粘性流体力学第二章

1、第二章 粘性流体力学的基本方程 第一节第一节 表述流体运动的方法表述流体运动的方法 第二节第二节 连续方程连续方程 第三节第三节 运动方程运动方程 第四节第四节 能量方程能量方程 第五节第五节 状态方程状态方程 第六节第六节 粘性流体的基本特征粘性流体的基本特征 第七节第七节 基本方程的量纲为基本方程的量纲为1 1化化 第八节第八节 在正交曲线坐标中基本方程的表达式在正交曲线坐标中基本方程的表达式 第九节第九节 叶轮中旋转相对坐标系中能量方程叶轮中旋转相对坐标系中能量方程 1 由于考虑了粘性剪切力，粘性流体力学的动力学方程必须与理想流体的动力学方程不同。这些方程的推导实际上就是经典力学的质量守

2、恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律在粘性流体力学中的具体应用。第一节 表述流体运动的方法 流体力学中的研究方法有两种：欧拉法和拉格朗日法。(目前发展: ALE法:任意拉格朗日-欧拉法)1、欧拉法和拉格朗日法2 拉格朗日法 拉格朗日法在于给出每一个确定流体质点的特征参数随时间的变化情况。从微观上讲研究流体质点的运动轨迹，这是理论力学中质点动力学的研究方法的延伸。从宏观上讲，这个方法研究的是系统，用 表示。 系统是包含了确定不变物质的集合。图21是流体中的一个系统，除了 以外是外界，系统与外界的交界面叫做界面A0，系统有以下几个特征003系统的边界A0随系统一起运动；边界A0上没有质量交换；在边界

3、A0上可以有外力的作用；系统与外界之间有能量交换，包括传热和外力对系统所做的功 。 图21 流体中的系统4 欧拉法 欧拉法在于给出每一瞬间占据流场每一空间点的流体质点的特征参数。从微观上讲，欧拉法不去跟踪流体质点的运动，而是研究流体质点在流过某一个几何点的运动状况，也就是说它的描述对象是流场。从宏观上讲，它研究的是控制体内的流场。 控制体 ，是空间某一个坐标系中，一个固定不变的几何体。控制体的表面叫做A，在不同时刻，控制体被不同的流体质点所控制面占据。5 一般来说，流体力学多用欧拉法描述，这两种方法联系的桥梁就是质点导数公式和输运公式。 控制面A有如下特点： 控制面不随时间变化； 在控制面上有

4、质量交换，有流体的流进和流出; 控制面上有外力作用； 控制面上有能量交换，除了传热和外力做功外，还有内能和动能的流进和流出，以及动量的交换，这些是由质量的交换造成的。62、质点导数 质点导数用 表示， 为流场中某一个流体质点的矢量特征参数，在欧拉法中用质点导数公式表示： （21）式中第一项代表由时间的变化所引起的变化率，也就是由于场的时间不定性所造成的变化率，叫做局部当地导数。第二项代表假定时间不变时，流体质点在流场中的位置变化所引起的变化率。这是由于场的不均匀性造成的，叫做迁移导数。DDttBBVBBDDtB7 3、输运公式 输运公式表示了系统 （ 包括边界A0）与控制体 （包括控制面A）两

5、者之间有关物理量变化之间的关系。令t时刻， ，A0A，那么： （22） 右边第一项表示由于控制体内物理量本身的变化所造成的变化率，也就是由于场在时间上的不定性所造成的；第二项是由于流动造成的变化率，也就是由于场在空间上的不均匀性所造成的。 0000DdddDnAVAtt 8 输运方程的物理意义： 某一时刻可变体积上系统总物理量的变化率，等于该时刻所在空间域（控制体）中物理量的时间变化率与单位时间通过该空间域边界净输运的流体物理量之和。 00DdddDnAVAtt 9 如图22中，由于积分域是可变的，积分域上系统的总物理量在时间间隔中 的变化为：1213( , )d( , )dItttrr123

6、( , )( , )d( , )d( , )dIttttttrrrr图22t 某时刻流场中，单位体积流体的物理量分布函数值为 则t时刻在流体域 的流体，有总物理量I I为( , ),tr( , )dItrooAA ，10( , )( , )|()tttttttrr微分中值定理1101lim( , )( , )ddttttttrr （）2101lim( , )d( , )()d tAdttA tttAdrrVV nn（）3201lim( , )d( , )()d ( )tAttddtAtA rV nrV nDdddDnAVAtt (22)1100DD( , )dDDt dtt aa raVDDd

7、dDD00tt 00DddDDttaaDDDddDDtt V输运积分的其他形式： (23a） (23b） (23c） (23d）12ddddnAAVAAn VVVVDdddDnAVAtt 证明（2-3a): (22)DDttVDDddDDtt V (23a）13 第二节 连续方程 连续方程是质量守恒定律对于运动流体的表达。由于不涉及力，因此不存在粘性流体和非粘性流体的差别。 对于系统来说，连续方程就是表示其质量不随时间变化： （24） （24）式就是拉格朗日型连续方程的积分表达式。 DdD000t 14对于控制体，可以从（22）式推导出连续方程 （25） 根据高斯公式可以得出：dd0nAVAt

8、()d0tVD0Ddt V（26）（27）15()0tVD0Dt V()0V0DDt0V欧拉型微分方程的微分形式： 对于定常流动 对于不可压缩流体 ，得出不可压缩流体的体积膨胀率为零。（28）（29）（210）（211）16 第三节 运动方程 由于粘性切应力的存在，粘性流体的运动方程和无粘性流体的运动方程不同，后者称为欧拉方程，粘性流体的运动方程叫做NavierStokes方程。 根据动量守恒定律，可以得出系统 的运动方程，即拉格朗日型NavierStokes方程的积分方程： 0A00000000DdddDnAAtVF 其意义为：系统 内的动量变化率等于系统内的体积力和边界 上的表面力。其中F

9、为单位质量上的体积力， 为边界上单位面积的表面力。（212）n17 式（212）右边积分不含有对时间的导数，而且在t时刻 ，A0A，故可以直接写成对控制体和控制面的积分。而（212）式左边可以利用（22）式改写成在t时刻对控制体的积分，即可以得到欧拉型NavierStokes方程的积分表达式 0()ddddnnAAVAAtVVFDdddDnAAtVF（213a） （213b）18根据（131）式和高斯积分公式： 由于被积函数是连续的，控制体可以任意选取，故可以得到欧拉型NavierStokes方程的微分形式： 根据广义牛顿粘性公式： d dnAA D d0DtVFD DtVFD()(2 )Dp

10、t VFV（214）（215）（216a）（216b）19令S S表示变形率张量而 表示速度梯度，也是一个二阶张量： iijjuxSeeiijjuxVe e（217a）S V11 ()()22SSVV（217b）（217c）（217d）V20)D() ()Dpt VFVSSD() ()Dpt VFVVV(2-16)式可以写成（218a）（218b） ()1313jjiiijijijjiijuuuuupuFtxxxxxxxij为分量，为重复脚表，称为哑标。 （218c） 式（216a），（218b）和（218c）称为动量动量方程的严格形式方程的严格形式。21 当温度变化很小 常数， 常数，动量方

11、程为:D()Dpt VFVVV2() VV()()()()()iiikijjjkjijjiuuuxxxxxx VeeeeeV2D() ()Dpt VFVV2()()jiiijijijjijuuuupuFtxxx xxx 利用：可得：（219）（220）（221）22() ()(2) ()pt VVVFVV2()() VVV22()() ()2Vpt VVFVV2()()2V VVVVV2()(2) ()2Vpt VVFV 利用： 可得： 利用： 可得：（222）（223a）（223b）23*总结:当温度变化很小 常数， 常数,运动方程为：2()()jiiijijijjijuuuupuFtxxx

12、 xxx 2D() ()Dpt VFVV() ()(2) ()pt VVVFVV22()() ()2Vpt VVFVV2()(2) ()2Vpt VVFV（220）（221）（222）（223a）（223b）24 取旋度，并且根据： 左边 右边 已知： 如果流体受有势力作用和流体是正压流体，设P是压力函数，那么： ()()()() V VVVVV2 ()02V D()DtVV ()0 V0F，1()0p143p FV2D()Dt VV25*流体受有势力作用和流体是正压流体，弗里德曼方程：2D()Dt VV（224） 对于不可压缩流体的等温运动 动量方程可以简化为： 讨论几种特殊情况：26D(2

13、)Dpt VF2() pt VVVFV2iiijijijjuuupuFtxxxx 22()2Vpt VVFV2()2Vpt VVF（225）（226）（227）（228）（229）27在叶轮机械中，常用圆柱坐标系。21()rrrrzrVDVRDtrrrrrz1(2)rrrzDVV VDtrrrrz 1()zzrzrzzDVZDtrrrz（230）28222212()rrrVVDVVpRVDtrrrr22212()rrDVVVVVpVDtrrrr 21zzDVpZVDtz zVrVrVtDtDzr222222221zrrrr（231）对于 常数的不可压缩流体：其中：29 如果令 是流体在运动坐标

14、系中的相对速度， 是运动坐标系的自转角速度，令 为流体质点的相对矢径， 是运动坐标系的平移速度，那么牵连加速度可以表示为： 在叶轮机械中，当叶轮以等速度旋转时，此时在动量方程(232)中采用以等速度旋转的圆柱坐标系的话，式中的前两项为零，只剩下了：离心力和的科氏力。 D1 DretVFWrV0Vr0DD()2()DDerttVWrr V 运动坐标系下的运动方程：（232）30 第四节 能量方程 能量方程是能量守恒定律在流体流动中的表达式。 在流体中，一个系统 （其边界为 ）中,流体的总能量的变化率等于单位时间内系统中的质量力和边界上的表面力所做的功，以及单位时间内系统所增加的热量之和。00A

15、讨论系统的能量方程:31 系统的总能量包括内能（即分子热运动的动能）e和单位质量流体的动能（V为流速），系统总的能量变化率为: 单位时间内系统的质量力和表面力所做的功为：020()2DVedDt0000ddnAAF VV32 单位时间内系统所增加的热量应包括两部分，一部分是传导热。单位时间内通过边界传入系统的热量可以根据傅立叶定律求得为 一部分是辐射热.用q表示单位时间内，由于热辐射而传入到系统单位质量流体的热量，那么系统得到的辐射热为： 00ATKdAn00dq33 根据能量守恒定律，可以得到拉格朗日型能量方程的积分形式：00000200000D()dddddD2nAAVTeAKAqtnF

16、V V（233） 讨论控制体的能量方程:34 根据输运积分公式可以得到以下两种欧拉型能量方程的积分形式22 ()d() ()d22ddddAnAAVVeeAtTAKAqnV nF VV2D()dddddD2nAAVTeAKAqtnF VV（234b）（234a）35 由于体积 可以任意选取，同时被积函数是连续的，得出能量方程的微分形式：()ATKdAK T dn d( )d( )dnAAAA Vn V V2D()( )()D2VeK TqtF V V利用高斯积分：（235）36 推导 的表达式：jiijijijjiijijijijxuxuxu)(21 ijije ejjuVe ijjiu Ve

17、( )()ijjijjjijiiiuuuxxx V ijjiux V( )V 已知：所以因为：37所以：令 为二个二阶张量的数量积，则 : ijij : VVD Dt VVV FV2D D2Vt VV F 利用运动方程式 ，可得：即：（236）（237）（238） DDtVF将（235）减去（238）可得:38 由式（239）看出：单位时间、单位体积内流体内能的变化等于流体表面力做功的一部分，加上热传导和热辐射所传入的热量。 式（235）和（239）在直角坐标下的约定求和形式为：qxTKxuxFuuuexutiijijiiiiijj)()()(21)(qxTKxxuxeuteiiijijii)

18、()(D : DeK Tqt（239）（240）（241）39 : p V22 : V2 : ()2: ()2 : pp V IVV 讨论 的意义： 由两项组成， 代表流体膨胀时克服法向压力p所做的功， 第二项 是克服粘性力所做的功，此功转化为热能而耗散掉了，故称为耗散函数。 （242）40 2222221122331231232112233(222444) + () 22223122112312222333211223131232()2()2()() ()() ()uuuuuxxxxxuuuuuuuxxxxxxx 耗散函数 23 当时：22222212312311222233331124 (

19、)()()() 3 （243） （244） 在直角坐标系中（245）41讨论： 一般情况下， 故 ；只有当 （也就说流体无变形运动）或当 （也就是当流体做各向同性膨胀或收缩）时， ，流体中不存在机械损失。 对于不可压流体，由于 ， 因此不可压流体只有 时，即无变形运动时，耗散函数才为零。 对于非粘性流体由于 故 ，即没有粘性耗散。0 。0,00 0ij0,ij0 0ij00 0V2 ,iijj42引入耗散函数后，能量方程可以改写为：1 DD1()DDtt VD()DepK Tqt V （246） 能量方程的其他形式根据连续方程可得： 将上式代入（246）1()()DeDpKTqDtDt （24

20、7）43 ()DsTK TqDt 1()DsDeDTpDtDtDt11()DhDeDDppDtDtDtDt 根据完全气体的能量方程，熵s和焓h表示为：熵和焓表示的能量方程：()DhDpK TqDtDt （248） （249）44()pDTDpCKTqDtDt , vpDeC DTDhC DT 令和D()DvTCpKTqt V则温度表示的能量方程: （250） （251）45引入总焓H H，利用式(235)，可得总焓能量方程2()()2DHDVpepVDtDtt2222VpVHhe D( )DHppK TqttV VF V2D()( )()D2VeK TqtF V V （252） （253） （

21、235）46 不可压流体能量方程()DeK TqDt ()vDTCK TqDt ()pDTCKTqDt （254） （255） （256）47 第五节 状态方程 对于不可压缩流体，状态方程 常数，所以连续方程和动量方程共有4个未知数，那么方程是封闭的，求出速度分量和压力后，可根据能量方程求出温度T。对于可压缩流体，这四个方程中，多了一个未知数，共计5个，所以必须加上能量方程，但是加上能量方程后，又多了一个未知数T，故必须加上下列状态方程（257）式： 有六个方程，才能达到封闭。 ),(Tpp （257）4849小结：小结：基本方程是所有牛顿流体必须遵守的；通常采用欧拉法表示，相应采用控制体概念

22、；建立积分形式的基本方程的方法简便，且具有普遍性。积分、微分形式各有优缺点；由于方程的封闭性及其非线性，求解困难。 第六节 粘性流体的基本特征 粘性流体流动主要有以下几点与非粘性流体不同的性质： a. 流动的有旋性，粘性流体必定是有旋流动； b. 有旋性就是在流动中有涡的存在，涡一旦产生就会分裂，扩散，从大至小以致消灭，这就是涡的扩散性； c. 伴随着涡的扩散是能量的消耗，这是一个能量从有规律的运动变成无规律的分子运动热能的不可逆过程。 501、粘性流动的有旋性 无粘性流动可能是无旋的，也可能是有旋的，它的有旋流动是从运动学的角度提出的。 粘性流动必定是有旋的，这是粘性流体的动力学特征，可以利

23、用反证法加以证明。0V 由式（211）和式（226）可以得到不可压粘性流体的连续方程和动量方程：DDpt VF51 粘性流动在固壁表面的边界条件为无滑移条件，流动的速度 等于固壁的速度 ，即 写成壁面的法向n和切向s的分量：对于上述二阶偏微分方程，此处有两个边界条件，故问题是可解的。 fnwnVVfswsVVfVwVfV,wV （258） （259）52 如果粘性流动中，涡量为零，即 ，那么动量方称就会变成无粘性的欧拉方程： 为一阶偏微分方程，上述两个边界条件，必定有一个是多余的了。 所以满足无粘性流动的欧拉方程和满足粘性的无滑移边界条件的流动是不存在的。这就证明了粘性流动不可能是无旋的。D1

24、DptVF0 （260）532、粘性流动速度环量和涡通量的变化 在无粘性流动中，环量和涡通量的变化率可能为零，也就是说环量和涡通量可能永远保持下去。凯尔文定律正是描述了这种情况：在质量力有势，流体为正压流体条件下，无粘性流动沿封闭曲线的速度环量将永远不变。 而在粘性流动中，环量和涡通量总是变化的。下面推导正压粘性流体在有势力的作用下环量的变化规律：如果质量力有势，则： （261）F54 pP 或dpP式中 为势函数，例如对于重力 ： 3()gzg ge)(dfdp 一般流体压力是密度和温度的函数，对于正压流体，压力只是密度的函数，故有： 令p为正压函数，那么：g （262） （263）55 令

25、某一时刻流体空间中的任意曲线C，随时间的变化，该曲线上的质点发生移动，曲线C的形状发生了改变。如图23（a）定义速度环量为： （264） 随着时间的变化， 均会变化，故环量的变化率为： CdVr,dVrDDDDdddDDDDCCCttttVrVrrV56 如图23b中曲线C上的两点AB, ，A点的速度为 ，B点的速度为 ，经过时间 以后，AB 运动到 ： ABdr VVdrVdtA B d(d)dDdddDAAtBBtA Btt VVrVrr 图23b图23a5758ABBBAAA B DdddddddDttttrrVrVVrDd(d)DtrrVV （265）DDDDdddDDDDCCCttt

26、tVrVrrVDd(d)DtrrVV 由于 是连单函数， 故：22V2DDDddDDD2CCCCVtttVVrVVr202CVDDDDCdttVr （266） 沿封闭曲线速度环量的时间变化率等于沿同一条曲线的加速度环量。59 沿某一封闭曲线C速度环量随时间的变化率等于质量力，压力梯度和粘性力沿同一封闭曲线的环量之和。D1112DCCCdp ddt FrrVr （267）在质量力有势，正压流体, 为常数的情况下(不可压)：CAdd rA2D1DCCddt Vrr, 2DDAdtA 根据斯托克斯公式： （268） （269）60定义涡通量I为：其中A为封闭曲线C所围成的面积 的方向遵守右手定则:

27、nAAIddAA,ddAAnn （270）图2461根据斯托克斯公式：故： （271）则： （272） 在粘性流动中，涡通量也不再守恒了，涡旋可以产生、传输、扩散、衰减和消失。CAddArAAAACIdddAVAVl2DDAIdtA62 对于无粘性流体 ，即得到亥姆霍兹方程： 其中第一项 表示流体质点涡的变化率； 为涡管的拉伸与弯曲所引起的涡量的变化率； 为体积膨胀引起的涡量的变化率，式（224）右边项表示涡的扩散引起涡量的变化。 3、粘性流动中涡的传输方程 实际上，涡的传输方程是流体动量方程的一种形式，对于质量力有势的正压流体, 当 是常数时，即是佛里德曼方程：2D()Dt VVD()0Dt

28、VV （224）VVDDt0 （273）634、涡的拉伸与弯曲 / ()PQVVVV表示由于流场的速度梯度引起涡线的拉伸与弯曲，而使涡量的大小与方向均发生变化。 和 为为某一涡线上两点，两点之间的速度差为，它分解为平行于和垂至于 的两个分量和。图26 涡线的拉伸与弯曲64/00/01 ()lim = lim :pplim pQpQpQpQpQpQpQpQddtpQddtVVVVVVVVV 使涡线段伸缩，使涡线段弯曲，因而引起涡量的变化。 涡线段在 点的正应变率；：涡线段在 点的剪切应变率。 1 102lim pQpQV 655、涡旋的扩散 为了清楚地表明涡旋在粘性流体中的扩散，可用图25中的Z

29、向孤立涡线来进一步解释。02Vr00,xyzze0图中，在t0时刻r0处， 同时r0处， 可以求出 （ 为绕涡线的环量）。图26 孤立涡线662t VV,xxyyuuVee,Vz V0, V t0以后，涡源停止后，涡要扩散和衰减。涡的分布遵循涡量传输方程（224),考虑不可压缩流体令 因为 所以 0V。2zzt 式（224）简化为 （224） （274）()0:0,00:,0zzzzrtrrrtrtr 在极坐标中可以表示为： （275）67方程（275）的解即为涡的衰减所遵循的指数函数：2044rtzet 图2-7(a) 涡量沿空间分布随时间的变化68 在同一时刻t，距中心越近，涡量越大； 在

30、任一固定的空间位置，只在某一确定的时刻涡量达到最大值：由 ，可以得出：r=a时的最大涡量值。0r at （276）6902mr aea24mr aat最大涡量：最大值的时刻为：o图2-7(b) 周向速度沿空间分布随时间的变化204(1)2rtver （277） 某一时刻，当半径较小时， ，流体近似按刚体旋转方式运动，即 ，这一部分流体称为涡核； 当半径较大时，流动无旋， 。1 24rtvr1 24rt1vr 在解释能量方程时已经解释了能量的耗散性。在单位时间内，单位体积内流体运动所耗散的能量用耗散函数表示，对于体积，单位时间内所耗散的总能量为： 上式表明能量的耗散，与应变率的平方成正比，当应变

31、率大的时候，粘性应力大，耗散的能量就越多。 2d()2:dE V 6、能量的耗散性70 （278） 第七节 基本方程的量纲为1化粘性流动的基本方程是复杂的二阶非线性的偏微分方程组，只有在70多种情况求得解析解。为了求得近似解和各种情况下的数值解，应对方程进行分析，去掉次要项保留主要项，为此要把方程量纲为1化。另外在进行实验中，也要进行相似分析，把方程量纲为1化，使各项的数量级基本为1左右。1、特征量特征量 为了使方程量纲为1化，首先给出流动的特征量，最基本的有特征长度L，特征速度Vo，和特征时间to。 特征长度L通常可取被绕流物体的某一个特征长度或管道直径。71 特征速度 V0 通常可取未扰动

32、的来流速度或某一个断面的平均速度。没有未扰动来流的自然对流，可取为 特征速度，其中 分别为流场中某一定点的密度和粘性系数。 特征时间 t0对于定常流动，没有特征时间，可取L/V，圆频率为 的周期流动，可取 。 其他特征物理量有未扰动来流的密度 ，温度 ，粘性系数 ，热传导系数 ，比热 ，以及重力加速度 等等。 000/L0001t00,00T00K0pC0g72Lxxii0VVV0ttt 020()1/2pppV000,0ggg )()(00TTTTTw00PPpCCCwqqq 2200LV 0 LVL73 根据特征量可以表示流体所受的力及其他物理量的量纲： 20VDVDtL0022 VL 0

33、2() VVL00gg00000)()(gTTgTTw002()() wK TTKTL000()ppwVC VTCTTL2201021() VuxL30VDpDtL742、量纲为1特征参数 00000 000VtLshVV tVL20200000VVLFrg Lg200000002ReVV LLVL30200000000()()pwpwVVLEcVCTTCTTL20200000000000Re()()pwpwVVEcLVV L CTTCTTL75 （279）000PrpCK020000000000()11RePr()wppwTTKKLVPeV LCCTTL20032000)(TTLgGrw00

34、002200()RewTT gGrVL 000VMa2002002VV LLWeL00200002VLVL)(00TTKLqNuww76 （279）3、基本方程的量纲为1化00(1 )T()0t V00111 2()ShptFrRe VVVgV连续方程的量纲为1形式： （280）动量方程的量纲为1形式： （281）77200()12()GrShPTtReRe VVVgV1 ()PPTPShCCTEc ShEcPttEcKTPeRe VV能量方程的量纲为1形式： 考虑由于温差而形成的浮升力的动量方程： （282） （283）78*oPPg 运动方程的简化：a在分析定常流动时，局部导数为零，或虽非

35、定常流动，但运动参数随时间变化很小，局部导数远小于迁移导数，sh1,可以在方程中忽略含有sh的项。b流动速度很大时，惯性力大于重力，方程中含有 项可以忽略。c 时，粘性力远远大于惯性力，惯性力项可以忽略。d温差很小时，不考虑自然对流 浮力项可以忽略。e当 时，不能简单忽略粘性项，但可以使FrRe121ReGrRe179 能量方程的简化：a对流热大于耗散热时， 可以忽略耗散项 。b如果流速很小， 压力项和耗散项均可忽 略。c如果流速很大，能量方程右边各项均应保留。 在实验中应进行相似分析，根据流动的性质，以确定所应考虑的动力相似准则 ，使相应的量纲为1参数（相似数）相等。1,1cceEER11)

36、rrPP（同时或*eRcE1,1ecRE80第八节 在正交曲线坐标中基本 方程的表达式 1、正交曲线坐标系123123123, , ( ,1,3), (,),1,2,3 ( ,),1,2,3 iiiiix y z x iq q qxx q q qiqq x xxi 空间中任一点，可用直交坐标系的三个坐标数表示。若有另一组数存在，使 （283）81123123111123222123333123,det0 iiiiijxqq q qq q qxqxxxqqqxxxxJqqqqxxxqqq若 与 之间的关系是一对一的，则空间任一点也可用这三个数来表示，这三个数称为。 与 一一对应的条件为 曲线坐标

37、 （284）82 iq与直角坐标系一样， =常数组成三个坐标面，若这三个坐标面互相正交，则称这三个坐标为，由这三正个坐标来确定空间位置的参考系，称为。常见的正交曲线坐标系直角坐标系：、柱交曲线坐标坐标系及球正交坐标系坐标系。83直角坐标与柱坐标的对应关系：直角坐标与球坐标的对应关系：84123,iiq q qqe 坐标面两两相交的曲线，组成。沿坐标轴的切向且指向 值增加的方向的单位矢量，称为坐标轴单位矢坐标量，以轴线表示。任一曲线方程为：123(,)q q qrr一微小曲线段在曲线坐标中的表达式为：11 1222333ddddHqHqHqreee 85123,G.LameH HH 为（拉梅）系

38、数：22211111()()()xyzHqqqqr22222222()()()xyzHqqqqr22233333()()()xyzHqqqqr (2.85）1231231,11,sinrzRhhhhr hhhhhhR hhR对柱坐标：对球坐标：862、基本运算的表达式单位矢量随空间位置的变化： 311, 1,2,31, ,1,2,3iijjijjj ijijjiiHeiqHqHei jqHq ee 111231223311HHqHqHq eee2111221HqHqee3111331HqHqee (2.86）87222312331111HHqHqHq eee3222331HqHqee31331

39、11HqHqee3233221HqHqee333123112211HHqHqHq eee3133111HqHqee88梯度的表达式: 123112233111HqHqHqeee散度的表达式: 123231312123123()()()1a H Ha H Ha H HH H Hqqqa旋度的表达式: 332212323331123131221131212()()1()()1 ()()1 a Ha HH Hqqa Ha HH Hqqa Ha HH Hqqeee (2.87） (2.88） (2.89）89拉普拉斯算子的表达式: 2331121231112223331H HH HH HH H HqH

40、qqHqqHq12323131211123123333221 121 112321212313312212()()()11()()()()()1 11 a H Ha H Ha H HHqH H HqqqHH aH aH aHH aH HqH HqqqH HqqHqH H ae1232313123123333122221 12313232311212()()()()()()()1 a H Ha H Ha H HHqqqH aHHH aH aH aH HqH HqqqH Hqq e (2.90）9012323131233123123333321 11223121133122323()()()11(

41、)()()()1a H Ha H Ha H HHqH H HqqqH aH aHH aHH aH HqH HqqqH Hqq e矢量的物质导数 331212123123DDDDDDDDDDDDDDaaaaaattttttteeeaeee312112233DDiiiiiaaaaaaaattHqHqHq312112233DDiiiiaaatHqHqHqeeee 9131112111211112233122221333122133121131DD aaaaaaaa aHttHqHqHqH Hqa aaHHaHH HqH HqH Hqa321222221221122332112223332112332

42、32212DD aaaaaaaa aHttHqHqHqH Hqa aaHHaHH HqH HqH Hqa33333313123112233311223231122322313322DD aaaaaa aHaattHqHqHqH Hqa aHaHaHH HqH HqH Hqa (2.90）923、基本方程组连续方程 23 1312123123123()()()10H H VH H VH H VtH H Hqqq动量方程 2231333111211121122112233122133121311123 1131 12123112312313121122122133111 ()()() VVVVHVVVVVVVVHHVHtHqHqHqH HqH HqH HqH HqFH HH HH HH H HqqqHHH HqH HqH H333221311HHqH Hq (2.91）932232333212222212211112233211233232212223 1231 2212231231232333122212123311 ()()() VV VVHVVVVVVV VHHVHtHqHqHqH HqH HqH HqH HqFH HH HH HH H HqqqHHH HqH Hq3111232122HHH HqH Hq2233333