2025年上海市黄浦区中考数学二模试卷

第41页（共41页）2025年上海市黄浦区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）（2025•黄浦区二模）单项式-4A．43 B．-43 C．2 2．（4分）（2025•黄浦区二模）下列函数图象中，函数值y随自变量x的值增大而减小的是（）A．y＝5x B．y＝﹣x﹣1 C．y=4x D．y＝﹣3．（4分）（2025•黄浦区二模）已知点P在半径为5的⊙O内，那么点P到圆心O的距离不可能是（）A．0 B．2 C．4 D．64．（4分）（2025•黄浦区二模）木盒中装有4个红球、3个黄球和2个白球，这些球只是颜色不同．从木盒中任意摸出1个球，下列事件发生的概率最小的是（）A．摸出一个红球 B．摸出一个黄球 C．摸出一个白球 D．摸出一个黄球或白球5．（4分）（2025•黄浦区二模）已知a、b、c三个实数在数轴上的位置如图所示，下列结论不成立的是（）A．a+b＜b+c B．a﹣c＜b﹣c C．ab＜bc D．ac＜bc6．（4分）（2025•黄浦区二模）尺规作图：已知∠MON（0°＜∠MON＜180°）．具体步骤如下：①在射线OM、ON上分别截取OA、OB，使OA＝OB；②分别以点A、B为圆心，大于12AB的同一长度为半径作弧，两弧交于∠MON内的一点P，作射线OP；③以点A为圆心，OA为半径作弧，交射线OP于点C，联结AC、CB．那么所作的四边形A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2025•黄浦区二模）﹣8的相反数是．8．（4分）（2025•常州模拟）计算：（x+2y）（x﹣2y）＝．9．（4分）（2025•黄浦区二模）如果f(t)=1t2+1，那么f（﹣10．（4分）（2025•常州模拟）如果关于x的方程x2+3x﹣m＝0有实数根，那么m的取值范围是．11．（4分）（2025•黄浦区二模）如果一个正多边形的中心角为45°，那么这个正多边形的边数是．12．（4分）（2025•黄浦区二模）如图，已知点O是△ABC的重心，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，如果设AB→=a→，AC→=b→，那么用a13．（4分）（2025•黄浦区二模）如图3，已知扇形AOB，过点A作AD⊥OB，垂足为点D，如果AD=12OB=3，那么扇形AOB的面积为14．（4分）（2025•黄浦区二模）某快递公司收费标准如下：快递费一般分首重和续重计算．快递物品首重不超过1千克收费10元，续重超过部分每千克收费8元．设快递物品的重量为x千克（x＞1），那么快递费y（元）关于物品重量x（千克）的函数解析式为．15．（4分）（2025•黄浦区二模）如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AB⊥CD，垂足为点H，如果AH＝CD＝8，那么AO的长为．16．（4分）（2025•黄浦区二模）如图，已知平行四边形ABCD的四个内角的平分线组成四边形EFGH，联结HF．如果AB＝6，AD＝9，那么HF的长为．17．（4分）（2025•黄浦区二模）定义：抛物线C1上的所有点的横、纵坐标都扩大为原来的k倍后得到新的抛物线C2，C2叫C1的“k倍衍生抛物线”．例如：求抛物线L1：y=3x2-2的“5倍衍生抛物线L2”．设抛物线L2上一点P′（x，y），则点P′在抛物线L1上的对应点为P(x5，y5)，因为点P在抛物线L1上，所以y5=3(x5)2-2，整理得到y=35x2-18．（4分）（2025•黄浦区二模）如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，AD＝8，点O在边BC上，BO＝2，以BO为半径作⊙O．将矩形ABCD翻折，使点D落在⊙O上，点D的对应点为点D′，折痕与边AD交于点M，如果直线DD′经过点O，那么DM的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2025•黄浦区二模）计算：|1-220．（10分）（2025•黄浦区二模）解方程：2x21．（10分）（2025•武威一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝kx+3（k≠0）与x轴、y轴交于A、B两点，反比例函数y=8x(x＞0)的图象经过直线l（1）求直线l的表达式；（2）已知点C在反比例函数y=8x(x＞0)的图象上，且∠22．（10分）（2025•黄浦区二模）’某校七年级要举行“阅读之星”评选活动，设计评选方案时考虑如下几个指标因素：①书籍的数量A；②书籍的总页数B；③书籍的类别C；④网络评分D．根据以上指标因素的重要程度赋以不同的系数，建立“阅读之星”的得分公式x＝x1A+x2B+x3C+x4D，其中x1、x2、x3、x4是各项指标因素的系数．假如小海同学一学期读了4本书，总页数1350页，涉及3个类别，4本书的网络评分的平均分为5.5分，那么小海的得分计为x＝4x1+1350x2+3x3+5.5x4.如果各项指标因素的系数一旦确定，那么他的“阅读之星”的得分也就确定．评选小组通过向七年级学生和教师发放“阅读之星”评选指标因素重要程度的问卷调查，分别对上述四个指标因素打分，每个指标因素的分值范围为0～10分，四个指标因素分值的和必须为10分，指标因素的分值越高表示该指标因素越重要，然后将得到的每一个指标因素的所有分值取平均数作为该指标因素的系数．评选小组对调查问卷的数据进行整理，得到“书籍的数量A”指标因素的得分情况统计图（如图）及各指标因素的系数表（如表1）．指标因素系数书籍的数量Am书籍的总页数B2.4书籍的类别C3.5网络评分Dn表1（1）指标因素“书籍的数量A''的系数m的值为；（2）确定各指标因素的系数后，“阅读之星”的得分公式为x＝；（3）表2是该校七年级甲、乙两位同学“阅读之星”各项指标因素的数值．ABCD得分甲4150037乙3180024表2①请计算甲、乙两人“阅读之星”的得分．甲得分为，乙得分为；②根据两人的得分情况，请提出一条优化“阅读之星”评选方案的建议：23．（12分）（2025•黄浦区二模）如图，已知四边形ABCD中，AD＝CD，∠BAC＝90°，点E是四边形ABCD外一点，AE＝CE，联结ED并延长分别交AC、BC于点M、N．（1）求证：BN＝CN；（2）已知BC2＝2AB•NE，求证：∠ACB＝∠NEC．24．（12分）（2025•黄浦区二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=-14x2+bx+c（b≠0）与x轴交于A（2，0）、B两点（点A在点B右侧），与y（1）如果AB＝6，求抛物线的表达式；（2）用含b的代数式表示点P的坐标；（3）联结BC、PC，直线PC交x轴于点E，如果BC＝EC，求抛物线的表达式．25．（14分）（2025•黄浦区二模）已知，在△ABC中，AC＝5，AB＝7，cosA=35，D是边AB上一动点，联结CD．点O在线段CD上，且COOD=45，以点O为圆心，CO为半径作⊙O（1）当点D与点A重合时，判断⊙O与边AB的位置关系并说明理由；（2）已知点F在⊙O上，且CE=CF，EF与边BC交于点H，当EF经过圆心O时（如图），求（3）过点D作DP∥AC，交边BC于点P，当⊙O与线段DP只有一个交点时，求BD的取值范围．

2025年上海市黄浦区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）题号123456答案D．BDCCA一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）（2025•黄浦区二模）单项式-4A．43 B．-43 C．2 【考点】单项式．【专题】整式；符号意识．【答案】D．【分析】根据单项式次数的定义来求解．单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．【解答】解：根据单项式定义得：-43x2y故选：D．【点评】本题考查了单项式次数的定义．确定单项式的次数时，找准单项式中每一个字母的指数，是确定单项式的次数的关键．注意指数是1时，不要忽略．2．（4分）（2025•黄浦区二模）下列函数图象中，函数值y随自变量x的值增大而减小的是（）A．y＝5x B．y＝﹣x﹣1 C．y=4x D．y＝﹣【考点】反比例函数的性质；二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质．【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】B【分析】根据函数关系式逐项分析判断即可．【解答】解：A、是正比例函数，且y随x的增大而增大，不符合题意；B、是一次函数，k＝﹣1＜0，y随x的增大而减小，符合题意；C、是反比例函数，k＝4＞0，在每个象限内，y随x的增大而减小，不符合题意；D、是开口向下的二次函数，增减性分两个区间，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了一次函数．二次函数、反比例函数的增减性，熟练掌握以上知识点是关键．3．（4分）（2025•黄浦区二模）已知点P在半径为5的⊙O内，那么点P到圆心O的距离不可能是（）A．0 B．2 C．4 D．6【考点】点与圆的位置关系．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】D【分析】根据点与圆的位置关系解答即可．【解答】解：∵点P在半径为5的⊙O内，∴OP＜5，∴点P到圆心O的距离不可能是6．故选：D．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，当d＜r时，点P在圆内是解题的关键．4．（4分）（2025•黄浦区二模）木盒中装有4个红球、3个黄球和2个白球，这些球只是颜色不同．从木盒中任意摸出1个球，下列事件发生的概率最小的是（）A．摸出一个红球 B．摸出一个黄球 C．摸出一个白球 D．摸出一个黄球或白球【考点】概率公式；随机事件．【专题】概率及其应用；运算能力．【答案】C【分析】分别根据概率公式求出概率，即可判断出答案．【解答】解：∵木盒中装有4个红球、3个黄球和2个白球，这些球只是颜色不同，∴摸出一个红球的概率为44+3+2摸出一个黄球的概率为34+3+2摸出一个白球的概率为24+3+2摸出一个黄球或白球的概率为3+24+3+2∵29∴发生的概率最小的是摸出一个白球．故选：C．【点评】此题考查概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）=m5．（4分）（2025•黄浦区二模）已知a、b、c三个实数在数轴上的位置如图所示，下列结论不成立的是（）A．a+b＜b+c B．a﹣c＜b﹣c C．ab＜bc D．ac＜bc【考点】实数与数轴．【专题】实数；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】C【分析】先观察数轴可知a＜b＜0＜c，然后根据不等式的性质对各个选项进行判断即可．【解答】解：观察数轴可知：a＜b＜0＜c，A．∵a＜c，a+b＜b+c，∴此选项的结论成立，故此选项不符合题意；B．∵a＜b，a﹣c＜b﹣c，∴此选项的结论成立，故此选项不符合题意；C．∵a＜c，b＜0，∴ab＞ac，∴此选项的结论不成立，故此选项符合题意；D．∵a＜b，c＞0，∴ac＜bc，∴此选项的结论成立，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握不等式的基本性质．6．（4分）（2025•黄浦区二模）尺规作图：已知∠MON（0°＜∠MON＜180°）．具体步骤如下：①在射线OM、ON上分别截取OA、OB，使OA＝OB；②分别以点A、B为圆心，大于12AB的同一长度为半径作弧，两弧交于∠MON内的一点P，作射线OP；③以点A为圆心，OA为半径作弧，交射线OP于点C，联结AC、CB．那么所作的四边形A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；等腰梯形的判定．【专题】作图题；几何直观．【答案】A【分析】根据要求作出图形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．【解答】解：由作图可知，OC平分∠MON，OA＝OB＝AC，∴∠AOC＝∠BOC＝∠ACO，∴AC∥OB，∴四边形AOBC是平行四边形，∵OA＝OB，∴四边形AOBC是菱形．故选：A．【点评】本题考查作图﹣基本作图，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，等腰梯形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2025•黄浦区二模）﹣8的相反数是8．【考点】相反数．【专题】实数；符号意识．【答案】8．【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．【解答】解：﹣8的相反数是8．故答案为：8．【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．8．（4分）（2025•常州模拟）计算：（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2．【考点】平方差公式．【专题】整式；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据平方差公（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2运算即可．【解答】解：（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2，故答案为：x2﹣4y2．【点评】此题考查平方差公式，解答本题的关键要明确：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．9．（4分）（2025•黄浦区二模）如果f(t)=1t2+1，那么f（﹣【考点】函数值．【专题】计算题；运算能力．【答案】12【分析】将t＝﹣1代入即可．【解答】解：原式==1故答案为：12【点评】本题主要考查函数值，代入法实际解题的关键．10．（4分）（2025•常州模拟）如果关于x的方程x2+3x﹣m＝0有实数根，那么m的取值范围是m≥-94【考点】根的判别式．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】m≥-9【分析】由关于x的方程有实数根，知Δ＝b2﹣4ac≥0，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的方程x2+3x﹣m＝0有实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4×1×（﹣m）＝9+4m≥0，解得m≥-9故答案为：m≥-9【点评】本题考查了一元二次方程的判别式，解答本题的关键要明确：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．11．（4分）（2025•黄浦区二模）如果一个正多边形的中心角为45°，那么这个正多边形的边数是8．【考点】正多边形和圆．【答案】见试题解答内容【分析】根据正多边形的边数＝周角÷中心角，计算即可得解．【解答】解：这个多边形的边数是360÷45°＝8，故答案为：8．【点评】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算；熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的关键．12．（4分）（2025•黄浦区二模）如图，已知点O是△ABC的重心，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，如果设AB→=a→，AC→=b→，那么用a【考点】三角形的重心；*平面向量；平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力；推理能力．【答案】23【分析】连接AO，延长AO交BC于M，由三角形的重心性质推出AOAM=23，由平行线分线段成比例定理推出AEAC=AOAM=23，判定【解答】解：连接AO，延长AO交BC于M，∵点O是△ABC的重心，∴AOAM∵DE∥BC，∴AEAC∵△ADE∽△ABC，∴DEBC∵AB→∴BC→∵DE∥BC，∴DE→故答案为：23【点评】本题考查平面向量，三角形的重心，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，关键是掌握重心的性质，平面向量的运算法则．13．（4分）（2025•黄浦区二模）如图3，已知扇形AOB，过点A作AD⊥OB，垂足为点D，如果AD=12OB=3，那么扇形AOB的面积为3π【考点】扇形面积的计算．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】3π．【分析】根据题意，可以得到∠AOB的度数和OA的长，然后根据扇形面积公式即可计算出扇形AOB的面积．【解答】解：∵AD⊥OB，∴∠ADO＝90°，∵AD=12OB=3∴AD=12OA＝∴∠AOD＝30°，OA＝6，∴扇形AOB的面积为：30π×6故答案为：3π．【点评】本题考查扇形面积的计算、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确扇形面积计算公式．14．（4分）（2025•黄浦区二模）某快递公司收费标准如下：快递费一般分首重和续重计算．快递物品首重不超过1千克收费10元，续重超过部分每千克收费8元．设快递物品的重量为x千克（x＞1），那么快递费y（元）关于物品重量x（千克）的函数解析式为y＝8x+2．【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．【答案】y＝8x+2．【分析】依据题意得，y＝10+8（x﹣1），从而可以判断得解．【解答】解：由题意得，y＝10+8（x﹣1），∴y＝8x+2．故答案为：y＝8x+2．【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要能读懂题意，列出关系式是关键．15．（4分）（2025•黄浦区二模）如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AB⊥CD，垂足为点H，如果AH＝CD＝8，那么AO的长为5．【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．【答案】5．【分析】连接OC，设AO＝x，由垂径定理求出CH=12CD＝4，由勾股定理得到x2＝（8﹣x）2+42，求出x＝5，即可得到【解答】解：连接OC，设AO＝x，∴OC＝x，OH＝8﹣x，∵直径AB⊥CD，∴CH=12CD=12∵OC2＝OH2+CH2，∴x2＝（8﹣x）2+42，∴x＝5，∴AO＝5．故答案为：5．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由以上知识点得到关于x的方程．16．（4分）（2025•黄浦区二模）如图，已知平行四边形ABCD的四个内角的平分线组成四边形EFGH，联结HF．如果AB＝6，AD＝9，那么HF的长为3．【考点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力．【答案】3．【分析】延长BH交AD于M，延长AF交BC于N，由平行线的性质、角平分线定义推出∠ABM＝∠AMB，得到AM＝AB＝6，由等腰三角形的性质推出AF⊥MB，同理：AF⊥DF，推出EM∥DF，由平行线分线段成比例定理推出EF：AE＝MD：AM＝1：2，同理：EH：BE＝1：2，得到EF：AE＝EH：BE，判定△EHF∽△EBA，推出HF：AB＝EF：AE＝1：2，即可求出HF的长．【解答】解：延长BH交AD于M，延长AF交BC于N，∵BH平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AMB＝∠CBM，∴∠ABM＝∠AMB，∴AM＝AB＝6，∵AF平分∠BAM，∴AF⊥MB，同理：AF⊥DF，∴EM∥DF，∴EF：AE＝MD：AM，∵MD＝AD﹣AM＝9﹣6＝3，∴EF：AE＝3：6＝1：2，同理：EH：BE＝1：2，∴EF：AE＝EH：BE，∵∠FEH＝∠AEB，∴△EHF∽△EBA，∴HF：AB＝EF：AE＝1：2，∴HF＝3．故答案为：3．【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是判定△EHF∽△EBA，推出HF：AB＝EF：AE．17．（4分）（2025•黄浦区二模）定义：抛物线C1上的所有点的横、纵坐标都扩大为原来的k倍后得到新的抛物线C2，C2叫C1的“k倍衍生抛物线”．例如：求抛物线L1：y=3x2-2的“5倍衍生抛物线L2”．设抛物线L2上一点P′（x，y），则点P′在抛物线L1上的对应点为P(x5，y5)，因为点P在抛物线L1上，所以y5=3(x5)2-2，整理得到y=35x2-10，即抛物线L2的表达式为【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】y=akx2+bx+【分析】依据题意，设抛物线L2上一点P′（x，y），则点P′在抛物线y＝ax2+bx+c上的对应点为P（xk，yk），从而yk=a（xk）2+【解答】解：由题意，设抛物线L2上一点P′（x，y），则点P′在抛物线y＝ax2+bx+c上的对应点为P（xk，y∴yk=a（xk）2+b•∴y=akx2+bx+故答案为：y=akx2+bx+【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．18．（4分）（2025•黄浦区二模）如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，AD＝8，点O在边BC上，BO＝2，以BO为半径作⊙O．将矩形ABCD翻折，使点D落在⊙O上，点D的对应点为点D′，折痕与边AD交于点M，如果直线DD′经过点O，那么DM的长为15±254【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】15±25【分析】分类讨论：当D'在线段OD上时，当D'在线段OD延长线上时，求出DO长，即可得到DD'的长，求出DE的长，最后即可得解．【解答】解：①设折痕与直线DD'交于点E，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝8，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．∵OB＝2，∴OC＝BC﹣OB＝8﹣2＝6，∴OD=OC2∴DD'=翻折性质知DD'⊥ME，D'∵tan∠即MEDE∴ME=1∴DM=5ME=②如图设折痕与直线DD'交于点E，同理可得DD'＝35+2∴DE=12DD'∵tan∠即MEDE∴ME=∴DM=5ME=综上，DM的长为15±25故答案为：15±25【点评】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2025•黄浦区二模）计算：|1-2【考点】分数指数幂；零指数幂；实数的运算．【专题】计算题；运算能力．【答案】2+43-【分析】根据实数的运算法则进行计算即可．【解答】解：原式=2-1+33-（2=2-1+33-=2+43【点评】本题主要考查分数指数幂、实数的运算及零指数幂，熟练掌握以上知识点是解题的关键．20．（10分）（2025•黄浦区二模）解方程：2x【考点】解分式方程；解一元二次方程﹣因式分解法．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】x＝﹣2．【分析】根据解分式方程的方法，方程两边同时乘（x+3）（x﹣3），得出整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可．【解答】解：2x方程两边同时乘（x+3）（x﹣3），得2（x﹣3）+6＝x+3+（x+3）（x﹣3），去括号，得2x﹣6+6＝x+3+x2﹣9，移项、合并同类项，得x2﹣x﹣6＝0，∴（x+2）（x﹣3）＝0，∴x＝﹣2或x＝3，检验：把x＝3代入（x+3）（x﹣3）＝0，∴x＝3是原分式方程的增根．把x＝﹣2代入（x+3）（x﹣3）≠0，∴分式方程的解为x＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程，解分式方程，掌握解一元二次方程的方法，解分式方程的方法是解题的关键．21．（10分）（2025•武威一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝kx+3（k≠0）与x轴、y轴交于A、B两点，反比例函数y=8x(x＞0)的图象经过直线l（1）求直线l的表达式；（2）已知点C在反比例函数y=8x(x＞0)的图象上，且∠【考点】反比例函数综合题．【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力．【答案】（1）直线l的表达式为y=12x（2）C（4，2）．【分析】（1）把点P（2，n）代入y=8x(x＞0)中得n=82=4，把P（2，4）代入y＝kx+3得4＝2k+3，求得（2）解方程得到A（﹣6，0），B（0，3），求得OA＝6，OB＝3，如图，过C作CD⊥y轴于D，设C（m，8m），得到CD＝m，OD=【解答】解：（1）把点P（2，n）代入y=8x(x∴P（2，4），把P（2，4）代入y＝kx+3得4＝2k+3，∴k=1∴直线l的表达式为y=12x（2）在y=12x+3中，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝﹣∴A（﹣6，0），B（0，3），∴OA＝6，OB＝3，如图，过C作CD⊥y轴于D，设C（m，8m∴CD＝m，OD=8∴∠CDO＝∠AOB＝90°，∵∠BOC＝∠ABO，∴△ABO∽△COD，∴OACD∴6m解得m＝4（负值舍去），∴C（4，2）．【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，正确地求出函数的解析式是解题的关键．22．（10分）（2025•黄浦区二模）’某校七年级要举行“阅读之星”评选活动，设计评选方案时考虑如下几个指标因素：①书籍的数量A；②书籍的总页数B；③书籍的类别C；④网络评分D．根据以上指标因素的重要程度赋以不同的系数，建立“阅读之星”的得分公式x＝x1A+x2B+x3C+x4D，其中x1、x2、x3、x4是各项指标因素的系数．假如小海同学一学期读了4本书，总页数1350页，涉及3个类别，4本书的网络评分的平均分为5.5分，那么小海的得分计为x＝4x1+1350x2+3x3+5.5x4.如果各项指标因素的系数一旦确定，那么他的“阅读之星”的得分也就确定．评选小组通过向七年级学生和教师发放“阅读之星”评选指标因素重要程度的问卷调查，分别对上述四个指标因素打分，每个指标因素的分值范围为0～10分，四个指标因素分值的和必须为10分，指标因素的分值越高表示该指标因素越重要，然后将得到的每一个指标因素的所有分值取平均数作为该指标因素的系数．评选小组对调查问卷的数据进行整理，得到“书籍的数量A”指标因素的得分情况统计图（如图）及各指标因素的系数表（如表1）．指标因素系数书籍的数量Am书籍的总页数B2.4书籍的类别C3.5网络评分Dn表1（1）指标因素“书籍的数量A''的系数m的值为2.6；（2）确定各指标因素的系数后，“阅读之星”的得分公式为x＝2.6x1十2.4x2十3.5x3十1.5x4；（3）表2是该校七年级甲、乙两位同学“阅读之星”各项指标因素的数值．ABCD得分甲4150037乙3180024表2①请计算甲、乙两人“阅读之星”的得分．甲得分为3631.4，乙得分为4340.8；②根据两人的得分情况，请提出一条优化“阅读之星”评选方案的建议：可调整得分公式为：x＝x1A+1100x2B+x3C+x4D【考点】加权平均数．【专题】统计的应用；数据分析观念．【答案】（1）2.6；（2）2.6x1十2.4x2十3.5x3十1.5x4；（3）①3631.4，4340.8；②可调整得分公式为：x＝x1A+1100x2B+x3C+x4【分析】（1）算出加权平均数即可；（2）用总分10分减去其余项目的分数即可得到n的值，代入即可；（3）①将甲乙各项的得分代入公式即可计算“阅读之星”的得分；②书籍的总页数B的得分对结果的影响较大，调整书籍的总页数的得分公式即可．【解答】解：（1）m=1150（1×28+36×2+60×3+20×4+6×5）＝故答案为：2.6；（2）n＝10﹣2.6﹣2.4﹣3.5＝1.5，∴x＝2.6x1十2.4x2十3.5x3十1.5x4，故答察为：2.6x1十2.4x2十3.5x3十1.5x4；（3）①甲的得分为2.6×4+2.4×1500+3.5×3+1.5×7＝10.4+3600+10.5+10.5＝3631.4，乙的得分为2.6×3+2.4×1800+3.5×2+1.5×4＝8.4+4320+7+6＝4340.8，故答案为：3631.4，4340.8；②可适当调整书籍的总页数B的得分公式，因为这项的分值占比太大，可调整得分公式为：x＝x1A+1100x2B+x3C+x4【点评】本题主要考查了加权平均数的应用，能正确计算加权平均数是解题的关键．23．（12分）（2025•黄浦区二模）如图，已知四边形ABCD中，AD＝CD，∠BAC＝90°，点E是四边形ABCD外一点，AE＝CE，联结ED并延长分别交AC、BC于点M、N．（1）求证：BN＝CN；（2）已知BC2＝2AB•NE，求证：∠ACB＝∠NEC．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】（1）见解析过程；（2）见解析过程．【分析】（1）由题意可得EN垂直平分AC，可得AN＝NC，AM＝MC，即可求解；（2）通过证明△CMN∽△ECN，可得∠NCM＝∠NEC，即可求解．【解答】证明：（1）如图，连接NA，∵AD＝CD，AE＝CE，∴EN垂直平分AC，∴AN＝NC，AM＝MC，∠CMN＝90°，∴∠NAC＝∠ACN，∵∠BAC＝90°，∴∠B＝∠BAN，∴BN＝AN，∴BN＝NC；（2）∵BN＝NC，AM＝MC，∴AB＝2MN，∵BC2＝2AB•NE，∴（2CN）2＝2×2MN•NE，∴CN2＝MN•NE，∴CNMN又∵∠CNM＝∠CNE，∴△CMN∽△ECN，∴∠NCM＝∠NEC，即∠ACB＝∠NEC．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，证明三角形相似是解题的关键．24．（12分）（2025•黄浦区二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=-14x2+bx+c（b≠0）与x轴交于A（2，0）、B两点（点A在点B右侧），与y（1）如果AB＝6，求抛物线的表达式；（2）用含b的代数式表示点P的坐标；（3）联结BC、PC，直线PC交x轴于点E，如果BC＝EC，求抛物线的表达式．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】（1）y=-14x2-1（2）点P（2b，b2﹣2b+1）；（3）y=-14x2﹣x【分析】（1）A（2，0）、AB＝6，则点B（﹣4，0），则y=-14（x+4）（x﹣2）=-14x2（2）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=-14×4+2b+c，则c＝﹣2b+1，则抛物线的表达式为：y=-14x2+bx（3）BC＝EC，则点B、E关于y轴对称，则xB+xE＝0，即可求解．【解答】解：（1）A（2，0）、AB＝6，则点B（﹣4，0），则y=-14（x+4）（x﹣2）=-14x2（2）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=-14×4+2b+c，则c＝﹣2则抛物线的表达式为：y=-14x2+bx﹣2b则抛物线的对称轴为直线x＝2b，此时，y=-14x2+bx﹣2b+1＝b2﹣2b即点P（2b，b2﹣2b+1）；（3）∵BC＝EC，则点B、E关于y轴对称，则xB+xE＝0，由点P、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝（-14×2b+b）x则xE=4令y=-14x2+bx﹣2b+1＝0，则x＝2（舍去）或﹣2c，即xB＝﹣2则﹣2c-2cb=0，则b＝﹣1，则c＝﹣2b则抛物线的表达式为：y=-14x2﹣x【点评】本题为二次函数综合题，涉及到待定系数法求函数表达式、等腰三角形的性质等，数形结合是解题的关键．25．（14分）（2025•黄浦区二模）已知，在△ABC中，AC＝5，AB＝7，cosA=35，D是边AB上一动点，联结CD．点O在线段CD上，且COOD=45，以点O为圆心，CO为半径作⊙O（1）当点D与点A重合时，判断⊙O与边AB的位置关系并说明理由；（2）已知点F在⊙O上，且CE=CF，EF与边BC交于点H，当EF经过圆心O时（如图），求（3）过点D作DP∥AC，交边BC于点P，当⊙O与线段DP只有一个交点时，求BD的取值范围．【考点】圆的综合题．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】（1）⊙O与边AB相切，理由见解析；（2）78（3）当BD=176或72＜BD【分析】（1）过点O作OG⊥AB，垂足为点G．证明OG＝OC，由切线的判定可得出结论；（2）过点C作CM⊥AB，垂足为点M，证明△CEH∽△CBA．得出EHAB（3）设BD＝x，当⊙O与线段DP相切时，切点记为点N，联结ON．求出x=176，当点P在⊙O上时，分别过点O、D作OQ⊥CB，DR⊥BC，垂足为点Q、R【解答】解：（1）⊙O与边AB相切．理由：过点O作OG⊥AB，垂足为点G．∵AC＝5，COOD∴OC=209，∵cosA=∴sinA=∴OG=∴OG＝OC，∴⊙O与边AB相切．（2）过点C作CM⊥AB，垂足为点M，∵AC＝5，cosA=∴AM＝3，CM＝4．∵AB＝7，∴BM＝4，∴∠B＝45°，BC=4∵CE=CF，CD过圆心∴CO⊥EF．∵CO＝EO，∴∠CEH＝45°，∴∠CEH＝∠B，又∠ECH＝∠ECH，∴△CEH∽△CBA．∴EHAB∴EH=∵EF＝2EO，∴EHEF（3）设BD＝x，当⊙O与线段DP相切时，切点记为点N，联结ON．∴ON⊥DP，ON＝CO，∵COOD∴sin∠∵DP∥AC，∴∠ACD＝∠ODN，∴sin∠又∵sin∠∴∠ACD＝∠A，∴CD＝AD．∵CM⊥AB，CM＝4，∴CD=又AD＝7﹣x，∴42∴x=当点P在⊙O上时，分别过点O、D作OQ⊥CB，DR⊥BC，垂足为点Q、R．∴CQ＝PQ，∵DP∥AC，∴CPBC∴CP=42∵DR⊥BC，∠B＝45°，∴BR=∴CR=4∵COOD=45，∴COCD∴22∴x=∴当72＜BD＜7时，点P在⊙O内，综上所述，当BD=176或72＜BD【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点．熟练掌握切线的判定是解题的关键．

考点卡片1．相反数（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．2．实数与数轴（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．3．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．4．分数指数幂分数指数幂是正分数指数幂和负分数指数幂的统称．分数指数幂是一个数的指数为分数，正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式．负数的分数指数幂并不能用根式来计算，而要用到其它算法，是高中代数的重点．5．单项式（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．（2）单项式的系数、次数单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．6．平方差公式（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．7．零指数幂零指数幂：a0＝1（a≠0）由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）注意：00≠1．8．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．9．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．10．解分式方程（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．11．函数值函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．12．一次函数的性质一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．13．正比例函数的性质单调性当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1]当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数．对称性对称点：关于原点成中心对称．[1]对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线．14．一次函数的应用1、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．2、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．3、概括整合（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．15．反比例函数的性质反比例函数的性质（1）反比例函数y=kx（k≠0）的（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．16．反比例函数综合题（1）应用类综合题能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．（2）数形结合类综合题利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．17．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-b2a，4ac-b24a），对称轴直线x=-b2a，二次函数y＝①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-b2a时，y随x的增大而减小；x＞-b2a时，y随x②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-b2a时，y随x的增大而增大；x＞-b2a时，y随x③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|-b2a|个单位，再向上或向下平移|418．二次函数图象上点的坐标特征二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-b2a①抛物线是关于对称轴x=-b2a②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x19．待定系数法求二次函数解析式（1）二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；（2）用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．20．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．21．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．22．三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．（2）重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）23．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．24．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE25．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．26．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．27．菱形的判定①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形28．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．29．矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．30．矩形的判定与性质（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．31．正方形的判定正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．32．等腰梯形的判定（1）利用定义：两腰相等的