椭圆中的一组性质

1、探究：椭圆中的一组性质探究：椭圆中的一组性质 及其应用及其应用问题背景问题背景求轨迹方程的一般步骤？求轨迹方程的一般步骤？建系建系设点设点列式列式化简化简检验检验点点 的轨迹方程是：的轨迹方程是：A22194xy(3).x oxyBCA点点 的轨迹是什么的轨迹是什么?ABCBC以为长轴的椭圆（除去 、 两点）.改编）3页例41第1-2的轨迹方程。（选修A求动点，94-的斜率乘积为,直线),0 ,3(),0 ,3(已知ACABCB问题背景问题背景【问题问题1】所求得的曲线方程中所求得的曲线方程中22ba49是巧合还是必然？是巧合还是必然？点点 的轨迹方程是：的轨迹方程是：A22194xy (3)

2、.x 试探究有没有一般性的结论？试探究有没有一般性的结论？改编）3页例41第1-2的轨迹方程。（选修A求动点，94-的斜率乘积为,直线),0 ,3(),0 ,3(已知ACABCB自主探究自主探究 22221()xyxaab 创设情境创设情境动点动点 的轨迹是什么的轨迹是什么?A0,abBCBC当时 轨迹为以为长轴顶点的椭圆 除去 、 两点；0,baBCBC当时 轨迹为以为短轴顶点的椭圆 除去 、 两点；0,abBCBC当时 轨迹为以为直径的圆 除去 、 两点._A-,),0 ,(),0 ,(22的轨迹方程为则动点，的斜率乘积为直线已知abACABaCaB 自主探究自主探究 oxyBCA(,0)

3、,( ,0)BaC a与两个定点连线220)baba的斜率乘积为定值-(A的动点 的轨迹方程是22221()xyxaab 自主探究自主探究 【问题问题2】oxyBCA22221(0)xyabab椭圆上长轴的两顶点与椭圆上的任一点（除这两个顶点）连线斜率乘积为22.ba定值-上述命题是否成立？上述命题是否成立？自主探究自主探究 oxyBCA( , )x y(,0)a( ,0)a探究流程：探究流程：设点设点目标目标已知已知推理推理结论结论(,0),( ,0), ( , )BaC aA x y22221xyab222222221xbybxaaa ACABkkaxyaxy222axyACABkk22a

4、b自主探究自主探究 22221(0)xyabab椭圆上长轴的两顶点斜率乘积为22.ba定值-与椭圆上的任一点（除这两个顶点）连线oxyBCA想一想：能否把上述结论推广？想一想：能否把上述结论推广？自主探究自主探究 22221(0)xyabab椭圆上长轴的两顶点斜率乘积为22.ba定值-与椭圆上的任一点（除这两个顶点）连线oxyBCA【问题问题3】 在结论在结论2中，若中，若 时，时，0ab你又能得到怎样的结论？你又能得到怎样的结论？oxyBCA222(0)xyaa圆的直径的两端点斜率乘积为 1.-与圆上的任一点（除这两个端点）连线自主探究自主探究 圆的任一条直径所对的圆周角是直角圆的任一条直径

5、所对的圆周角是直角.oxyBCA【问题问题4】把结论2中的长轴换成经过原点的任意一条弦 ，结论是什么？BCoxyBCAoxyBCA自主探究自主探究 22221(0)xyabab椭圆上任一条经过原点的弦的两个端点与椭圆上的任一点（除这两个端点）连线斜率乘积为22.ba定值-oxyBCA是否成立？请进行探究是否成立？请进行探究.设点设点目标目标已知已知推理推理结论结论自主探究自主探究 22221(0)xyabab椭圆上任一条经过原点的弦的两个端点与椭圆上的任一点（除这两个端点）连线斜率乘积为22.ba定值-oxyBCA自主探究自主探究 圆的垂径定理圆的垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦。：

6、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦。椭圆椭圆: 过原点平分椭圆弦的直线与弦所在直线的过原点平分椭圆弦的直线与弦所在直线的 斜率之积是否是定值？斜率之积是否是定值？圆的切线定理圆的切线定理：过切点的直径垂直于圆的切线：过切点的直径垂直于圆的切线椭圆椭圆: 椭圆上一点与原点连线的斜率与该点处切椭圆上一点与原点连线的斜率与该点处切 线的斜率之积是否是定值？线的斜率之积是否是定值？拓展应用拓展应用 拓展应用拓展应用 已知椭圆已知椭圆C C： 的左、右顶点分别为的左、右顶点分别为 ，点，点P P在在C C上上且直线且直线 的斜率的取值范围是的斜率的取值范围是 ，那么直线，那么直线 斜率的取值范斜率的取值范

7、围是（围是（ ）A A B. C . D. B. C . D. 13422yx21,AA2PA1, 2 1PA43,2143,831 ,211 ,43拓展应用拓展应用 22,1,42xyxoyMN如图 在平面直角坐标系中、 分别是椭圆的顶点,.CACBPAk垂足为连接并延长交椭圆于点设直线的斜率为,PAPPx过坐标原点的直线交椭圆 、 两点 其中 在第一象限 过 作 轴的垂线,;PANMk若直线平分线段求 的值0,.kPAPB对任意的求证:=2,;kPABd当时 求点 到直线的距离的oxPCAyBNM例2：拓展应用拓展应用 0,.kPAPB对任意的求证:oxPCAyB【问题问题5】 你能利用本

8、节课中所你能利用本节课中所探究的结论来解决（探究的结论来解决（3）吗？）吗？22,1,42xyxoyMN如图 在平面直角坐标系中、 分别是椭圆的顶点,.CACBPAk垂足为连接并延长交椭圆于点设直线的斜率为,PAPPx过坐标原点的直线交椭圆 、 两点 其中 在第一象限 过 作 轴的垂线例2：拓展应用拓展应用 0,.kPAPB对任意的求证:oxPCAyB22,1,42xyxoyMN如图 在平面直角坐标系中、 分别是椭圆的顶点,.CACBPAk垂足为连接并延长交椭圆于点设直线的斜率为,PAPPx过坐标原点的直线交椭圆 、 两点 其中 在第一象限 过 作 轴的垂线例2：分分 析析1=,2ABPBkk

9、由结论3可知：1,PAPBkk 即证：,PAPB要证：2PAABkk所以我们只要证明即可.我们“已知”了什么？拓展应用拓展应用 0,AD由题意可知：直线的斜率存在且大于111(0),:(2),ADADkk klyk x设则13(3,),xEk令得：221,3,42xyDADPDxEF若 是椭圆的右顶点 直线、交直线于 、 两点oxPAyDEF【问题问题6】 试用所探究的结论来解题试用所探究的结论来解题.1111,:(2),22PDPDklyxkk 所以则11111110,22,22kEFkkkk因为所以解：解：122k即 =时等号成立.13,2ADPDkk 由结论 可得：113(3,),2xF

10、k令得：111,2kk当且仅当2.EF所以的最小值为EF则的最小值为.回顾反思回顾反思 数学知识数学知识数学方法数学方法数学结论数学结论椭圆的标准方程及几何性质、椭圆的标准方程及几何性质、曲线与方程的概念、曲线与方程的概念、数形结合、数形结合、归纳推理、类比推理归纳推理、类比推理分类讨论、分类讨论、的两个端点与椭圆上的任一点（除这两个端点）22221(0)xyabab椭圆上任一条经过原点的弦22ba定值-连线斜率乘积为数学应用数学应用应用所探究的结论，能够解决椭圆中与过原点应用所探究的结论，能够解决椭圆中与过原点弦有关的问题弦有关的问题探究延伸探究延伸 （1 1）将圆中的其他性质类比到椭圆中，进行探究，如有）将圆中的其他性质类比到椭圆中，进行探究，如有圆的垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦。那圆的垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦。那么在椭圆中，过原点平分椭圆弦的直线与弦所在直线的斜么在椭圆中，过原点平分椭圆弦的直线与弦所在直线的斜率之积是否是定值？率之积是否是定值？圆的切线定理：过切点的直径垂直于圆的切线，那么在椭圆的切线定理：过切点的直径垂直于圆的切线，那么在椭圆中，椭圆上一点与原点连线的