第2章 断裂力学2-复变应力函数

1、36 - 1主讲 朱成九2021年12月疲劳断裂与损伤36 - 22021-12-15第2章 断裂力学 36 - 32021-12-15复变函数的基础知识36 - 42021-12-15平面问题的基本理论定解问题定解问题场方程八个(基本方程)(泛定方程) 边界条件(定解条件)应力求解:三个方程位移求解:二个方程应力边条位移边条混合边条只能解应力边界条件每点二个边界条件!36 - 52021-12-15按位移求解场方程拉梅场方程拉梅Lame方程：用位移表示的平衡方程用位移表示的平衡方程212112uvvuxyxyEvuvuxyyxxyxyff边界边界 条件条件位移：suusvv应力：212112

2、xyuvvufxyxylEmfvuvuxyyx 36 - 62021-12-15位移法思路,u x yv x yijij 物物理理方方程程 几几何何方方程程边界条件基本方程36 - 72021-12-15按应力求解-应力函数法 引入Airy应力函数 ，若 是重调和函数，则由 所定义的应力函数场恒能满足平衡和相容条件。yx,yx,yx, （1）平衡条件仅要求 ，相容条件则要求 是重和函数（在体力是常力情况下）3C （2）按应力求解归结为求这样一个重调和函数，它所定义的应力场要在边界上满足边界条件 （3）对多连域，由 导出的位移场，还必须满足位移单值条件36 - 82021-12-15按应力求解-

3、应力函数法n应力求解法(平面,不计体力) 224( , )( , )0 x yx y n求解思路: 找这样一个, 使它所定义的应力场在边界上满足条件。36 - 92021-12-15复变函数基础知识 复变数： n复数三种的表示方法：iyxz(cossin )zriirez 2、三角式：3、指数式：1、代数式：zxiyzxiyrxy复平面复平面36 - 102021-12-15共轭复数zxiyzxiy共轭复数：性质11ReRe2xzzzz1ImIm2yzzzzi 性质222zzxiyxiyxy36 - 112021-12-15复变函数复变函数： ()if zZxy( )ReImRe( )Im(

4、)Zf zZZiif zf z或 实部（Real Number）： 虚部（Imaginary Number）： 互为共轭共轭复变函数： ( )ReImZf zZZi36 - 122021-12-15例题若已知某一复变函数为2( )f zz则有： 2222f zxiyxyi xy所以有所以有 xyzfyxzf2)(Im,)(Re22习题：3( ),f zz求 的实部 虚部3223Re( )3,Im(:)3f zxxyf zx yy答案36 - 132021-12-15解析函数 0()f z没有导数，n 若在某一点则此点z0是解析函数的一个奇点奇点。)(zf( )fz的导函数仍为解析函数解析函数。

5、 n 解析函数)(zf)(zfn 若 在域D内处处可微，则称 为域D内的解析函数（或正则函数、解析函数（或正则函数、 全纯函数全纯函数。36 - 142021-12-15柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件)(zfC-R条件是 解析的必要条件必要条件，即：Re( )Im( )Re( )Im( )f zf zf zf zxyyx 另外， 的实部和虚部在区域D内处处可微和C-R条件成立构成其解析的充要条件充要条件。 f z36 - 152021-12-15有定义，内区域推论：设函数Dyxivyxuzf),(),()(成立：方程，并且四个偏导数存在且连续的和内在如果RCyxvyxuDzf)

6、,(),()( xvyuyvxu 内解析。在则Dzf)(柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件36 - 162021-12-15下面仅证明必要性： ,1,zzzxiyixy由 柯西-黎曼（C-R）条件必要性证明对 分别求偏导数,得( )f z36 - 172021-12-15 f zf zdf zziyzydz f zf zdf zzxzxdz fzfzixy ReImfzfzifzRe( )Im( )Re( )Im( )f zf zf zf zxyyx ReImReImf zf zf zf ziixxyy故：故：柯西-黎曼（C-R）条件必要性证明36 - 182021-12-15柯西

7、-黎曼（C-R）条件的推论 Re( )Im( )Re( )f zf zfzxy( )Re( )Im( )ReIm( )ReRe( )Imdfffzfzifzdzxfffzixxffzxfy且Im ( )Im( )Re ( )ff zzxyfz同理得，推论二 C-R条件 推论一：36 - 192021-12-15 例：3( ),f zz求 的一阶导数的实部 虚部3223Re( )3,Im( )3f zxxyf zx yy 解： 33322333f zzxiyxxyx yyi 22ReImRe33=f zf zfzxyxy或推论或者 22223332fzzxiyxyxyi 22Re33;Im6fz

8、xyfzxy柯西-黎曼（C-R）条件的推论 36 - 202021-12-15讨论下列函数的可导性和解析性 21Re ; 2| ; 3( )(cossin).xZzZzf zeyiy，且，）因为解：（01vxuRe,.CRZz所以方程在整个复平面不成立，所以在整个复平面内处处不可导 从而不解析1000uuvvxyxy36 - 212021-12-1522222(2) Z |0,zxyuxyv，所以，且(0,0)( )0( )00( )( )CRf zzfzzf zf z只有在点处方程成立，所以在可导，；，不可导。因此，在整个复平面上，不解析。讨论下列函数的可导性和解析性2200uuvvxyxy

9、xy36 - 222021-12-15(3)( )(cossin)cossin,xxxfzeyiyueyvey因为，所以，且在整个复平面内解析；方程成立，所以四个偏导数连续，并且)(R-Czf).()sin(cos)( zfyiyexvixuzfx事实上，讨论下列函数的可导性和解析性cossinsincosxxxxuuvveyeyeyeyxyxy 36 - 232021-12-15为常数：在内下列条件之一，则内解析，而且满足在区域如果DzfDzf)()( (1)( )0 (2) Re( )3|( )|fzf zf z；常数；（ ）为常数(1)( )0uvuvfziixxyy证明：由得， )(内

10、为常数；在均为常数，从而、由数学分析的结论知，Dzfvu，0yvxvyuxu 例：例：36 - 242021-12-15(2)uuuCRxy因为常数，所以，由方程知：，0yvxvyuxu )(内为常数；在均为常数，从而、由数学分析的结论知，Dzfvu36 - 2500uvuvuvuvxxyy，2222(3)( )=c|( )|f zu+vf zuvxy令（常数），则+=c ，分别对 、 求导数得：( )f zCR因为解析，所以由方程得：22()0uxuuvy消除，得： 。22=00( )0uvuvf z1）当时，故120,0,0,uuvvu=C ,v=Cyxxy2）=0，故有 所以常数 12f

11、 zCiC所以 =常数00uuuuuvuvxyyx，36 - 262021-12-15柯西（Cauchy）积分定理 0Lf z dz 则 在所围成的区域内是解析解析，即 是解析函数。 f z f zDL （D内任一条任一条简单的光滑闭曲线闭曲线） 设 是某个复数区域D上的函数，如果 f z36 - 272021-12-15调和函数 ( )( ,)( ,),0,0f zx yix y22若 解析必有 证：由C-R条件知： yxxyyxx222yxy22222222( , )0 x yxy 相加相加36 - 282021-12-15调和函数同理：22222( , )0 x yxy 小结： 复变解析

12、函数的各阶导数导数和积分积分都是解析函数解析函数；1. 复变解析函数的实部实部和虚部虚部都是调和调和函数函数。36 - 292021-12-15威斯特葛尔德（Westergaard）应力函数 W-应力函数为： Re( )Im( )f zyfz222Re (:Im()ff zyz首先有现要证明：220 2Re0f z而其中解析函数解析函数（复变解析函数的实部实部是调和函数）36 - 302021-12-15222222222222222Im( )Im( )ImIm(ImIm)Re ( )IImImIm2Im2Im2Rm2eyf zyf zyfyff zfyfxyxyyyffyfyyfffyyxy

13、f2222Re( )0fz证毕。C-R条件的推论威斯特葛尔德（Westergaard）应力函数 36 - 312021-12-15应力分量（不计体力） 22Re( )Im( )xfzyfzy- 推导推导，如 2222RImReImIReImRemImRIeemRexf zyfzyyff zyfzfzzyyfzyyffzzyfzyfzyfzyC-R条件的推论36 - 322021-12-15应力分量（不计体力） 22222Re( )Im( )Re( )Im( )Re( )xyxyfzyfzyfzyfzxyfzx y -:( )Zfz令,Re( )Im( )Re( )xxyyZ zZyyzZ z 0 xy RezxyZ注：在y0的线上，( )Zfz找出符合边界条件的36 - 332021-12-15应变、位移分量（平面应力）（验证）1,(1)Re(1) Im1Re2xxyyZyZEyZG1(1)Re(1) Im12Im(1) Reu