数学建模之输油管的布置

1、2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的 , 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D 中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名

2、号的话）：所属学校（请填写完整的全名） ：参赛队员 ( 打印并签名 )：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人( 打印并签名 ) ：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：输油管的布置摘要“输油管的布置”数学建模的目的是建立起数学模型寻求使铺设管道费用最低的设计方案。但是不同于普遍的最短路径问题，他受各种实际情况影响，例如，城区和郊区费用的不同，采用

3、共用管线和非公用管线价格的不同等都会对设计产生影响。我们基于最短路径模型，对于题目实际情况进行研究和分析，对三个问题都设计了合适的数学模型做出了相应的解答和处理。问题一：此问只需考虑两个炼油厂和铁路之间的位置关系，根据位置的不同设计相应的模型，我们根据光的传播原理和两大间线段最短的原则设计了最短路径模型，在不考虑共用管线价格差异时，只需考虑如何设计最短路线即可得到最低费用的设计方案；在考虑共用管线差价的情况下，只需建立两个未知变量，当代入已知常量，就可以解出变量的值。问题二：此问给出了两个加油站的具体位置，在此基础上增加了城区和郊区铺设管线单位价格的不同，我们进一步改进了数学模型，由于铺设费用

4、存在差异，输油管在城区和郊区的铺设将不会是直线方式，基于该模型，我们在模型基础上建立直角坐标系，设计 2 个变量就可以列出最低费用函数，利用 C+编辑程序求借出最小值。问题三：该问题的解答方法和问题二类似，但由于城郊管线和共用管线三者的价格均不一样，我们利用问题二中设计的数学模型进行改进，在坐标系内增加一个变量，建立最低费用函数，并且利用 C+解出最低费用和路径坐标。关键字： c+ 程序设计 光的传播原理 数学模型 最低费用输油管的布置一、问题的重述某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省

5、的一般数学模型与方法。1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。2. 设计院目前需对复杂情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A 厂位于郊区（图中的I 区域）， B 厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5 ，b = 8 ， c = 15 ，l=20。若所有管线的铺设费用均为每千米7.2 万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公

6、司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：工程咨询公司附加费用（万元 / 千米）公司一21公司二24公司三20请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A 厂成品油的每千米 5.6 万元，输送 B 厂成品油的每千米6.0 万元，共用管线费用为每千米7.2 万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。二、模型假设1、管道均以直线段铺设，不考虑地形影响。2、不考虑管道的接头处费用。3、忽略铺设过程中的劳动力费用，只考虑管线

7、费用。4、将两炼油厂和车站近似看作三个点。5、将铁路近似看作一条直线。6、不考虑施工之中的意外情况，所有工作均可顺利进行。7、共用管线的价格如果和非公用管线不一致，则共用管线价格大于任意一条非公用管线价格，小于两条非公用管线价格之和。8、根据查询资料我们可以为所给出的三个工程咨询公司进行分权，甲级资质分权 0.4 ，乙级资质分权为 0.3 。9、假设共用管线与非共用管线存在价格差时，共用管线价格大于非共用管线价格低于两倍的非共用管线价格。10、默认 A 炼油厂距离铁路比B 炼油厂近。三、符号说明W：方案的经费a：A 厂到铁路的距离b：B 厂到铁路的距离c: A 厂到城郊分界线的距离l: A 、

8、B 两厂之间的铁路长度m：共用管道的费用（万元/ 千米）n：非共用管道费用（万元/ 千米）L: 为管线总长度h：共用管线的长度x1：车站的横坐标（问题二）y1：城郊分界处拐点的纵坐标（问题二）x2：共用管线和非共用管线交点的横坐标（问题三）y2：城郊分界处拐点的纵坐标（问题三）p：附加费用的估计值。四、问题分析问题一：首先要考虑两个工厂是否在铁路的同一侧，如果两个工厂在铁路的同一侧那么一定要考虑共用管线的问题。如果不在铁路的同一侧那么就没有必要考虑共用管线这个问题。当两个工厂在铁路两边时，根据两点之间线段最短的原理只要求出两厂之间的距离，就可以得到最低费用设计；当两个工厂在铁路的同一侧时，且当

9、没有共用管线时，只需利用光的传播原理可得到最短路径；在考虑到有共用管线时，需建立方程求解最低消费设计方案。问题二：这个问题从市区和郊区分两个部分分析，火车站建立在郊区费用要少；因为郊区非共用管线与共用管线的费用相同， 所以可以用最短路径的方法来考虑， 同时又要求费用最小， 可以通过方程解出最低费用及对应的铺设线路。问题三：通过建立坐标系设两个点的坐标，同时也是表示出管线的长度，然后再与各自的费用之积确定总的费用，从而算出两点的坐标值。即确定了管线的路线。五、模型的建立与求解5.1 关于问题 1 的模型建立与求解对于管线布置的分析，分为两种情况：1、两个炼油厂在铁路两侧，如图所示：CEaBbDl

10、A两炼油厂 A,B 直接的连线与铁路的交点 E 为车站位置 此时 L= (a b)2l 2此时为最低费用设计方案。2、两个炼油厂位于铁路的同一侧, 则需考虑有无共用管线两种情况：a. 当没有公用管线时，此时找出两厂与铁路交点连线的最近路线即可，如图：AaCEaBbDlA过铁路CD 作 A 点的对称点A，连接A B，与铁路相交于点E 即为车站所在位置，此时L=(ab)2l 2此时为最低费用设计方案。b当存在共用管线时：A、当共用管线与非共用管线价格相同，均为m时：设计方案如图所示YBAxFb2aXhCEDl假设公共管线长度为 h；（0h b）x=a-h（1）L=( xb)2l2+h（ ）2L=(

11、ahb)2l2+h（ ）3W=Lm=m*2l2+m*h（ ）(a h b)4当实际情况下已知 a，b，l 的情况下，上式只存在一个未知数 h，再结合 h 的范围即可得出最低费用的设计方案。B、当共用管线价格为m，非共用管线价格为n；（nm2n）设计方案如图所示：BAFbaxhECDlW=h*m+n* (ah) 2x2 +n*(bh) 2(lx) 2其中：0 xl ；0 hb；实际情况下的费用可以根据已知道的常量 a、b、l 再结合 x、h 的取值范围可以得出最小费用。 5.2 关于问题 2 的模型建立与求解因为在城区和郊区铁路管线的费用相同， 而在城区有拆迁和工程补偿等费用， 所以城区和郊区要

12、分为两部分来考虑。 我们从三家咨询公司给出的三个方案来看， 我们考虑到甲级资质和乙级资质的评估准确性，所以我们对三家公司进行分权，甲级资质的权重为 40%，乙级资质的权重为 30% 所需要的附加费预估值为 p=0.4*21+0.3*24+0.3*20=21.6( 万元 / 千米 )由于城区管线铺设所花费的费用比较大 ，所以车站站点建设在郊区才是相对节约经费的。我们根据共用管线与非共用价格相同设计出如下图所示模型：YBG（5， y1）Ax25XF（ x1， h）h8CE15D20如上图所示建立坐标系，在城区部分我们可以得到每千米铺设管线费用为21.6+7.2=28.8万元。W=7.2*（h+(

13、y152x)22）+28.8*(822（ ）15y1)51x=5-h（2）W= 7.2* （ h+( y152h)22）+28.8*(822（ ）15y1)53其中 0h80y18利用 C+程序编辑器编辑程序求解：最小费用 W=283.201万。5.3 关于问题 3 的模型建立与求解根据城郊管线之间以及共用管线之间存在价格差异，我们建立出如下图的模型：YBG（ 5，y2 ）Ax25XF（ x2， h）h8E15CD20G为 B 管线与分界线之间的交点；F 为 A，B 管线间的交点；A 厂到 F 点距离：AF= (5h) 2(20x2)2 ；GF之间距离：FG= ( x25)2( y2h)2 ；

14、B 厂到 G点距离：BG= 52(8y2)2 ；共用管道 FE距离为 h；0h8；5x220；0y28；总费用：W=5.6*AF+6*GF+7.2*EF+（21.6+6 ）*BG(1)W=5.6* (5h)2(20x2) 2 +6*(x25)2( y2h)2 +7.2*h+27.6*52(8y2)2利用 C+程序编辑器编辑程序求解：得到最低的费用为W=252.474万元。六、模型的评价与应用从实际的生活出发输油管道是石油生产过程中的重要环节，石油工业始终离不开输油管线的铺设问题。它是炼油厂、车站、用户、产地之间的重要环节。优点：利用数学模型的建立，是复杂的实际问题简单化，同时又与实际情况相联系

15、。建立合适的数学模型可以使设计达到最优的目的，使解决复杂的时间问题更加简单化，更加得节约和快捷。缺点：该模型进行了很多假设，比如忽略接头问题，和施工费用问题，以及忽略了地形对施工的影响。在计算过程中由于 C+程序编程循环过于庞大，即采用由粗至细的运算方法，存在一定误差。应用：模型在实际运用中，不仅仅可以用在成品油运输管布置，还可运用到原油输送和污水处理，电线电缆的布置还有公路铁路的修建等一些列的线路布置问题。附录问题二的 C+程序片段#include<iostream.h>#include<math.h>void main()double h,y1,w;double a

16、,b;h=0;int i,j;double min=10000;for(j=0;j<=80000;j+)h=h+0.0001;y1=0;for(i=0;i<=80000;i+)y1=y1+0.0001;w=28.8*sqrt(8-y1)*(8-y1)+25)+(sqrt(y1+5-2*h)*(y1+5-2*h)+225)+h)*7.2;if(min>w)min=w;a=h;b=y1;cout<<"w="<<min<<'n'cout<<"h="<<a<<

17、;'n'cout<<"y1="<<b<<'n'问题二的 C+程序片段：#include<iostream.h>#include<math.h>void main()double h,y2,x2,w;double a,b,c;h=0;y2=0;x2=5;int i,j,k;double min=10000;for(i=0;i<=8;i+)h=h+1;y2=0;for(j=0;j<=8;j+)y2=y2+1;x2=5;for(k=0;k<=15;k+)x2=x2+1;w=27.6*sqrt(8-y2)*(8-y2)+25)+5.6*sqrt(5-h)*(5-h)+(20-x2)*(20-x2)+6*sqrt(x2 -5)*(x2-5)+(y2-h)*(y2-h)+7.2*h;if(min>w)min=w;a=h;进一步细化：#include<iostream.h>#include<math.h>void main()double h,y2,x2,w;double a,b,c;