两角和与差、二倍角的公式(三)

1、05-04 两角和与差、二倍角的公式(三)点一点明确目标能综合使用两角和与差、二倍角的三角函数公式进行求值、化简、证明，具有在不同的 解题方法、方案中，对优秀者的选择能力.做一做热身适应111. 已知 cosa- cos 卩=一 ,sinaSin 卩二，贝yCOS (a卩)=_23解析：(cosa cos3)2=丄，(sina sin3)2=14913 两式相加，得 2 2cos (a3)=一 .36二 cos (a3) =59.72答案：5972小/、sin xcosx砧/古叶出2. f (x)=的值域为_.1 si nx cosx解析：令 t=sinx+cosx= .2 sin (x+n)

2、 :v2，-1)u(1,.2,4t212 1.2则 f (x)=-2_t1u (1,1).! , 1=21 t22答案：迈1-1U (1,21)1I /J L2.3223.满足 cosacos3=-+sinasin3的一组a、3的值是13n3nB.a=n3=nA.a=-，3 =:12423ncnD.a=n3=nC. a =,3=-2636解析：由已知得 cos (a+3)=，代入检验得 A.2答案：A4.已知 tana和 tan (a)是方程 ax2+ bx+c=0 的两个根，则 a、b、c 的关系:4A.b=a+cB.2b= a+cC.c=b+aD.c=abtantan(n)b解析：4ata

3、ntan(n)c4abtann=141 c ab=1 -b=a c. c=a+ b. 答案：C理一理一一疑难要点1. 化简求值解题目标（1）能求出值的应求出值（2）使三角函数种数、项数尽量少；分母尽量不含三角函数；被开方式尽量不含三角函数2. 化简求值常用方法（1 ）活用公式（包括正用、逆用、变形用）（2 ）切割化弦、异名化同名、异角化同角等.3. 化简求值常用技巧（1） 注意特殊角的三角函数与特殊值的互化（2）注意利用代数上的一些恒等变形法则和分数的基本性质（3） 注意利用角与角之间的隐含关系.（4）注意利用“ 1”的恒等变形.拨一拨思路方法【例 1 求证：si(2- ) 2cos -a+3

4、)=.sinsin剖析：先转换命题，只需证 sin -2a+3) 2cos -a+3) sina=sin3，再利用角的关 系：2a+3= (a+3) +a, -a+3)a=3可证得结论.证明：sin - 2a+3) 2cos -a+3) sina=si n (a+3) +a 2cos -a+3) sina=si n (a+3) cosa+cos -a+3) sina 2cos -a+3) sina=si n (a+3) cosa cos -a+3) sina=s in (a+3)a =si n3.两边同除以 sina得sin （2）sin- - - 2cos-a+（3 ）=-.sinsin评述

5、：证明三角恒等式，可先从两边的角入手一一变角，将表达式中出现了较多的相异 的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称一一变名，将表达式中较多的函数 种类尽量减少，这是三角恒等变形的两个基本策略【例 2】试证：tan（1sin）sin=.tan（1 sin） sin tan sin-Sin- (1sin )sin证明：左边=-cos-Sin(1sin )sin cos2sinsin右边=cossinsincos2 cos2;-2 =cot , 原等式成立22 sin cos 2 2的值.解军： 4ta n-=i tan2,2a+3) cosa+cos (a+3)sina.(a+3) co

6、sa=2cos (a+3) sina.1 sincossincos22sin cos 2cos 22 2222sin cos 2sin2 2cos2=cot -2sin2 2 tana=1/ 3sin3si n3si n1,tan a =2(2a+3),(a+3) cosa+cos (a3=si n3=si n(a+3) cosa+3) sina.3cos (a+3) sina二tann(a+3) =2ta na=1. -a+3 =.4角的变换是常用技巧.如 2a+3= (a+3)评述：【例 4】求 cot10 4cos10的值.(a+3)a等.提示：cot10 4cos10 =cos10 4

7、cos10sin 10cos10 2 sin 20 _ cos (3020 )2 sin 20sin103 补cos 202sinlO1sin 202sin 202sin1033 .cos 20 sin 2022sin 10亦 sin(3020 )13sinlOn1. (2003 年高考新课程卷)已知 x( , 0),4cosx= ,5则 tan2x 等于1 cossin【例 3】已知a、n3( 0,上),43sin 卩=sin (24tan _ =1 tan2.求a+322=sin ( sin2 2 2 2解析： cosx=f , x (n, 0),52.33-sinx= _ tanx=.5

8、432tan x23624 tan2x=-=-x一 =- .1 tan2x i927716答案：72.函数 y=5sinx+cos2x 的最大值是_ .解析：y=5sinx+cos2x=5sinx+1 2si 门仪=2 (sinx5)2+-3348 sinx=1 时，ymax=4.答案：43. （2004 年春季北京）已知sin(0+n)v0, cos (0n）0，则下列不等关系中必定成立的是A.tan vcot B.ta ncot 2 222C.sin vcos D.sin COS 2 222解析：由已知得sin0 0,cos0v0,sin cos 贝 U tan _ cot= 2 2 =2

9、 cos 0.2 2cossin sincos sin 2 2- tan cot 2 2 .答案：B4. 下列四个命题中的假命题是A. 存在这样的a、卩，使得 cos (a+3) =cosacos 卩+sinasin 卩B. 不存在无穷多个a、3,使得 cos (a+3) =cosacos3+sinasin3C. 对于任意的a、3, cos (a+3) =cosacos3 sinasin3D. 不存在这样的a、3,使得 cos (a+3cosacos3 sinasin3解析：由 cos (a+3) =cosacos3+sinasin3=cosacos3 sinasin3，得 sinasin3=

10、0.-a=kn或3=kn(kZ).答案：B5. 求周长为定值 L ( L 0)的直角三角形的面积的最大值.解法一：a+b+ , a2b2=L2 - ab + 2ab . Jab L2 Ji.2 2 2 2 S= - ab - (L)222壮：2=士疋._ 1=224解法二：设 a=csin0, b=ccos0./ a+b+c=L,/ c (1+sin 0 +cos 0) =L.-c=1sin cos1 12二 S= 一 c2sin0cos0 =2sin cos(1 sincos )2设 sin0+cos0=t (1,则 S= 22t 12(1t)L2L2(1- Z )0,cosAv0.90vA

11、v180.3T(sinAcosA)2=12sinAcosA=,2-”.6si nAcosA=272 46+得 sinA=4得 cosA= . tanA=tan (45+60 )13=2313 sinA=sin105=sin (45+60=sin45 cos60 +cos45 sin60)2、6 SAABC=1AC ABsinA解法sinA+cosA=( sinA+cosA)（以下同解法一）想一想一一拓展发散锐角 x、y 满足 sinycscx=cos (x+y) 且 x+yzn，求 tany 的最大值2解：Tsinycscx=cos (x+y),/ siny cscx=cosxcosy sinxsiny,siny (s