医科数学第二章第一节 导数的概念

1、第一节第一节 导数的概念导数的概念一、函数的瞬时变化率一、函数的瞬时变化率三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、可导与连续的关系四、可导与连续的关系二、导数的定义二、导数的定义第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学一、函数的瞬时变化率一、函数的瞬时变化率处的处的在在则称此极限表示函数则称此极限表示函数存在存在如果平均变化率的极限如果平均变化率的极限时时当当或平均变化率或平均变化率的差商的差商处关于处关于在在称为函数称为函数这两个增量的比值这两个增量的比值和和分别为分别为则自变量与函数的增量则自变量与函数的增量变到变到函数值从函数值从时时变到变到的自变量值从的自变量值从当函数当函数0000

2、0000000000000)(,)()(lim)()(lim,.,)()()()()(),()(),()(,)(xxfxxfxxfxxxfxfxy xxxxxfyxxfxxfxxxfxfxy xfxfyxxxxfxfxxxfy xx瞬时变化率瞬时变化率.例例2-1.变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度0t,0tt 的的时时刻刻取取一一邻邻近近于于, t 运运动动时时间间tt,0时时当当tt 取极限得取极限得设一质点沿直线做变速直线运动设一质点沿直线做变速直线运动,其运动规律为其运动规律为)(tss 求时刻求时刻 的瞬时速度的瞬时速度.0ttsvttstts)()(00平均速度平均速度瞬

3、时速度瞬时速度ttsttsvvtt)()(limlim0000 例例2-2 伤口的愈合一般要经历一个过程伤口的愈合一般要经历一个过程.设设 是是伤口面积伤口面积 , 是时间是时间,则则 是时间段是时间段 上的变化量上的变化量. 表示伤口在愈合表示伤口在愈合, 表示伤口在溃烂表示伤口在溃烂.而而 表表示这一段时间里示这一段时间里 的平均变化量的平均变化量.若若 时时, 的平的平均变化量的极限存在均变化量的极限存在,则则)(tAA tAt0A0At0ttA /ttAttAtAtt)()(limlim00就是就是 时刻的时刻的 瞬时变化率瞬时变化率.tAA例例2-3. 细胞的增殖速度细胞的增殖速度

4、设增殖细胞在某一时刻设增殖细胞在某一时刻 的总数为的总数为 ,显然显然 是时间是时间 的函数的函数tNNt)(tNN 求细胞在时刻求细胞在时刻 的瞬时增长率的瞬时增长率.0t从从 变化到变化到 这段时间内这段时间内,细胞的平均增长率为细胞的平均增长率为0ttt 0ttNttNtN)()(00,0时当t取极限得取极限得瞬时增长率瞬时增长率=ttNttNtNtt)()(limlim0000二、导数的定义二、导数的定义,)(,)(,)()(limlim);()(,)(,)(000000000000 xxxxyxxxfyxxfyxxfxxfxy xyxfxxfyyxxxxxxxfy 记为记为的导数的导

5、数处关于处关于在点在点函数函数并称这个极限为并称这个极限为处可导处可导在点在点则称函数则称函数存在存在之比的极限之比的极限与与如果如果有增量有增量相应地函数相应地函数时时仍在该邻域内仍在该邻域内点点处有增量处有增量在在当自变量当自变量的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义在点在点设函数设函数定义定义2-1.)(,00 xxxxdxxdfdxdy),(0 xf.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 导数定义其它常见形式：导数定义其它常见形式：.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000即即单侧导数单侧导数左导数左导数:xxf

6、xxfxfx)()(lim)(0000右导数右导数:xxfxxfxfx)()(lim)(0000注意：注意：函数在一点可导的函数在一点可导的充分必要条件为充分必要条件为：)()(00 xfxf.),()(,),()(内内可可导导在在开开区区间间就就称称函函数数都都可可导导内内的的每每一一点点在在开开区区间间如如果果函函数数baxfbaxfy （1）2导函数导函数.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx 或或记记作作的的导导函函数数这这个个函函数数叫叫做做原原来来函函数数值值的的一一个个确确定定的的导导数数都都对对应应着着对对于于任任一一xxfxxfyx )()(lim0

7、即即很明显：很明显：.)()(00 xxxfxf ba,都存在，就说都存在，就说)(xf在闭区间在闭区间上可导上可导. .如果如果)(xf在开区间在开区间内可导，且内可导，且及及（2）),(ba)(af)(bf例例2-4已知函数已知函数 求导函数求导函数 及及xxf)()(xf )9(f 解解: 先求导函数先求导函数,按照按照“取增量、算比值、求极限取增量、算比值、求极限”三步进行计算三步进行计算xxxxfxxfy)()() 1 (求求增增量量xxxxxxxxxfxxfxy1)()() 2 (算比值算比值xxxxxyxfxx211limlim)() 3(00求极限求极限61921)( )9(9

8、xxff所以所以例例2-5 设伤口愈合过程中，伤口面积是时间设伤口愈合过程中，伤口面积是时间的函数的函数Carrel和和Hartmann认为是指数函数：认为是指数函数：, 是最初的伤口面积，是由伤口类型和治疗条件决是最初的伤口面积，是由伤口类型和治疗条件决定的参数常数根据一组实测数据，确定出定的参数常数根据一组实测数据，确定出 .若不要求非常精确若不要求非常精确,则取则取 试求试求 的变化率的变化率)(tAAt)(tAkteAtA0)(0Ak05105833. 0,252.1110kAtetA05. 0111)()(tA解解: 仍按三步套路仍按三步套路)1(111111111)1 (05. 0

9、05. 005. 0)(05. 0ttttteeeeAteetAtt1111)2(05. 005. 0)05. 0(1111lim111lim) 3(05. 005. 0005. 00ttttteteetA 练习练习: 据据19851985年人口调查年人口调查, ,我国有我国有10.1510.15亿人口亿人口, ,人口平均人口平均年增长率为年增长率为1.4891.489, ,根据马尔萨斯根据马尔萨斯(Malthus)(Malthus)人口理论人口理论, ,我国人口增长模型为我国人口增长模型为其中，其中， 代表年数代表年数 , ,并定义并定义19851985年为这个模型年为这个模型的起始年的起始

10、年 . .按照此模型可以预测我国在按照此模型可以预测我国在20052005年人口将年人口将有有13.671013.6710亿亿. .求我国人口增长率函数求我国人口增长率函数? ?x) , 2 , 1 , 0(0 xxexf01489. 015.10)(三、导数的几何意义三、导数的几何意义切线：切线：割线的极限割线的极限 割线割线MN绕点绕点M旋转而旋转而趋向极限趋向极限位置位置MT,直线直线MT就称为曲就称为曲线线C在点在点M处的处的切切线线.MTyoxNNNN).,(),(00yxNyxM设设的斜率为的斜率为割线割线MN00tanxxyy xxfxxf)()(00的的斜斜率率为为切切线线MT

11、.)()(limtan000 xxfxxfkx0,xMNC沿沿曲曲线线当当所以所以 T0 xxxx0oxy)(xfy CNMxy T0 x切线方程为切线方程为).)(000 xxxfyy 法线方程为法线方程为).0)()(10000(xf ( xxxfyy所以导数的几何意义为所以导数的几何意义为:处的处的在在)(,(00 xfxoxy)(xfy M.tan)(,()()(000处的切线的斜率在点表示曲线xfxMxfyxf例例2-6.) 3 , 9(程程处处的的切切线线方方程程和和法法线线方方在在点点求求曲曲线线xy 所求切线方程为所求切线方程为),9(613xy. 096yx即即法线方程为法线

12、方程为),9(63xy. 0216 yx即即 解：由例解：由例2-4有有 ，根据导数的几何意义，根据导数的几何意义, 得切得切线斜率为线斜率为619xy619xyk 可导的函数一定是连续的可导的函数一定是连续的证明：证明：则则可可导导在在点点设设函函数数,)(0 xxf)(lim00 xfxyx )(limlim000 xxxfyxx0 .)(0连连续续在在点点函函数数xxfy 四、可导与连续的关系四、可导与连续的关系由极限与无穷小的关系由极限与无穷小的关系 )(0 xfxy即即xxxfy)(0)0(0 x 其中其中比如比如处处连连续续但但不不可可导导在在函函数数0)( xxxfxy xyo解：解：xxxfxf)0()0(1lim)0()0(lim00 xxxfxfxx1lim)0()0(lim00 xxxfxfxx),0()0( ff即即.0)(点不可导点不可导在在函数函数 xxfy反之不成立反之不成立.即连续不一定可导即连续不一定可导 例例2-7 讨论函数讨论函数 在在 处的连处的连续性与可导性续性与可导性0, 00,1sin)(2xxxxxf0 x解：解：)0(01sinlim)(lim200fxxxfxx01sinlim)0()(limlim000 x