第二节牛顿莱布尼兹公式(新编)

1、第二节 牛顿-莱布尼兹公式目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导一、预备知识一、预备知识I.变上限的积分函数1.1.函数的概念函数的概念2.2.导数和原函数的概念导数和原函数的概念目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导 xadxxf)(考察定积分考察定积分 xadttf)(记记.)()( xadttfx积分上限函数积分上限函数 如如果果上上限限x在在区区间间,ba上上任任意意变变动动，则则对对于于每每一一个个取取定定的的x值值，定定积积分分有有一一个个对对应应值值，所所以以它它在在,ba上上定定义义了了

2、一一个个函函数数，二、变上限的积分函数二、变上限的积分函数1.1.变上限的积分函数的定义变上限的积分函数的定义目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导定理定理 如果如果)(xf在在,ba上连续，则积分上连续，则积分上限的函上限的函数数dttfxxa )()(在在,ba上具上具有导数， 且它的导数有导数， 且它的导数是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 2.积分上限函数的性质积分上限函数的性质定理定理2 2（原函数存在定理）（原函数存在定理） 如果如果)(xf在在,ba上连续，则积分上限的函上连续，则积分上限的函数数dttfxxa )

3、()(就是就是)(xf在在,ba上的一个上的一个原函数原函数. .目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导定理的重要意义：定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系间的联系.例例1 1)(,)(02xdttexxt 求设解解利用定理利用定理1得得)(x 2xxe 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtd

4、tedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.例例 1 xttx0,de)(2 已知已知求求 (x).解解根据定理根据定理 1，得，得 .ede)(220 xxttx 例例 2 0,d)13cos()(xttxF已知已知求求 F (x).解解根据定理根据定理 1，得，得 )(xF 0d)13cos(xtt xtt0d)13cos().13cos( x例例 3 xttx02,d)sin()( 设

5、设求求 (x).解解 (x) xxtt02d)sin(xxxxtt)(d)sin(02 .sin21xx 例例 4 2,d13xxtty设设解解.ddxy求求xydd xxxtt2d13 xaxxatttt2d1d133 xxaxxatttt2d1d133xxxttx)(d1120332.12163xxx II.牛顿莱布尼茨公式一、预备知识一、预备知识不定积分的基本公式和计算方法不定积分的基本公式和计算方法目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导定理定理3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）如如果果)(xF是是连连续续函函数数)(xf在在区区间间

6、,ba上上的的一一个个原原函函数数，则则 )()()(aFbFdxxfba . . 牛顿牛顿莱布尼茨公式：莱布尼茨公式：二、牛顿二、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba baxF)( 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导微积分基本公式表明：微积分基本公式表明： 一个连续函数在区间一个连续函数在区间,ba上的定积分等于上的定积分等于它的任意一个原函数在区间它的任意一个原函数在区间,ba上的增量上的增量.因此因此 注意注意当当ba 时，时，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分

7、问题转化为求原函数的问题.目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导例例2 2 求求 102dxx原式原式10331 x31 解解解解例例3 3 求求 11211dxx原式原式11arctan x)1arctan(1arctan 2 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导例例 5 计算下列定积分计算下列定积分. 解解;d11)1(102xx .dtan)2(30 xx xxd11)1(102 10arctanx ;40arctan1arctan xxdtan)2(30 30|cos|ln x0cosln3c

8、osln . 2ln 解解xxfd )(30 xxxxded31103 311034)e(43xx .e1e4332 例例 9.d )(31,e10,)( 303xxfxxxxfx 计计算算，设设函函数数例例3 3 求求 解解.112dxx 当当0 x时时，x1的的一一个个原原函函数数是是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 解解 原式原式= =例例4 4 求求 312dxx 212dxx 322dxx 3221)2()2(dxxdxx322212221212xxxx 5 2129 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导

9、3.微积分基本公式微积分基本公式1.积分上限函数积分上限函数 xadttfx)()(2.积分上限函数的导数积分上限函数的导数)()(xfx )()()(aFbFdxxfba 小结 牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系分学之间的关系目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导练习题计算下列各定积分：计算下列各定积分： 1 1. . 2122)1(dxxx; 2; 2. . 111dxeexx; ; 3 3. . 012241133dxxxx; 4; 4. . 20sindxx . . 目录目录后退后退主主页页退退出

10、出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导练习题解答练习题解答dxxx 2122)1(. 1dxxdxx 212122121213131xx 652 dxeexx 111. 2 111)1(xxeed11)1ln( xe1 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导 012341133. 3dxxxx 0122)113(dxxx 010122113dxxdxx01013arctan xx41 20sin. 4dxx 20sinsindxxdxx 20sinsinxdxxdx 20coscosxx4 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引

11、入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导习题5-21.1.求下列函数在指定点的导数求下列函数在指定点的导数)1(,1)()2()2(,11)()1(2312 求设求设dttxdttxxx2.2.求下列极限求下列极限200020arctanlim)2(coslim)1(xtdtxtdtxxxx 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导3.3.求下列定积分求下列定积分 2025010322021102121231221021221)10(42)9()1()8()cos3(sin)7(ln)6(11)5(11)4(11)3()1()2()1()1(dxxxdxxdxxxdxxxdxxxdxxdxxdxxdxxdxxe目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导习题习题5-2答案答案1)10(13)9(815)8(121)7(21)6(2ln)5(3)4(12)3(31)2(0)1.(321)2(1)1.(22)2(51)1.(1 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导目录目录后退后退主主页页退退出出本节的学习目