线性变换的矩阵表示式学习教案

1、会计学1第一页，共31页。阶矩阵阶矩阵设设n),(21212222111211 nnnnnnnaaaaaaaaaA 为为中中的的变变换换定定义义其其中中)(,21xTyRaaanniiii 第1页/共31页第二页，共31页。),( ,)(RxAxxTn .为线性变换为线性变换则则T那那么么为为单单位位坐坐标标向向量量设设,21eeen,00112122221112111 aaaaaaaaaeAnnnnnn,100212222111211 nnnnnnnnaaaaaaaaaeA ,第2页/共31页第三页，共31页。), 2 , 1( )( nieTeAiii 即即.)(,)(, 为为列列向向量量

2、应应以以那那么么矩矩阵阵有有关关系系式式如如果果一一个个线线性性变变换换因因此此eTAAxxTTi 那那么么使使如如果果一一个个线线性性变变换换反反之之), 2 , 1()(, nieTTii )(xT),(21xeeeTn )(2211exexexTnn )()()(2211eTxeTxeTxnn xeTeTeTn)(,),(),(21 xn),(21 .Ax 第3页/共31页第四页，共31页。其其中中表表示示都都可可用用关关系系式式中中任任何何线线性性变变换换,)()(, RxAxxTTRnn )(,),(),(21eTeTeTAn , 212222111211 aaaaaaaaannnn

3、nn.,21为单位坐标向量为单位坐标向量eeen可可知知综综上上所所述述,第4页/共31页第五页，共31页。 ,22112222112212211111nnnnnnnnnnaaaTaaaTaaaT 定义设 是线性空间 中的线性变换，在 中取定一个基 ，如果这个基在变换下的象为nVnVn ,21TT第5页/共31页第六页，共31页。其中(qzhng),212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaA ATnn ,2121 上式 ,2121nnTTTT 记记可表示为那末， 就称为线性变换 在基 下的矩阵n, 21AT第6页/共31页第七页，共31页。.)(,),(,1唯一确定唯一确定由基

4、的象由基的象矩阵矩阵显然显然 nTTA?,),(),( , 21212121需要满足什么条件呢需要满足什么条件呢变换变换那么那么下的象为下的象为在变换在变换也就是说基也就是说基的矩阵的矩阵下下在基在基是线性变换是线性变换假设假设现在现在TATTTAnnnn 第7页/共31页第八页，共31页。有有设设,1 iniinxV )( T)(1 iniixT niiiTx1)( xxxTTTnn2121)(,),(),( ,),(2121 xxxAnn 第8页/共31页第九页，共31页。.),(),( 21212121 xxxAxxxTnnnn 即即., 为为矩矩阵阵的的线线性性变变换换是是以以变变换换

5、并并且且所所确确定定的的变变换换上上式式唯唯一一地地确确定定了了一一个个ATT.由上式唯一确定由上式唯一确定为矩阵的线性变换为矩阵的线性变换以以TA第9页/共31页第十页，共31页。.,TAATVn个个线线性性变变换换也也可可唯唯一一地地确确定定一一由由一一个个矩矩阵阵确确定定一一个个矩矩阵阵可可唯唯一一地地由由线线性性变变换换中中取取定定一一个个基基后后在在.,一对应的一对应的线性变换与矩阵是一线性变换与矩阵是一在给定一个基的条件下在给定一个基的条件下结论(jiln)第10页/共31页第十一页，共31页。:),(),( 21212121可可知知从从关关系系式式 xxxAxxxTnnnn ,2

6、1下下在在基基 n; 21 xxxn 的坐标为的坐标为第11页/共31页第十二页，共31页。.)( )(21 xxxATTn 的坐标为的坐标为有有因因此此按按坐坐标标表表示示,.)( AT 第12页/共31页第十三页，共31页。., 1, , 4322313的的矩矩阵阵求求微微分分运运算算取取基基中中在在DpxpxpxpxP 例例1 1解解 ,00000,10001,02002,00303432144321343212432121pppppDpppppDppppxpDppppxpD第13页/共31页第十四页，共31页。在在这这组组基基下下的的矩矩阵阵为为所所以以D.01000020000300

7、00 A第14页/共31页第十五页，共31页。.,)(, 上的一个线性空间上的一个线性空间构成构成数与多项式的乘法数与多项式的乘法它对于多项式的加法和它对于多项式的加法和组成的集合记作组成的集合记作式式包括零多项包括零多项的所有一元多项式的所有一元多项式中次数小于中次数小于记作记作合合上所有一元多项式的集上所有一元多项式的集实数域实数域RxRnxRxRRn例2例2.,:)(),()( , 微微分分变变换换这这个个变变换换也也称称为为变变换换上上的的一一个个线线性性是是则则由由导导数数性性质质可可以以证证明明定定义义变变换换中中在在线线性性空空间间xRxRxfxfdxdxfxRnnn 第15页/

8、共31页第十六页，共31页。则则有有的的基基为为现现取取, 112xxxxRnn , 0)1( , 1)( x ,2)(2xx ,下的矩阵为下的矩阵为在基在基因此因此xxxn 12, 1, 0000100002000010nAxnxnn21)1()( 第16页/共31页第十七页，共31页。即即变变换换平平面面的的线线性性表表示示将将向向量量投投影影到到中中在在, 3xOyTR例例3 3,)(j yi xkzj yi xT .,)2(;,)1(的矩阵的矩阵求求取基为取基为的矩阵的矩阵求求取基为取基为TkjijiTkji 解解 , 0, )1(kTjjTiiT.000010001),(),( kj

9、ikjiT即即第17页/共31页第十八页，共31页。 , , , )2( jiTjTiT.000110101),(),( T即即此例表明(biomng)：同一个线性变换在不同的基下一般有不同的矩阵第18页/共31页第十九页，共31页。同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵(j zhn)，那么这些矩阵(j zhn)之间有什么关系呢？上面(shng min)的例子表明,;,2121nn 定理设线性空间 中取定两个基nV由基 到基 的过渡矩阵为 ， 中的线性变换 在这两个基下的矩阵依次为 和 ，那末 n ,21n ,21nV.1APPB PTAB第19页/共31页第二十页，共31页。于是(ysh)

10、nnTB ,2121 ,21PTn PTn ,21 证明(zhngmng) Pnn ,2121 ,2121ATnn BTnn ,2121 第20页/共31页第二十一页，共31页。 APn ,21 APPn121, 因为 线性无关，n, 21所以.APPB1 证毕.定理表明： 与 相似，且两个基之间的过渡矩阵 就是相似变换矩阵BAP第21页/共31页第二十二页，共31页。例., , 1222211211212下下的的矩矩阵阵在在基基求求下下的的矩矩阵阵为为在在基基中中的的线线性性变变换换设设 TaaaaATV ,0110),(),(2112 解,0110 P即即,0110 1 P求得求得第22页

11、/共31页第二十三页，共31页。下的矩阵为下的矩阵为在基在基于是于是),(12 T 0110011022211211aaaaB.11122122 aaaa 011012112221aaaa第23页/共31页第二十四页，共31页。).(,ARTTA的的秩秩就就是是则则的的矩矩阵阵是是若若.,rnSTrTT 的维数为的维数为的核的核则则的秩为的秩为若若.,)( 的的秩秩性性变变换换称称为为线线的的维维数数的的象象空空间间线线性性变变换换定定义义2 2TVTTn第24页/共31页第二十五页，共31页。.,987654321 ,3 132321下的矩阵下的矩阵在基在基求求下的矩阵为下的矩阵为在基在基的

12、线性变换的线性变换维线性空间维线性空间已知已知 AV例5例5解由条件(tiojin)知 987654321),(),(321321 第25页/共31页第二十六页，共31页。 321332123211963)(852)(74 )( 即即下的矩阵为下的矩阵为在基在基因此因此 132, 74)(396)(285)( 132113231322从而有从而有.174396285 B第26页/共31页第二十七页，共31页。给定了线性空间 的一组基以后， 中的线性变换与 中的矩阵形成一一对应因此，在线性代数中，可以用矩阵来研究变换，也可以用变换来研究矩阵nRnRnnR 同一变换在不同基下的矩阵(j zhn)是相似的第27页/共31页第二十八页，共31页。的两个线性变换的两个线性变换已知已知22 R 22, RXMXXSXNXT 1111,0201NM.,22211211下下的的矩矩阵阵在在基基试试求求EEEEST 第28页/共31页第二十九页，共31页。)( 11EST 解解)()(1111ESET EMNE1111 00010201111100