复变函数第六章共形映射习题教学资料

1、复变函数第六章共形映射习题2一、重点与难点一、重点与难点重点：重点：难点：难点：分式线性变换及其映射特点分式线性变换及其映射特点分式线性变换与初等函数相结合，求一分式线性变换与初等函数相结合，求一些简单区域之间的映射些简单区域之间的映射6 2) 转动角的大小与方向跟曲线转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向的形状与方向无关无关.)()(Arg0)()1000处处的的转转动动角角映映射射后后在在经经过过是是曲曲线线的的幅幅角角导导数数zzfwCzfzf 3)保角性保角性方向不变的性质方向不变的性质, 此性质称为保角性此性质称为保角性. 的的大大小小和和具具有有保保持持两两曲曲线线间间夹夹角角映映

2、射射 )( zfw )(zfw 夹角在其大小和方向上都等同于经过夹角在其大小和方向上都等同于经过. 2121之之间间的的夹夹角角与与对对应应的的曲曲线线与与映映射射后后跟跟 CC之之间间的的与与的的任任意意两两条条曲曲线线相相交交于于点点210 CCz7.),(lim)(00000的的伸伸缩缩率率在在为为曲曲线线的的值值称称之之间间的的弧弧长长与与上上对对应应的的表表示示弧弧长长间间的的与与上上点点表表示示极极限限zCwwzzCsszfzz 4）伸缩率）伸缩率的的后通过点后通过点是经过映射是经过映射 )( )(00zzfwzf 的形状及的形状及它与曲线它与曲线的伸缩率的伸缩率在在的任何曲线的任

3、何曲线CzC , 0方向无关方向无关. 所以这种映射又具有所以这种映射又具有伸缩率的不变性伸缩率的不变性.82.共形映射（保角映射）共形映射（保角映射）是是共共形形映映射射在在是是共共形形的的，或或称称在在变变性性，那那末末具具有有保保角角性性和和伸伸缩缩率率不不在在的的邻邻域域内内是是解解析析的的在在设设定定义义0000)()(,)(zzfwzzfwzzzfw 也称为也称为第一类共形映射第一类共形映射.仅保持夹角的绝对值不仅保持夹角的绝对值不变而方向相反的映射变而方向相反的映射, 称为称为第二类共形映射第二类共形映射具具有有两两个个性性在在那那末末映映射射且且0)(,0)(zzfwzf 质质

4、: (1) 保角性保角性; (2) 伸缩率不变性伸缩率不变性. , , )(0内一点内一点为为内解析内解析在区域在区域设函数设函数DzDzfw 9.), 0(均均为为常常数数定定义义dcbabcaddczbazw 称为称为分式线性映射分式线性映射.任一分式线性映射都可看成是由下列三种基本的任一分式线性映射都可看成是由下列三种基本的分式映射复合而成分式映射复合而成:;)1(bzw 平平移移映映射射 3.分式线性映射分式线性映射;)2(azw 旋旋转转与与相相似似映映射射.1)3(zw 反演映射反演映射10 分式线性映射的性质分式线性映射的性质1）分式线性映射在扩充复平面上一一对应）分式线性映射在

5、扩充复平面上一一对应.2）分式线性映射在扩充复平面上具有保角性）分式线性映射在扩充复平面上具有保角性.,01,性映射是保角的性映射是保角的则分式线则分式线的两条象曲线的夹角的两条象曲线的夹角过原点过原点下所映成的通下所映成的通等于它们在映射等于它们在映射的夹角的夹角处处远的曲线在远的曲线在如果规定两条伸向无穷如果规定两条伸向无穷 zz11 2. 如果给定的圆周或直线上没有点映射成无如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点穷远点, 那末它就映射成半径为有限的圆周那末它就映射成半径为有限的圆周;如果如果有一个点映射成无穷远点有一个点映射成无穷远点, 那末它就映射成直线那末它就映射成直线. 分式线

6、性映射将扩充分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射平面上的圆周映射成成扩充扩充w平面上的圆周平面上的圆周, 即具有保圆性即具有保圆性. 3）分式线性映射在扩充复平面上具有保圆性）分式线性映射在扩充复平面上具有保圆性注意：注意：1. 此时把直线看作是经过无穷远点的圆周此时把直线看作是经过无穷远点的圆周.12 4）分式线性映射具有保对称性）分式线性映射具有保对称性.这一性质称为这一性质称为保对称性保对称性. . 的一对对称点的一对对称点的象曲线的象曲线 C , ,21也也是是关关于于它它们们的的象象点点在在分分式式线线性性映映射射下下ww , , 21那那么么的的一一对对对对称称点点是是关关于于圆圆

7、周周设设点点Czz13:)0(可由下式给出可由下式给出即即 bcaddczbazw.:231321231321zzzzzzzzwwwwwwww 4.唯一决定分式线性映射的条件唯一决定分式线性映射的条件交比不变性交比不变性 ).3 , 2 , 1( kwk依依次次映映射射成成 , 321zzzz异异的的点点平平面面上上任任意意给给定定三三个个相相在在 , , , 321wwww个个相相异异的的点点平平面面上上也也任任意意给给定定三三在在)3 , 2 , 1( , kzk将将线线性性映映射射那那么么就就存存在在唯唯一一的的分分式式14判别方法判别方法:对确定区域的映射对确定区域的映射 在分式线性映

8、射下在分式线性映射下, C的内部不是映射成的内部不是映射成 . 的的外外部部的的内内部部便便映映射射成成 CC 方法方法1 在分式线性映射下在分式线性映射下, 如果在圆周如果在圆周C内任取内任取 , , 00的内部就映为的内部就映为则则内部内部的象在的象在若若一点一点CCzz . 的的外外部部为为C , ; 0的的内内部部就就映映则则外外部部的的象象在在若若的的内内部部CCzC 若绕向相反若绕向相反, 则则C方法方法2 . 321321绕绕向向相相同同与与wwwzzz . 的内部的内部的内部就映为的内部就映为则则CC . 的的外外部部的的内内部部就就映映射射为为 C 15圆周的弧所围成的区域映

9、射成一圆弧与一直线所圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所2) 当二圆周上有一点映射成无穷远点时当二圆周上有一点映射成无穷远点时, 这二这二围成的区域围成的区域.3) 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时当二圆交点中的一个映射成无穷远点时, 这这二圆周的弧所围成的区域映成角形区域二圆周的弧所围成的区域映成角形区域.1) 当二圆周上没有点映射成无穷远点时当二圆周上没有点映射成无穷远点时, 这二这二圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域域.分式线性映射对圆弧边界区域的映射分式线性映射对圆弧边界区域的映射:16 5. 几个初等函数所构成的映射几个初等

10、函数所构成的映射映射特点映射特点: 把以原点为顶点的角形域映射成以原把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域点为顶点的角形域, 但张角变成为原来的但张角变成为原来的 n 倍倍. ).2()1 nzwn幂函数幂函数0 n0)(w0 0)(znnwzzw 17特殊地特殊地:.2arg0除除去去正正实实轴轴的的区区域域平平面面上上共共形形映映射射成成将将角角形形域域wnzzwn 因此将角形域的张角拉大（或缩小）时，就可利因此将角形域的张角拉大（或缩小）时，就可利用幂函数用幂函数 所构成的共所构成的共形映射形映射.)(nnzwzw 或根式函数或根式函数)(w00)(zn 2nnwzzw 18

11、)(w00)(zai.)2zew 指数函数指数函数zew 如果要把带形域映射成角形域如果要把带形域映射成角形域, 常利用指数函数常利用指数函数.0)(w特殊地特殊地:0)(zi 22ew 映射特点映射特点: )Im(0 映射成映射成把水平的带形域把水平的带形域az .arg0aw 角形域角形域19三、典型例题三、典型例题., 11 , 1,11, wizwz映映射射成成且且使使映映射射成成使使求求分分式式线线性性映映射射例例1 1,10的的对对称称点点是是关关于于圆圆周周与与因因为为 www,1111iziz 的的对对称称点点为为关关于于圆圆周周又又称点的性质知称点的性质知据分式线性映射不变对

12、据分式线性映射不变对解解1 1 利用分式线性映射不变交比和对称点利用分式线性映射不变交比和对称点20 iziw1 ,11, 1), 0 , 1( iiiizzww111111111即即,1izziz .)1(1)1(为所求为所求所以所以izziw ).1(110 wizizzw对应对应平面上的逆象为平面上的逆象为在在 由交比不变性知由交比不变性知21 解解2,1 wiz时时因因,)1(izbazw 所以所以, 1,1 wz时时又又由对称点的不变性知由对称点的不变性知，, 011 wiz对对应应,1, 1iab 故故.)1(1)1()1(1)1(为为所所求求所所以以izziizziw 利用不变对

13、称点利用不变对称点, bai 故故22解解3 3将所求映射设为将所求映射设为zzewi 1,1zzA ,1 wiz时时因为因为, 0)1(1 i 所所以以,11,11ii , 1,1 wz时时又又,11iA 所以所以ziiziw 11111故故利用典型区域映射公式利用典型区域映射公式.)1(1)1(为为所所求求izzi 23例例2 2 求一个分式线性映射求一个分式线性映射 它将圆它将圆 映成圆映成圆 ,且满足条件且满足条件 )(zfw 1 z1 w. 0)21(, 0)21( ff解解因因 映成映成 的映射为的映射为1 z1 w)1(1)( azaazezfwi ,21 a因为因为,212zz

14、ewi 所所以以24,)2(3)(2zezfi 又因又因3421 ief 所所以以, 0 21arg f .212zzw 所所求求映映射射为为)2, 1, 0(2 kk25)(zfw 12 z22 iw. 0)2(arg,)2( fif例例3 3 求一个分式线性映射求一个分式线性映射 它将圆它将圆 映成圆映成圆 ，且满足条件，且满足条件 解解,22,21wiwz 令令),(1 gw 1 )(1 gw , 11 w0 ,2221iiiw 26,)2)2()2(122)2(2iwiiiwezi iwiwezi 2)( 22 所所以以),(w 与与 互为反函数，互为反函数，)(zf)(w 时时，当当

15、)(1 gw ,21211wiiwei )(11wg 27，由由0) 2(arg fiwiiwiwei 2)(22)( ,32 ie . 0 得得，所所以以iwiwz 2)(22故故.)1(2)2(iizizw , 0) 2(1arg f)(argi 28?11平面上的什么区域平面上的什么区域射成射成映映将单位圆盘将单位圆盘问分式线性映射问分式线性映射wzzzw 例4例4 解解:, 1解出解出故从所给映射中将故从所给映射中将由已知条件由已知条件zz ,1 wwz11 zww)1)(1(122 wwww即即, 1)(2 www1 ww所所以以,21)(21 ww,21)Re( w即即.21)Re

16、(1 wwz平平面面上上的的半半平平面面映映为为故故29例例5 5 试证明在映射试证明在映射 下下, 互相正交的直线族互相正交的直线族 与与 依此映射成互相正交的直依此映射成互相正交的直线族与圆族线族与圆族 izew 1)Re(Cz 2)Im(Cz .2222Cevu 证证,ivuwiyxz 设设,)Im(,)Re(yzxz )sin(cosxixeewyiz 因因为为,sin,cosxevxeuyy 所所以以,tan,222xuvevuy 3021)Im(,)Re(CyzCxz 又又因因为为.tan,12222CuvevuC 由于过原点的直线与以原点为心的圆正交，由于过原点的直线与以原点为心的圆正交，故命题得证故命题得证.证毕证毕31 例例6 6 试将如图所示的区域映射到上半平面试将如图所示的区域映射到上半平面.xyO ii 1解解,1izizw 取取分分式式线线性性映映射射. 0,11 wizwi映射为映射为并将并将映射为映射为将切点将切点由分式线性映射的保圆性知：由分式线性映射的保圆性知：).)1(11iww 且且两两平平行行的的直直线线将将两两相相切切的的圆圆周周映映射射为为1122iwwewi 取取旋旋转转变变换换将铅直带形域将铅直带形域iww )Im(00)Re(121映映射射为为水水平平带带形形