数值计算方法期末试题及答案

1、选择题（每小题 4分，共20分）1.误差根据来源可以分为四类，分别是（A ）A. 模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差;B. 模型误差、测量误差、方法误差、截断误差;C. 模型误差、实验误差、方法误差、截断误差;D. 模型误差、建模误差、截断误差、舍入误差。2.若 f(x) =2x6 3x5x 1，则其六阶差商f 3 ,3 ,3 ,3】一（c）A. 0 ；B. 1；C. 2；D. 3。3.数值求积公式中的Simpson公式的代数精度为（D ）A. 0 ；B. 1；C. 2；D. 3。4.若线性方程组Ax =:b的系数矩阵A为严格对角占优矩阵，则解方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Sei

2、del 迭代法(B）A.都发散；B.都收敛C. Jacobi迭代法收敛，Gauss-Seidel迭代法发散；D. Jacobi迭代法发散，Gauss-Seidel迭代法收敛。5.对于试验方程 yEuler方法的绝对稳定区间为（C )A.2 兰 h 兰 0 ；B.2.785 兰 h 兰 0 .C. 一2兰扎h兰0 ；D.2.785 兰 kh 兰 0 -.、填空题（每空 3分，共18分）(1 -2、x=(1,2)；A =1. 已知-34，则x2 = V5，1 Ax1= 16，I A2= V1<2212.已知f=2, f （9） =3，则f（X）的线性插值多项式为Li（x） =°.2

3、（X 6）,且用线性插值可得f（7）=2.63.要使20的近似值的相对误差界小于 0.1%，应至少取4 位有效数字。三、利用下面数据表,X1.82.02.22.42.6f (X)3.120144.425696.042418.0301410.466752.6 1=1 f（x） dx1.用复化梯形公式计算积分1.8的近似值;解：1.用复化梯形公式计算n =4,h =2.6 1.84= 0.2T4h n -1= h(f(a)2'22k =1f(Xk) f (b)0.223(f(1.8)2 f (1.80.2k) f (2.6)k U= 5.0583372.6I = J f（x） dx2.用复

4、化Simpson公式计算积分1.8的近似值。（要求计算结果保留到小数点后六位）.(14 分)四、S2l21五、解：用复化辛甫生公式计算n = 2, h = 取2.6 一1.82= 0.4.n1n1S-(f (a) 4、f (Xk ;) 2f(Xk) f(b)6kk =10.4 f (1.8)4 f (2.0) f (2.4)2 f (2.2)f(2.6)=5.033002已知矩阵I6解：用紧凑格式法12丿，求矩阵A的Doolittle分解。h= gf(a) 4、f(Xk.J 2、f(xj f(b)k=0(10 分)11分0.4f(1.8) 4f(2.0) 6= 5.033002f (2.4)

5、2 f (2.2) f (2.6)12分11分12分14分u 11 二 a1 二 2u 12 二 a 12 二 1U13 二 a13 二 42分-a21 - 2121 2u22 二 a22 - 1 u12u23 = a23-l21u13a11=2=-714分a3231 u12二 a33 一 咕1l325 分a31=3a11-l32 u23 二 7(12 分)1 、214 "A = LU =2 1-2-7<3 1 b'、 7 丿用Newton迭代法求解方程103x 3x -0在2.0附近的实根（计算结果保留到小数点后第四位）解:f (x) =x3 -3x-1 =0x0 =

6、 2.0Xk 1 二 Xkf (Xk)x； f (Xk)一 2x； 12x01 2 23 13x0 -33 22 -33 X1 - 33xk - 3=1.888991 -1.8794 x32x2 13x2 - 3=1.879411分故，方程的近似根为1.897412分(12 分)六、对下面线性方程组x1 0.4x2O.4X3 二 1“ 0.4为 + x2 + O.8X3 = 20.4x1 + 0.8x2 + x3 = 31. 判别用雅可比迭代法是否收敛，若收敛则写岀其迭代格式；2. 判别用高斯-塞德尔迭代法是否收敛，若收敛则写岀其迭代格式; 解1.雅可比法：10.40.40.410.8=0.2

7、96 >00.40.81A是对角元素为正的实对称阵，下面判别A和2D - A是否同时正定10.41 >0, =1 0.16>0,0.41A正定-0.40.81'1-0.42D - A = -0.411一0.4-0.81-0.41-0.4-0.41 >0,=1 0.16>0,-0.41-0.8-0.41-0.4-0.81二一0.216 02D - A不正定.即A和2D - A不同时正定8分故Jacobi法发散.2.高斯-塞德尔法:由 1知，A是实对称正定矩阵，所以Gauss-Seidel法收敛.10 分其迭代格式为=1 _0-04x3k)%宀)=2-0 4x

8、(kF0.8x3k) x3k 1) =3-0 4x(k 1)-0.8x2k 1)12分y1 = x y, 0 < x 兰 0.4七、已知初值问题：J y（°）二1，取步长h =0.1,1. 用（显式的）Euler方法求解上述初值问题的数值解；2. 用改进的Euler方法求上述初值问题的数值解。（14 分）解：1 .建立具体的Euler公式:yn 厂 yn hf (xn，yn)二 y“ 0.1(xnyn)二 0.1xn 0.9 yn已知 yo = 1，xn = 0.1 n , n = 0,1,2,3,4，则有y1 二 0.1x00.9 y0 二 0.9y2 = 01x109旳=0

9、1 01 09 09二082y3 二 0 1x209y2 = 01 02 09 082 二 0758y4 二 0 1x309y3 = 0.1 03 09 0758 二 0.7122解：2.建立具体的改进的 Euler公式:yp 二 yn hf（Xn，yn）二 01Xn 09ynyc 二 yn hf （Xn 1，yp） = 009Xn 091yn 0.01 yn州=2（yp + yj 二 0095Xn + 0.905yn + 0.005已知 y0 一 1 ,xn - 01n , n _ 0,1,2,3,4 则有:ya =0095x00.905y00005 二 0.91y2 二 0.095x10.905 y 0.00512分二 0.095 010.905 0910005 二 0.838