn 14xn 12xnxn212xn 1( xn 1 2) ln(1 xn 1)【名师点睛】本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，不等式及其应用，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题本题主要应用：（ 1）数学归纳法证明不等式； （2）构造函数 f (x)x22x ( x2)ln(1x)( x 0) ，利用函数的单调性证明不等式； （ 3）由递推关系证明11【 2018 届浙江省名校协作体高三上学期联考】已知无穷数列an 的首项 a11 ，211 an1, nN * .an 12an（）证明：0an1 ；anan23（） 记 bn1， Tn 为数列bn的前 n 项和，证明：对任意正整数 n ， Tnanan 1.10【答案】 ( ) 见解析； ( ) 见解析 .【解析】试题分析; （ I ）运用数学归纳法推理论证，（）由已知 an 121，即an1an ，可得数列a为递增数列 .anan2n1又 1111an