机械振动基础第三章PPT

1、2021年12月15日2 实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与弹性，因而又称与弹性，因而又称连续系统连续系统或或分布参数系统。分布参数系统。 由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此因此连续体是具有无限多自由度的系统。连续体是具有无限多自由度的系统。 连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程不再像有限多自由度系统那样是动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组二阶常微分方程组，它是，它是偏微分方程。偏微分

2、方程。 在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差别，别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统是完全类似的。统是完全类似的。2021年12月15日3（1）本章讨论的连续体都假定为线性弹性）本章讨论的连续体都假定为线性弹性体，即在弹性范围内服从虎克定律。体，即在弹性范围内服从虎克定律。说说 明明（2）材料均匀连续；各向同性。）材料均匀连续；各向同性。（3）振动满足微振动的前提）振动满足微振动的前提 。2021年12月15日4 动力学方程动力学方程（1）杆的纵向振动）杆的纵向振动 讨论等

3、截面细直杆的纵向振动讨论等截面细直杆的纵向振动 杆长杆长 l假定振动过程中各横截面仍保持为平面假定振动过程中各横截面仍保持为平面截面积截面积 S材料密度材料密度弹性模量弹性模量 E忽略由纵向振动引起的横向变形忽略由纵向振动引起的横向变形),(txplx0),(txp单位长度杆上分布的纵向作用力单位长度杆上分布的纵向作用力 杆参数：杆参数：3.1 一维波动方程一维波动方程2021年12月15日5),(txu杆上距原点杆上距原点 x 处截面在时刻处截面在时刻 t 的纵向位移的纵向位移微段分析微段分析 ),(txplx0 xdxdxtxp),(dxudxxuu22xuSdxdxxFFF微段应变：微段

4、应变： xudxudxxuu)(横截面上的内力：横截面上的内力：xuESESF由达朗贝尔原理：由达朗贝尔原理： dxtxpFdxxFFtuSdx),()(223.1 一维波动方程一维波动方程2021年12月15日6),(txu杆上距原点杆上距原点 x 处截面在时刻处截面在时刻 t 的纵向位移的纵向位移),(txplx0 xdx横截面上的内力：横截面上的内力：xuESESF由达朗贝尔原理：由达朗贝尔原理： dxtxpFdxxFFtuSdx),()(22),()(22txpxuESxtuS代入，得：代入，得： 杆的纵向强迫振动方程杆的纵向强迫振动方程 对于等直杆，对于等直杆，ES 为常数为常数 )

5、,(1222022txpSxuatu/0Ea 弹性纵波沿杆的纵向传播速度弹性纵波沿杆的纵向传播速度 有：有： 3.1 一维波动方程一维波动方程2021年12月15日7（2）弦的横向振动）弦的横向振动弦两端固定，以张力弦两端固定，以张力 F 拉紧拉紧在分布力作用下作横向振动在分布力作用下作横向振动 yxFF),(txpxdx),(txyo建立坐标系建立坐标系xoy),(txy弦上距原点弦上距原点 x 处的横截面在处的横截面在 t 时刻的横向位移时刻的横向位移 ),(txp单位长度弦上分布的作用力单位长度弦上分布的作用力 单位长度弦的质量单位长度弦的质量 微段受力情况微段受力情况 达朗贝尔原理：达

6、朗贝尔原理： dxtxpFdxxFtydx),()(22弦的横向强迫振动方程弦的横向强迫振动方程/0Ea 令：令：xy并考虑到：并考虑到：),(1222022txpxyaty得：得：弹性横波的纵向传播速度弹性横波的纵向传播速度0apdx22tydxdxxdxFF3.1 一维波动方程一维波动方程2021年12月15日8（3）轴的扭转振动）轴的扭转振动细长圆截面等直杆在分布细长圆截面等直杆在分布扭矩作用下作扭转振动扭矩作用下作扭转振动 假定振动过程中各横截面仍保持为平面假定振动过程中各横截面仍保持为平面截面的极惯性矩截面的极惯性矩 Ip材料密度材料密度切变模量切变模量 G),(txp：单位长度杆上

7、分布的外力偶矩：单位长度杆上分布的外力偶矩 杆参数：杆参数：),(tx为杆上距离原点为杆上距离原点 x 处的截面在时处的截面在时刻刻 t 的角位移的角位移截面处的扭矩为截面处的扭矩为 T微段微段 dx 受力受力),(txpx0 xdxpdxTdxxTT 22tdxIp dxIp：微段绕轴线的转动惯量：微段绕轴线的转动惯量3.1 一维波动方程一维波动方程2021年12月15日9代入，得：代入，得：微段微段 dx 受力受力),(txpx0 xdxpdxTdxxTT 22tdxIp 达朗贝尔原理：达朗贝尔原理：pdxTdxxTTtdxIp )(22材料力学：材料力学：xGITp 即：即：),(22t

8、xpxTtIp ),()(22txpxGIxtIpp 圆截面杆的扭转振动强迫振动方程圆截面杆的扭转振动强迫振动方程对于等直杆，抗扭转刚度对于等直杆，抗扭转刚度 GIp 为常数为常数),(1222022txpIxatp 有：有：Ga 0剪切弹性波的剪切弹性波的纵向传播速度纵向传播速度3.1 一维波动方程一维波动方程2021年12月15日10小结：小结：（1）杆的纵向振动）杆的纵向振动 ),(1222022txpSxuatu（2）弦的横向振动）弦的横向振动),(1222022txpxyaty虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微分方程是类同

9、的，都属于分方程是类同的，都属于一维波动方程一维波动方程 。（3）轴的扭转振动）轴的扭转振动),(1222022txpIxatp 3.1 一维波动方程一维波动方程2021年12月15日112021年12月15日12 固有频率和模态函数固有频率和模态函数以等直杆的纵向振动为对象以等直杆的纵向振动为对象 方程：方程：),(1222022txpSxuatu纵向自由振动方程：纵向自由振动方程：222022xuatu/0Ea 假设杆的各点作同步运动，即设假设杆的各点作同步运动，即设 ：)()(),(tqxtxuq(t) 表示运动规律的时间函数表示运动规律的时间函数 )(x杆上距原点杆上距原点 x 处的截

10、面的纵向振动振幅处的截面的纵向振动振幅 代入，得：代入，得： )()()()(20 xxatqtq ),(txplx03.2 杆的纵向振动杆的纵向振动2021年12月15日13)()()()( 20 xxatqtq 记：记：2 0)()()(0)()(202xaxtqtq )sin()(tatq0201cossin)(axcaxcx通解：通解：（确定杆纵向振动的形态，称为（确定杆纵向振动的形态，称为模态模态 ）,21cc由杆的边界条件确定由杆的边界条件确定 与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数 ，表示各坐标振幅的相对比值，表示

11、各坐标振幅的相对比值 由频率方程确定的固有频率由频率方程确定的固有频率 有无穷多个有无穷多个 i（下面讲述）（下面讲述）3.2 杆的纵向振动杆的纵向振动2021年12月15日14第第 i 阶主振动：阶主振动：)sin()(tatq0201cossin)(axcaxcx222022xuatu)()(),(tqxtxui)(xi一一对应一一对应)2 , 1(),sin()(),()( itxatxuiiiii系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加： 1)sin(),(iiiiitatxu3.2 杆的纵向振动杆的纵向振动2021年12月15日15几种常见边界条件下

12、的固有频率和模态函数几种常见边界条件下的固有频率和模态函数 （1）两端固定）两端固定边界条件：边界条件： 0)()0(), 0(tqtu0)()(),(tqltlu不能恒为零不能恒为零 )(tq0)0(0)(l故：故：0201cossin)(axcaxcx代入模态函数代入模态函数 02c得：得： 0sin0al（杆的纵向振动频率方程（杆的纵向振动频率方程 ）无穷多个固有频率：无穷多个固有频率：), 2 , 1 , 0(,0ilaii由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去 特征：两端位移为零特征：两端位移为零模态函数模态函数 ：l

13、xicxiisin)(), 2 , 1 , 0(ilx03.2 杆的纵向振动杆的纵向振动2021年12月15日16（2）两端自由）两端自由特征：自由端的轴向力为零特征：自由端的轴向力为零 边界条件边界条件 ：0), 0(xtuES0),(xtluES)()(),(tqxtxu 0)0(得：得：0)( llxicxiicos)(零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移0201cossin)(axcaxcx频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同), 2 , 1 , 0(i固有频率：固有频率：), 2 , 1 , 0(

14、,0ilaii模态函数：模态函数：01c得出：得出：0cos0allx03.2 杆的纵向振动杆的纵向振动2021年12月15日17（3）一端固定，一端自由）一端固定，一端自由特征：固定端位移为零特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零自由端轴向力为零 边界条件边界条件 ：0),(xtluES)()(),(tqxtxu 得：得：0)0(0)( l0cos0al02c0201cossin)(axcaxcx固有频率：固有频率：0), 0(tu模态函数：模态函数：,.2 , 1,)212(ilaii,.2 , 1),212sin()(ixlicxiilx0或：或：,.5 , 3 , 1,2ilaii,.

15、5 , 3 , 1),2sin()(ixlicxii3.2 杆的纵向振动杆的纵向振动2021年12月15日18左端自由，右端固定左端自由，右端固定特征：固定端位移为零特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零自由端轴向力为零 边界条件边界条件 ：0), 0(xtuES)()(),(tqxtxu 得：得：0)(l0)0(0cos0al01c0201cossin)(axcaxcx固有频率：固有频率：0),(tlu模态函数：模态函数：lx0,.5 , 3 , 1,2ilaii,.5 , 3 , 1),2sin()(ixlicxii3.2 杆的纵向振动杆的纵向振动2021年12月15日19边界条件边界条件

16、0)(l0)0(0cos0al模态函数模态函数lx0,.5 , 3 , 1,2ilaii,.5 , 3 , 1),2sin()(ixlicxiilx00)0(0)( l0cos0al频率方程频率方程固有频率固有频率,.5 , 3 , 1,2ilaii,.5 , 3 , 1),2sin()(ixlicxii3.2 杆的纵向振动杆的纵向振动2021年12月15日20例：例：一均质杆，左端固一均质杆，左端固定，右端与一弹簧定，右端与一弹簧连接。连接。推导系统的频率方程。推导系统的频率方程。lx0k3.2 杆的纵向振动杆的纵向振动2021年12月15日21解：解：边界条件：边界条件：lx0k0), 0

17、(tu),(),(tlxuEStlku)()(),(tqxtxu 0201cossin)(axcaxcx0)0(),()(tlxESlk得出：得出：02c000cossinalaESalk常数klESalaltg00/)/(频率方程频率方程振型函数：振型函数：xacxii0sin)(3.2 杆的纵向振动杆的纵向振动2021年12月15日22例：例：一均质杆，左端固一均质杆，左端固定，右端与一集中定，右端与一集中质量质量M固结。固结。推导系统的频率方程。推导系统的频率方程。Mlx0边界条件：边界条件：0), 0(tu),(),(22tlxuEStltuM自己推导！自己推导！3.2 杆的纵向振动杆

18、的纵向振动2021年12月15日23主振型的正交性主振型的正交性只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性 杆可以是变截面或匀截面的杆可以是变截面或匀截面的 即质量密度即质量密度及截面积及截面积 S 等都可以是等都可以是 x 的函数的函数 杆的动力方程杆的动力方程 ：),()(22txpxuESxtuS 自由振动：自由振动：)(22xuESxtuS 主振动主振动 ：)sin()(),( taxtxuSES2)(代入，得代入，得 ：3.2 杆的纵向振动杆的纵向振动2021年12月15日24SES2)(杆的简单边界杆的简单边界 ：固定端固定端0)( xx

19、= 0 或或 l 0)( xES自由端自由端x = 0 或或 l 设：设：)(xii)(xjj代入：代入：iiiSES2)( jjjSES2)( )(xj乘乘 并沿杆长对并沿杆长对 x 积分：积分： lljiiijdxSdxES002)(利用分部积分：利用分部积分： dxESESdxESjlliliiij 000)()(00杆的任一端上总有杆的任一端上总有或者或者成立成立 ljliijdxESdxES00)(得：得： ljiiljidxSdxES0203.2 杆的纵向振动杆的纵向振动2021年12月15日25)(xi乘乘 并沿杆长对并沿杆长对 x 积分：积分： iiiSES2)( jjjSES

20、2)( 同理同理)(xj乘乘 并沿杆长对并沿杆长对 x 积分：积分： lljiiijdxSdxES002)( lljijjidxSdxES002)( ljijljidxSdxES020相减：相减： ljiiljidxSdxES0200)(022ljijidxSjiji 时时则必有：则必有：杆的主振型关于质量的正交性杆的主振型关于质量的正交性 00ljidxS)(ji 进而：进而： lijljidxESdxES000)()(ji 杆的主振型关于刚度的正交性杆的主振型关于刚度的正交性 3.2 杆的纵向振动杆的纵向振动2021年12月15日260)(022ljijidxS关于质量的正交性关于质量的正

21、交性 00ljidxS)(ji )(ji 关于刚度的正交性关于刚度的正交性 当当ji 时时 恒成立恒成立令：令：pilimdxS 02第第 i 阶模态主质量阶模态主质量 piliilikdxESdxES 020)()(第第 i 阶模态主刚度阶模态主刚度 pipiimk/2 lijljidxESdxES000)(第第 i 阶固有频率：阶固有频率：主振型归一化：主振型归一化： 102 pilimdxS正则振型正则振型 2ipik 则第则第 i 阶主刚度：阶主刚度：ijljidxS0ijijlidxES20 ijiljidxES20)( 合写为：合写为： jijiij013.2 杆的纵向振动杆的纵向

22、振动2021年12月15日27例：例：有一根有一根 x=0 端为自由、端为自由、x=l 端处为固定得杆，固定端端处为固定得杆，固定端承受支撑运动承受支撑运动tdtugsin)(d为振动的幅值为振动的幅值试求杆的稳态响应。试求杆的稳态响应。lx0)(tug3.2 杆的纵向振动杆的纵向振动2021年12月15日28连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动解：解：lx0tdtugsin)(方程建立方程建立dxudxxuuug)(22xuSdxdxxFFF微段分析微段分析应变：应变： xuudxudxxuuugg)()(内力：内力：xuuESESFg)(达朗贝尔原理：达朗贝尔原理：

23、FdxxFFtuSdx)(22),(txu杆上距原点杆上距原点 x 处截面处截面在时刻在时刻 t 的纵向位移的纵向位移2222)(xuuEStuSg2021年12月15日29连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动lx0tdtugsin)(令：令：代入方程：代入方程： 2222)(xuuEStuSgguuu*guuu*即：即：guSESuuS *tSdsin2设解为：设解为： 1*)()(iiitqxu)(xi为归一化的正则模态为归一化的正则模态,.5 , 3 , 1,2cos2)(ixlilxi代入方程，得：代入方程，得：tSdESqqSiiiiisin)(2,.5 , 3

24、 , 1 2021年12月15日30连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动lx0tdtugsin)(2222)(xuuEStuSgguuu*1*)()(iiitqxu,.5 , 3 , 1,2cos2)(ixlilxitSdESqqSiiiiisin)(2,.5 , 3 , 1 )(xj用用乘上式，并沿杆长积分：乘上式，并沿杆长积分：ljiljiiljiidxtSddxESqdxSq0210 0sin)( 利用正交性：利用正交性：tdillqqiiiisin) 1(2222/ ) 1(2 2021年12月15日31连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动l

25、x0tdtugsin)(2222)(xuuEStuSgguuu*1*)()(iiitqxu,.5 , 3 , 1,2cos2)(ixlilxitdillqqiiiisin) 1(2222/ ) 1(2 模态稳态解：模态稳态解：tdillqiiiisin) 1(222/ ) 1(222)/(11iitlxidiEluiiisin2cos) 1(16,.5 , 3 , 132/ ) 1(322*2021年12月15日32连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动lx0tdtugsin)(2222)(xuuEStuSgguuu*2)/(11iitlxidiEluiiisin2cos)

26、 1(16,.5 , 3 , 132/ ) 1(322*tdlxiiEluuuiiigsin2cos) 1(161 ,.5 , 3 , 12/ ) 1(3322*2021年12月15日33连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动杆振动分析小结杆振动分析小结1. 建立动力学方程建立动力学方程2. 根据边界条件求解固有频率和模态根据边界条件求解固有频率和模态3. 变量分离变量分离4. 代入动力学方程，并利用正交性条件代入动力学方程，并利用正交性条件得到模态空间方程得到模态空间方程5. 物理空间初始条件转到模态空间物理空间初始条件转到模态空间6. 模态空间方程求解模态空间方程求解7

27、. 返回物理空间，得解返回物理空间，得解)()(),(1tqxtxuiii)(2tQqqjjjj )(,xii)0(),0(jjqq)(tqj)()(),(1tqxtxuiii物理空间问题物理空间问题模态空间问题模态空间问题)()(),(1tqxtxuiii2021年12月15日342021年12月15日35动力学方程动力学方程考虑细长梁的横向弯曲振动考虑细长梁的横向弯曲振动 ),(txf),(txmyx0梁各截面的中心惯性轴在同一平面梁各截面的中心惯性轴在同一平面 xoy 内内在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响

28、外载荷作用在该平面内外载荷作用在该平面内梁在该平面作横向振动（微振）梁在该平面作横向振动（微振） 这时梁的主要变形是弯曲变形这时梁的主要变形是弯曲变形伯努利欧拉梁（伯努利欧拉梁（Bernoulli-Euler Beam） f(x,t): 单位长度梁上分布的外力单位长度梁上分布的外力 m(x,t): 单位长度梁上分布的外力矩单位长度梁上分布的外力矩 梁参数：梁参数：I 截面对中性轴的惯性积截面对中性轴的惯性积 单位体积梁的质量单位体积梁的质量S 梁横截面积梁横截面积E 弹性模量弹性模量外部力：外部力：假设：假设：3.3 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2021年12月15日36动力学方程动力学方程),(

29、txf),(txmyx0f(x,t):单位长度梁上分布的外力单位长度梁上分布的外力 m(x,t):单位长度梁上分布的外力矩单位长度梁上分布的外力矩 微段受力分析微段受力分析令：令：y(x,t):距原点距原点x处的截面在处的截面在t时刻时刻 的横向位移的横向位移 ),(txyxdxdxtxf),(dx22tySdxdxxMMdxxFFssMsFdxtxm),(:,MFs截面上的剪力和弯矩截面上的剪力和弯矩 微段的惯性力微段的惯性力 :22tySdx:),(dxtxf微段所受的外力微段所受的外力 :),(dxtxm微段所受的外力矩微段所受的外力矩 3.3 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2021年12月1

30、5日37dxtxf),(dx22tySdxdxxMMdxxFFssMsFdxtxm),(力平衡方程力平衡方程 ：0),()(22dxtxfFdxxFFtySdxsss22),(tyStxfxFs 即即 ：以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：以右截面上任一点为矩心，力矩平衡： 0),(22),()22 dxtxmdxtySdxdxdxtxfdxFMdxxMMs（略去高阶小量：略去高阶小量：),(txmxMFs材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：22),(),(xtxyEItxM),(),(),(),(222222txmxtxfttxySxtxyEIx 变

31、截面梁的动力学方程：变截面梁的动力学方程：3.3 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2021年12月15日38),(),(),(),(222222txmxtxfttxySxtxyEIx 变截面梁的动力学方程：变截面梁的动力学方程：等截面梁的动力学方程：等截面梁的动力学方程：),(),(2244txmxtxftySxyEI 3.3 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2021年12月15日39固有频率和模态函数固有频率和模态函数),(),(),(),(222222txmxtxfttxySxtxyEIx 变截面梁的动力学方程：变截面梁的动力学方程：讨论梁的自由振动讨论梁的自由振动 0),(),(222222 ttxyS

32、xtxyEIx自由振动方程：自由振动方程： 根据对杆纵向振动的分析，梁的主振动可假设为：根据对杆纵向振动的分析，梁的主振动可假设为： )sin()()()(),(taxtqxtxy代入自由振动方程：代入自由振动方程：0)(2 SEI对于等截面梁：对于等截面梁：0)()(4)4(xx2024aSEIa20 xCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 通解：通解：)41( iCi和和应满足的频率方程由梁的边界条件确定应满足的频率方程由梁的边界条件确定 3.3 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2021年12月15日400),(),(2244 ttxySxtxyEI等截面梁的自由振动方程：等截

33、面梁的自由振动方程： 梁的主振动：梁的主振动： )sin()()()(),(taxtqxtxy0)()(4)4(xxxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 通解：通解：代入，得：代入，得：第第 i 阶主振动：阶主振动： )(xii无穷多个无穷多个)sin()(),()(iiiiitxatxyiai和和 由系统的初始条件确定由系统的初始条件确定 系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加： 1)sin()(),(iiiiitxatxy3.3 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2021年12月15日41常见的约束状况与边界条件常见的约束状况与边界条件 0)

34、,(xtxy0)(x0)( xlx 0 或（1）固定端）固定端挠度和截面转角为零挠度和截面转角为零0),(txy（2）简支端）简支端挠度和弯矩为零挠度和弯矩为零0),(22xtxyEIM0),(txy0)( x0)(xlx 0 或（3）自由端）自由端弯矩和剪力为零弯矩和剪力为零0),(22xtxyEIM0 xMFs0)( x0)( xlx 0 或)()(),(tqxtxy3.3 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2021年12月15日42例：例：求悬臂梁的固有频率和模态函数求悬臂梁的固有频率和模态函数x0y解：解：一端固定，一端自由一端固定，一端自由边界条件边界条件0)0( 0)0( 固定端：挠度和截面

35、转角为零固定端：挠度和截面转角为零自由端：弯矩和截面剪力为零自由端：弯矩和截面剪力为零0)( l0)( lxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 得：得：4231,CCCC 以及：以及： 0)cosh(cos)sinh(sin0)sinh(sin)cosh(cos2121llCllCllCllC0coshcossinhsinsinhsincoshcos llllllll21CC、非零解条件：非零解条件：2024aSEIa203.3 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2021年12月15日430coshcossinhsinsinhsincoshcos llllllll简化后，得：简化后

36、，得：01coshcos ll频率方程频率方程当当 i=1,2,3时时解得：解得：), 4 , 3(,212 iili875. 11 l694. 42 l855. 73 l3 i当当 时时各阶固有频率：各阶固有频率：2024aSEIa20), 2 , 1(,)(42 iSlEIlii对应的各阶对应的各阶模态函数模态函数：其中：其中：), 2 , 1(),sinh(sincoshcos)( ixxxxxiiiiii), 2 , 1(,sinhsincoshcos illlliiiii3.3 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2021年12月15日44铅垂梁的前三阶模态形状铅垂梁的前三阶模态形状第一阶模态第

37、一阶模态第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态一个节点一个节点两个节点两个节点无节点无节点节点位置节点位置3.3 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2021年12月15日45例：例：简支梁的固有频率和模态函数简支梁的固有频率和模态函数解：解：一端圆柱固定铰一端圆柱固定铰另一端圆柱滑动铰另一端圆柱滑动铰0)0( 0)0( 固定铰：挠度和截面弯矩为零固定铰：挠度和截面弯矩为零滑动铰：挠度和截面弯矩为零滑动铰：挠度和截面弯矩为零0)( l0)( lxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 得：得：031 CC以及：以及： 0sinhsin0sinhsin4242lClClClC2024aS

38、EIa20yx004 C0sin l频率方程：频率方程：), 2 , 1(, iili固有频率：固有频率：), 2 , 1(,)(2 iSEIlii3.3 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2021年12月15日460sin l频率方程：频率方程：固有频率：固有频率：), 2 , 1(,)(2 iSEIlii0431 CCC模态函数：模态函数：), 2 , 1(,sin)( ixlixi), 2 , 1(, iilixCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态第四阶模态第四阶模态模态形状模态形状节点位置节点位置yx0无节点无节点

39、一个节点一个节点两个节点两个节点三个节点三个节点3.3 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2021年12月15日47例：例：两端自由梁的固有频率和模态函数两端自由梁的固有频率和模态函数背景：导弹飞行背景：导弹飞行yx0系统类别：半正定系统系统类别：半正定系统存在刚体模态存在刚体模态3.3 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2021年12月15日48yx0频率方程：频率方程：1coshcos ll模态函数：模态函数：2024aSEIa20其中：其中：), 2 , 1(),sinh(sincoshcos)( ixxxxxiiiiii), 2 , 1(,sinhsincoshcossinhsincoshcos illl

40、llllliiiiiiiii当当 i=1,2,3时时解得：解得：730. 41 l853. 72 l996.103 l3 i当当 时时), 4 , 3(,)21( iili自由端：弯矩和截面剪力为零自由端：弯矩和截面剪力为零0)0( 0)0( 0)( l0)( l0 i当当 时时00 l对应刚体模态对应刚体模态3.3 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2021年12月15日49第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态第四阶模态第四阶模态第五阶模态第五阶模态自由梁的模态形状自由梁的模态形状3.3 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2021年12月15日50例：试用数值确定一根一端固定另一端简支的梁的频例：试用数值确

41、定一根一端固定另一端简支的梁的频率方程，并且绘出第一阶模态和第二阶模态的挠率方程，并且绘出第一阶模态和第二阶模态的挠度曲线。度曲线。yx0l3.3 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2021年12月15日51yx0l解：解：0),(),(222222 ttxySxtxyEIx梁的自由振动方程：梁的自由振动方程： 边界条件边界条件0), 0(ty0), 0(ty固定端：固定端：自由端：自由端：0)0( 0)0( 0),(tly0), 0( ty0)(l0)( lxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 2024aSEIa20模态函数：模态函数：3.3 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2021年1

42、2月15日52yx0l0)0( 0)0( 0)(l0)( lxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 0)0( 031CC13CC0)0( 042CC24CC0)(l0)sinh(sin)cosh(cos21llCllC0)( l0)sinh(sin)cosh(cos21llCllC3.3 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2021年12月15日530coshcossinhsinsinhsincoshcosllllllll21CC、非零解条件：非零解条件：0)sinh(sin)cosh(cos21llCllC0)sinh(sin)cosh(cos21llCllC频率方程：频率方程：0s

43、incoshsinhcosllll求得：求得：352.13,210.10,069. 7,927. 34321llll对应的各阶模态函数：对应的各阶模态函数：), 2 , 1(),sinh(sinhcoscosh)(ixxxxxiiiiii代入：代入：), 2 , 1(,sinhsinhcoscosh12illllCCiiiii3.3 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2021年12月15日54yx0l第一阶模态：第一阶模态：), 2 , 1(),sinh(sinhcoscosh)(ixxxxxiiiiii第二阶模态：第二阶模态：0.560069. 7927. 321ll3.3 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2

44、021年12月15日55例：悬臂梁自由端附有质量例：悬臂梁自由端附有质量yx0l0m求频率方程求频率方程解：解：0)0( 0)0( 固定端：固定端：自由端：弯矩为零，剪力与质量惯性力平衡自由端：弯矩为零，剪力与质量惯性力平衡0)( lEI)()(20lmlEI 利用同上述算例相同的方法，得频率方程：利用同上述算例相同的方法，得频率方程：其中：其中：)sinhcoscosh(sin1coshcoslllllll mm0 为集中质量与梁质量之比为集中质量与梁质量之比Slm 为梁质量为梁质量3.3 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2021年12月15日56分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响，因此分析

45、中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响，因此（梁的长度大于梁高度（梁的长度大于梁高度5倍倍以上）以上）考虑剪切变形使得梁的刚度降低，考虑转动惯量使得梁的惯考虑剪切变形使得梁的刚度降低，考虑转动惯量使得梁的惯性增加，这两个因素都会使梁的固有频率降低性增加，这两个因素都会使梁的固有频率降低3.3 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2021年12月15日572021年12月15日58模态函数的正交性模态函数的正交性0),(),(2244 ttxySxtxyEI梁若为等截面，则：梁若为等截面，则： 0),(),(222222 ttxySxtxyEIx变截面梁的自由振动方程：变截面梁的自由振动方程：主振动：主振动： )sin()()()(),(taxtqxtxy代入，得：代入，得：0)(2 S