第四章 弯曲内力

1、4.1 4.1 概念和实例概念和实例弯曲变形弯曲变形杆件的轴线由直线变成曲线的变形。杆件的轴线由直线变成曲线的变形。起重机大梁起重机大梁实例实例镗刀杆镗刀杆实例实例车削工件车削工件实例实例火车轮轴火车轮轴实例实例以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。平面弯曲平面弯曲 具有纵向对称面具有纵向对称面 外力都作用在此面内外力都作用在此面内 弯曲变形后轴线变成弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线对称面内的平面曲线常见弯曲构件截面常见弯曲构件截面梁的载荷与支座梁的载荷与支座集中载荷集中载荷分布载荷分布载荷集中力偶集中力偶固定铰支座固定铰支座活动铰支座活动铰支座4.2 4.2 受

2、弯杆件的简化受弯杆件的简化q(x)Me固定端固定端 支座支座实例简化实例简化火车轮轴简化火车轮轴简化实例简化实例简化实例简化实例简化吊车大梁简化吊车大梁简化均匀分布载荷均匀分布载荷简称简称均布载荷均布载荷梁的载荷梁的载荷实例简化实例简化集中载荷集中载荷非均匀分布载荷非均匀分布载荷实例简化实例简化简支梁简支梁外伸梁外伸梁悬臂梁悬臂梁FAxFAyFByFAxFAyFByFAxFAyMA静定梁的基本形式（按支座条件）静定梁的基本形式（按支座条件）其约束反力其约束反力FAyFSM 0y1ASFFFy 0CM)(1axFxFMAyn4.3 剪力和弯矩（弯曲内力）剪力和弯矩（弯曲内力） FS剪力剪力 M

3、弯矩弯矩 FS剪力：平行于横截面的内力合力。数值上等于剪力：平行于横截面的内力合力。数值上等于该截该截面以左面以左所有外力在轴线的垂线上投影的代数和。所有外力在轴线的垂线上投影的代数和。 M 弯矩：垂直于横截面的内力系的合力偶矩。数值弯矩：垂直于横截面的内力系的合力偶矩。数值上等于该截面以左所有外力对截面形心的力矩的代数上等于该截面以左所有外力对截面形心的力矩的代数和。和。FAy1ASFFFy)(1axFxFMAyFSMFAyFByFSMMFS 若取右段计算，用相同的方法也可求得剪力、弯若取右段计算，用相同的方法也可求得剪力、弯矩，其数值与左段所求相同，方向相反。矩，其数值与左段所求相同，方向

4、相反。 为使两种算法得到的同一截面上的剪力、弯矩，为使两种算法得到的同一截面上的剪力、弯矩，数值相同，符号一致，对剪力、弯矩的符号作以下数值相同，符号一致，对剪力、弯矩的符号作以下规定：规定：FAyFSMFByFSM 截面左段对右段向上错截面左段对右段向上错动时，剪力为正，反之为负。动时，剪力为正，反之为负。或者，截面上的剪力对梁上或者，截面上的剪力对梁上任意一点的矩为顺时针转向任意一点的矩为顺时针转向时为正；时为正；反之为负。反之为负。 截面上的弯矩使得梁呈截面上的弯矩使得梁呈凹形（轴线开口向上时），凹形（轴线开口向上时），为正；反之为负。为正；反之为负。+_+Fs(+)Fs(+)Fs()F

5、s()M(+)M(+)M()M()解：解：1. 确定支反力确定支反力FAyFBy3FFBy35FFAy2. 用截面法求内力用截面法求内力FSEME 0EM例题例题4-1 求图示简支梁求图示简支梁E 截截面的内力面的内力. .FAy35FFSEF23F2335aFME22aF Fa23实际方向（转向）实际方向（转向）例题例题4-2 求求: :图示简支梁图示简支梁1-1,2-2截面的内力截面的内力qaqa2aqaM1qaqaqaFS2222aqaaqaMqaFS12232qaaqa2221qaqa可以看到：集中力偶可以看到：集中力偶 M 作用截面，弯矩要作用截面，弯矩要突变。突变。例题例题4-3

6、求求: :图示简支梁图示简支梁1-1，2-2，3-3截面的内力。截面的内力。FAyNFAy100NFFAyS1001NmM202 . 01001NFFAyS1002kNmM404 . 01002NFS2003NmM402 . 02003同样看到同样看到: :集中力集中力F 作用截面，剪力突变。作用截面，剪力突变。1ASFFFy)(1axFxFMAy 前面曾得到，任意横截前面曾得到，任意横截面上的剪力和弯矩通常是位面上的剪力和弯矩通常是位置置 x 的函数，如的函数，如FS = FS（x） 剪力方程剪力方程M = M（x） 弯矩方程弯矩方程把剪力方程和弯矩方程用图线表示，则得把剪力方程和弯矩方程用

7、图线表示，则得剪力图剪力图和和弯矩图弯矩图。FAyMFS4.4 4.4 剪力和弯矩方程剪力和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 8/2qlq例题例题4-4 悬臂梁受均布载荷作悬臂梁受均布载荷作用，用，试写出剪力和弯矩方程，并试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。画出剪力图和弯矩图。解：任选一截面解：任选一截面x ，写出剪力和，写出剪力和弯矩方程弯矩方程x lxqxxFS0 lxqxxM02/2依方程画出剪力依方程画出剪力图图和弯矩和弯矩图图FSxMxql2/2qll由剪力由剪力图、弯矩图可见。最大剪图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为力和弯矩分别为qlFSmax2/2maxqlM x

8、FSqx xM BAlFAYFBY例题例题4-5 图示简支梁图示简支梁C点受集中点受集中力作用，力作用，试写出剪力和弯矩方试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。程，并画出剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力FAyFb/l FByFa/l2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程x2FSxMxlFblFalFabx1AC axlFbxFS110/ axlFbxxM1110/CB lxalFaxFS22/ lxalxlFaxM222/3. 3. 依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。CFab BAl例题例题4-6 图示简支梁图示简支梁C点受集中点受集中力偶作用，力

9、偶作用，试作简支梁剪力图和试作简支梁剪力图和弯矩图。弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMFAyM / l FBy -M / l2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程x2lMa/x1AC axlMxFS110/ axlMxxM1110/CBbxlMxFS220/bxlMxxM2220/3. 3. 依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。lM /lMb/CMab 32/32ql32/32qlBAl例题例题4-7 简支梁受均布载荷作用简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩方程，并试写出剪力和弯矩方程，并画画出剪力出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解：解：1 1确定约束力

10、确定约束力00，BAMMFAy FBy ql/22 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程yxCx lxqxqlxFS02/ lxqxqlxxM02/2/23. 3. 依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。FSxMx2/ql2/ql8/2ql 简支梁受均布载荷作用简支梁受均布载荷作用BAlyxCx lxqxqlxFS02/ lxqxqlxxM02/2/2qxqldxxdM2)()(xFSqdxxdFs)( 32/32ql32/32qlFSxMx2/ql2/ql8/2ql 4.5 4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪

11、力和弯矩关系：)()()(22xqdxxdFdxxMds载荷集度、剪力和弯矩关系载荷集度、剪力和弯矩关系：)()()(22xqdxxdFdxxMds1.1.段段内内 q= 0，Fs= =常数，常数， 剪力图为平直线；剪力图为平直线；M(x) 为为 x 的一次函数，弯矩图为斜直线。的一次函数，弯矩图为斜直线。3.剪力剪力Fs=0处，弯矩有处，弯矩有极值极值。2. 段内段内 q=常数，常数，Fs(x) 为为 x 的一次函数，剪力图的一次函数，剪力图为斜直线；为斜直线； 4.4.集中力集中力F作用截面，剪力图突变，作用截面，剪力图突变， ；弯矩转折。；弯矩转折。 集中力偶集中力偶M作用截面，弯矩图突

12、变，作用截面，弯矩图突变， ；剪力图不变。；剪力图不变。FFSMMM(x) 为为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。的二次函数，弯矩图为抛物线。 分布载荷向下（分布载荷向下（q 0），抛物线呈凹形。），抛物线呈凹形。外力外力无外力段均布载荷段集中力集中力偶q=0q0q0FsFs0 x斜直线增函数xFsxFs降函数xFsCFs1Fs2Fs1Fs2=PxFsC自左向右突变无变化斜直线xM增函数xM降函数xMxMxMxM曲线坟状盆状自左向右折角折向与P反向M1 M2自左向右突变与M反MMM21 利用剪力、弯矩、载荷集度关系及剪力、利用剪力、弯矩、载荷集度关系及剪力、弯矩在集中载荷作用处的规律弯矩在集中

13、载荷作用处的规律, ,不仅可以校不仅可以校核所作的剪力、弯矩图的正确性核所作的剪力、弯矩图的正确性, ,还可以不还可以不列剪力、弯矩方程，方便快捷作梁的剪力、列剪力、弯矩方程，方便快捷作梁的剪力、弯矩图。弯矩图。)()()(22xqdxxdFdxxMds载荷集度、剪力和弯矩关系载荷集度、剪力和弯矩关系：微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：根据载荷及约束力的作用位置，确定控根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面（剪力、弯矩非连续面）。制面（剪力、弯矩非连续面）。应用截面法确定控制面上的剪力和弯应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。矩数值。将控制面上的剪力和弯矩值

14、标在相应的将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。坐标系中。应用微分方程确定各段控制面之间的剪应用微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。矩图。 BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN例题例题4-8 简支梁受力的大简支梁受力的大小和方向如图示。小和方向如图示。试画出其剪力图和弯矩图。试画出其剪力图和弯矩图。 解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMM求得求得A、B 二处的约束力二处的约束力 FAy0.89 kN , FBy1.11 kN 2 2确定控制面确定控制面在集中力和集中力偶作用处的两侧截

15、面以及支座反力在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面。内侧截面均为控制面。即即A、C、D、E、F、B截面截面。 (+)(-)BAFAYFBY1kN.m2kNM (kN.m)xO3 3建立坐标系建立坐标系5 5根据微分关系连图线根据微分关系连图线4 4应用截面法确定剪应用截面法确定剪力和弯矩值，并将其标力和弯矩值，并将其标在在 FS x和和 Mx 坐坐标系中。标系中。0.891.111.3351.67(-)(-)0.335xFS (kN)O FAy0.89 kN , FBy1.11 kN （-）（+）解法解法2 2：( (边算边画）边算边画）1确定约束力确定约束力FAy

16、0.89 kN FFy1.11 kN 2确定控制面为确定控制面为A、C、D、B 两侧截面。两侧截面。 FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDC3从从A截面侧开始画剪力图。截面侧开始画剪力图。 Fs（ kN）0.891.11（-）（-）4 4从从A截面左测开始画弯截面左测开始画弯矩图。矩图。 M（ kN.m）从从C左到左到C右右从从A到到C左左1.3300.330从从C右到右到D1.665（-）（+）Fs（ kN）0.891.11从从D到到BFBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDC例题例题4-9 试画出梁剪力图试画出梁剪力图和弯矩图。和弯矩图。 解：解：1

17、 1确定约束力确定约束力00，BAMMqaFqaFByAy43,492 2确定控制面确定控制面qBAFAyFByqaC（+）（-）（+）3 3建立坐标系建立坐标系 OFSxOMx4 4确定控制面上的剪确定控制面上的剪力值，并将其标在力值，并将其标在FSx中。中。4/9qa4/7qaqa4/9a2qa5 5确定控制面上的弯矩确定控制面上的弯矩值，并将其标在值，并将其标在Mx中。中。qa49qa43qBAFAyFByqaC AB段为上凸抛物线段为上凸抛物线, ,有极大值有极大值（+） 该点的弯矩为该点的弯矩为 1/29qa/49a/4 =81qa2/32 M（+） 81qa2/32qa2 9qa/

18、4 （+） （-） Fs 7qa/4qa4/9aqBAFAyFByqaC（-）（-）（+）（+）（-） Fs例题例题4-10 试画出图示有中试画出图示有中间铰梁的剪力图和弯矩图。间铰梁的剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力2/qaFDy从铰处将梁截开从铰处将梁截开qFDyFDyqaqa/2qa/2qaMqa2/2qa2/2BAaqaCaaDqlaaM4FlMFa最佳设计方案最佳设计方案4FlFa4la 解：讨论两种工况：解：讨论两种工况：例题例题4-114-11 分析双杠的合理跨度分析双杠的合理跨度F简支梁简支梁F外伸梁外伸梁图示梁受均布载荷作用，图示梁受均布载荷作用，问问a 取

19、何值时，取何值时，梁的最大弯矩最小？梁的最大弯矩最小？思考题思考题平面刚架简介平面刚架简介 某些机器的机身（压力机等）由几根直杆组成，而各杆某些机器的机身（压力机等）由几根直杆组成，而各杆在其联接处的夹角不能改变，这种联接称为刚节点。有刚节在其联接处的夹角不能改变，这种联接称为刚节点。有刚节点的框架称为刚架。各直杆和外力均在同一平面内的刚架为点的框架称为刚架。各直杆和外力均在同一平面内的刚架为平面刚架。平面刚架的内力一般有轴力、剪力和弯矩。平面刚架。平面刚架的内力一般有轴力、剪力和弯矩。2、平面刚架内力图规定：、平面刚架内力图规定： 弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。弯矩图：画在各杆

20、的受拉一侧，不注明正、负号。 剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧，但须注明剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧，但须注明 正、负号。正、负号。3、平面曲杆：、平面曲杆：轴线为一条平面曲线的杆件。轴线为一条平面曲线的杆件。 Bql22qlyq例题例题4-12 已知平面刚架上的均布载荷已知平面刚架上的均布载荷集度集度q, ,长度长度l，试试画出刚架的内力图。画出刚架的内力图。Bql22ql解：解：1 1、确定约束力、确定约束力22ql2 2、写出各段的内力方程、写出各段的内力方程FN(y)FS(y)M(y)竖杆竖杆AB：A点向上为点向上为y lyqyqlyFS0 lyqlyFN02/ lyq

21、yqlyyM02/2y横杆横杆CB：C点向左为点向左为x lxqlxFS02/ lxxFN00 lxqlxxM02/Bql22ql22qlyB22qlFN(x)M(x)xFS(x)x 已知平面刚架上的均布载荷集度已知平面刚架上的均布载荷集度q, ,长长l试：画出刚架的内力图。试：画出刚架的内力图。竖杆竖杆AB： qyqlyFS 2/qlyFN 2/2qyqlyyMBql22ql22qly3 3、根据各段的内力方程画内力图、根据各段的内力方程画内力图横杆横杆CB： 2/qlxFS 0 xFN 2/qlxxMMFNFSql22ql2ql2ql2ql2qlCL7TU17qaa2a2qaCL7TU17

22、qaa2a2qa2qa2qaN图Q图2qa2qaM图22qa22qa2aaaCL7TU18qaaaqa2qaqa22N图Q图M图2qaqaqaqa2qa22/qa22aaaCL7TU19qa2aaqaqaqa4qa4M图qa22qa22qa22qa22qaaqa2qa2qaM图qa22qa22例：作图示刚架的弯矩图。例：作图示刚架的弯矩图。平面曲杆平面曲杆 某些构件（吊钩等）其轴线为平面曲线称为平面曲杆。当外力某些构件（吊钩等）其轴线为平面曲线称为平面曲杆。当外力与平面曲杆均在同一平面内时，曲杆的内力有轴力、剪力和弯矩。与平面曲杆均在同一平面内时，曲杆的内力有轴力、剪力和弯矩。4.7 4.7

23、曲杆的弯曲内力曲杆的弯曲内力FR4、平面曲杆内力图规定：平面曲杆内力图规定： 弯矩图：弯矩图：使轴线曲率增加的弯矩规定为正值；反之为负值。使轴线曲率增加的弯矩规定为正值；反之为负值。 要求画在曲杆轴线的法线方向，且在曲杆受拉的一侧。要求画在曲杆轴线的法线方向，且在曲杆受拉的一侧。 剪力图及轴力图：与平面刚架相同。剪力图及轴力图：与平面刚架相同。例题例题4-13 画出该曲杆的内力画出该曲杆的内力图。图。 sinFFN解：解：写出曲杆的内力方程写出曲杆的内力方程FRmmF NF SF M cosFFS sinFRMFNF FSF FRM对曲杆，轴力、剪力的正负规定与前面一样，弯矩对曲杆，轴力、剪力

24、的正负规定与前面一样，弯矩通常以使曲率增加的弯矩为正。通常以使曲率增加的弯矩为正。AFBF1.1.求支反力求支反力FA、FBFA=1.5qa，FB=1.5qa2. Fs图图3. M图图MxsFxa2a2qaqABaCDqaqaFFAsA5.1qaaqFFAsC5 .02qa5 . 0qa5 . 1qaqaFFsCsD5 .1qa5 . 10 AMqaxaqax5 . 025 . 100 0 xax5 . 10 2895 . 15 . 121qaaqaM 极极25 . 05 . 021qaaqaMMC 极极289qa25 . 05 . 0qaaqaMMCD 25 . 0 qa2qa2qaMB2q

25、a例题例题4-14 作剪力图和弯矩图。作剪力图和弯矩图。1.1.支反力支反力FA=2kN，FB=4kNAFBFm1m1m1kNP4 mkNq2ABm1mkNm.10 CDE 2.2.剪力图剪力图AC：Fs=FACD：Fs=FADE：Fs=FA-P=-2kNEB：FsB- =FA-P-q 1=-4kN 3.弯矩图弯矩图MxMA= 0MC- =FA 1=2kN.mMC+=MC-+m0=3kN.mMD= MC+1 2=5kN.mME= MD-2.1=3kN.m3kN.m5kN.m3kN.m2kN.mFsB+ =FsA-P-q 1+FB=0kN2kN-2kN-4kNsFxCDEBA例题例题4-15 作剪力图和弯矩图。作剪力图和弯矩图。CL7TU15qa2aaQMqa74qa /34qa34qa /qaqa22/342qa /qa24/CL7TU15QMqqaa3qa2qaqa2qaqa2qaqa322qa /aaCL7TU16qaaQMqaqaqa22/CL7TU16qaaQMqa22qqaqaqa22/qa22qa22qa24CL7TU20PaaPPPM图PaPaCL7TU21qaaqa2qa2qaM图qa22qa22